実閉体

まず、平方の和どうしの積は平方の和であることに注意する（$\bigl(\sum_iu_i^2\bigr)\bigl(\sum_jv_j^2\bigr)=\sum_{i,j}(u_iv_j)^2$）。また $t\neq0$ が平方の和なら、$1/t=t\cdot(1/t)^2$ も平方の和である。
$(\ast)$ $a\in R$ が平方でなければ、$-a$ は平方の和であることを示す。$x^2-a$ は $R$ に根をもたない 2 次式なので既約多項式であり、$L:=R[x]/(x^2-a)=R(\sqrt a)$ は $R$ の 2 次の拡大体、特に真の代数拡大である。実閉体の定義により $L$ は実体でなく、$-1=\sum_{j=1}^k(x_j+y_j\sqrt a)^2$（$x_j,y_j\in R$）と書ける。$1,\sqrt a$ は $L$ の $R$ 上の基底なので、両辺の $1$ の係数を比べて $-1=\sum_jx_j^2+a\sum_jy_j^2$ を得る。$t:=\sum_jy_j^2$ が $0$ なら $-1=\sum_jx_j^2$ となって $R$ が実体であることに反するので、$t\neq0$ であり、
$$ -a=\Bigl(1+\sum_jx_j^2\Bigr)\cdot\frac1t $$
は平方の和の積として平方の和である。
2 を示す。$s$ を平方の和とする。$s=0$ なら $s=0^2$ である。$s\neq0$ で $s$ が平方でないとすると、$(\ast)$ により $-s$ は平方の和であり、$-1=(-s)\cdot\frac1s$ も平方の和になって、$R$ が実体であることに反する。よって $s$ は平方である。
1 を示す。$a$ が平方でなければ、$(\ast)$ により $-a$ は平方の和であり、2 により平方である。$\square$

1 ⇒ 2。$P:=\{x^2:x\in R,\ x\neq0\}$ とおく。$P$ は積で閉じる。$P$ は和でも閉じる。実際 $x,y\neq0$ について $x^2+y^2$ は lem-real-closed-field-squares の 2 により平方であり、$x^2+y^2=0$ なら $-1=(y/x)^2$ となって $R$ が実体であることに反するので、$0$ でない。$P\cap(-P)=\emptyset$ である（$x^2=-y^2\neq0$ なら $-1=(x/y)^2$）。lem-real-closed-field-squares の 1 により $R=P\sqcup\{0\}\sqcup(-P)$ である。$a\le b$ を $b-a\in P\cup\{0\}$ で定めると、$P\cup\{0\}$ が和で閉じることから推移律が、$P\cap(-P)=\emptyset$ から反対称律が、$R=P\cup\{0\}\cup(-P)$ から全順序性が従い、$P$ が和と積で閉じることから $(R,\le)$ は順序体である。この順序の正の元の集合は $P$ なので、正の元は平方である。
奇数次の多項式が根をもつことを、奇数 $n=\deg f$ についての帰納法で示す。$n=1$ なら明らかである。$n\ge3$ とし、$n$ 未満の奇数次の多項式は根をもつとする。$f$ の既約因子の次数の和は奇数 $n$ なので、奇数次の既約因子 $g$ がある。$\deg g< n$ なら帰納法の仮定により $g$、したがって $f$ は根をもつ。$\deg g=n$ とすると、$L:=R[x]/(g)$ は $R$ 上 $n$ 次の拡大体で、実閉体の定義により実体でない。$x$ の類を $\xi$ とすると、$L$ の元は次数 $n-1$ 以下の多項式 $h$ により $h(\xi)$ と書けるので、$-1=\sum_jh_j(\xi)^2$（$\deg h_j\le n-1$）となり、$R[x]$ において
$$ 1+\sum_jh_j(x)^2=g(x)k(x) $$
となる $k\in R[x]$ がある。$m:=\max_j\deg h_j$ とおく。$R$ では $0$ でない元の平方の和は $0$ でない（$c_1\neq0$ で $\sum_jc_j^2=0$ なら $-1$ が平方の和になる）ので、左辺は $m=0$ なら $0$ でない定数、$m\ge1$ なら $x^{2m}$ の係数が $0$ でない次数 $2m$ の多項式である。前者は次数 $n\ge3$ の $g$ で割り切れないので $m\ge1$ であり、$\deg k=2m-n$ は奇数で $2m-n\le n-2$ である。帰納法の仮定により $k$ は根 $c\in R$ をもち、$1+\sum_jh_j(c)^2=g(c)k(c)=0$ となって $R$ が実体であることに反する。よって $\deg g=n$ の場合は起こらない。
2 ⇒ 3。順序体では $x^2\ge0>-1$ なので $-1$ は平方でなく、$x^2+1$ は既約で、$C$ は $R$ 上 2 次の拡大体である。$R$ は順序体なので標数 $0$ である。$C$ の任意の元 $w=a+bi$（$a,b\in R$）が $C$ に平方根をもつことを示す。$a^2+b^2\ge0$ なので、$r\ge0$ で $r^2=a^2+b^2$ となる $r\in R$ がある。$r^2\ge a^2$ と $r\ge0$ から $r\ge|a|$ であり（$0\le r<|a|$ なら $r^2< a^2$）、$(r+a)/2\ge0$、$(r-a)/2\ge0$ である。$x,y'\ge0$ を $x^2=(r+a)/2$、$y'^2=(r-a)/2$ となるようにとり、$b\ge0$ なら $y:=y'$、$b<0$ なら $y:=-y'$ とおく。$x^2-y^2=a$ であり、$(2xy)^2=4x^2y'^2=r^2-a^2=b^2$ で $2xy$ と $b$ の符号は一致するので $2xy=b$ である。よって $(x+yi)^2=w$ である。したがって $C$ 係数の 2 次多項式は平方完成により $C$ に根をもつ。
ここで 代数学の基本定理 の記事の証明「Galois理論による代数学の基本定理の証明」を見ると、そこで $\mathbb{R}$ と $\mathbb{C}$ について使われているのは、同記事の補題「実数と複素数についての 2 つの事実」（奇数次の実係数多項式が実数の根をもつこと、複素係数の 2 次多項式が $\mathbb{C}$ に根をもつこと）と、$[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$、標数が $0$ であること、および体によらない Galois理論 の一般論と群論の Sylowの定理 だけである。$R$ と $C$ はこれらをすべて満たすので、同じ証明により $C$ の有限次拡大は $C$ 自身である。定数でない $p\in C[x]$ の既約因子 $q$ について $C[x]/(q)$ は $C$ の $\deg q$ 次の拡大なので $\deg q=1$ であり、$p$ は $C$ に根をもつ。よって $C$ は代数閉体である。
3 ⇒ 2。(a) $R$ 上の既約多項式 $g$ の次数は $2$ 以下である。$C$ は代数閉体なので $g$ は根 $\alpha\in C$ をもち、$\deg g=[R(\alpha):R]\le[C:R]=2$ だからである（拡大次数）。(b) 任意の $a\in R$ について、$w^2=a$ となる $w=x+yi\in C$（$x,y\in R$）をとると $x^2-y^2=a$、$2xy=0$ である。$R$ の標数は $2$ でない（標数 $2$ なら $x^2+1=(x+1)^2$ は既約でなく $C$ は体でない）ので $x=0$ または $y=0$ であり、$a=-y^2$ または $a=x^2$ である。(c) $a,b\in R$ について、$(c+di)^2=a+bi$ となる $c,d\in R$ をとると $c^2-d^2=a$、$2cd=b$ なので $a^2+b^2=(c^2-d^2)^2+4c^2d^2=(c^2+d^2)^2$ である。帰納的に、平方の和は平方である。(d) $-1$ は平方でないので、(c) により平方の和でもなく、$R$ は実体である。すると (b) と (c) は lem-real-closed-field-squares の 1・2 と同じ主張なので、1 ⇒ 2 の前半と同じ議論で、正の元が平方であるような順序が入る。(e) 奇数次の多項式 $f$ の既約因子は (a) により 1 次か 2 次であり、次数の和が奇数なので 1 次の因子があり、$f$ は $R$ に根をもつ。
2 ⇒ 1。$R$ は順序体なので実体である。$L$ を $R$ の真の代数拡大とし、$\alpha\in L\setminus R$ をとり、その $R$ 上の最小多項式を $h$ とする（$\deg h\ge2$）。2 ⇒ 3 により $C=R(i)$ は代数閉体なので $h$ は根 $\beta\in C$ をもち、$R(\alpha)\cong R[x]/(h)\cong R(\beta)\subset C$ である。$[R(\beta):R]=\deg h\ge2=[C:R]$ なので $R(\beta)=C$ であり、$R(\alpha)$、したがって $L$ は平方が $-1$ になる元を含む。よって $L$ は実体でない。したがって $R$ は実閉体である。$\square$

存在は thm-real-closed-field-equivalent の 1 ⇒ 2 による。$\le'$ を $R$ を順序体にする任意の順序とする。定義の節で見たように、$x\neq0$ なら $x^2>'0$ である。lem-real-closed-field-squares の 1 により、$0$ でない元 $a$ は $0$ でない平方 $x^2$ か、その符号を変えた $-x^2<'0$ である。よって $\le'$ の正の元は $0$ でない平方の全体であり、順序は $a\le'b\iff b-a$ が正または $0$、によって正の元の全体から決まるので、順序はただ 1 つである。$a=x^2>0$ なら、$y^2=a$ の解は $(y-x)(y+x)=0$ から $y=\pm x$ だけであり、そのちょうど一方が正である。$\square$

$R$ 上の既約多項式は、1 次式か、判別式が負の 2 次式 $x^2+\beta x+\gamma$（$\beta^2-4\gamma<0$）の定数倍である。実際、prf-real-closed-field-equivalent の 3 ⇒ 2 の (a) により既約多項式の次数は $2$ 以下であり、$\beta^2-4\gamma\ge0$ なら $\beta^2-4\gamma$ は平方根 $\delta\in R$ をもち（cor-real-closed-field-order）、$(-\beta\pm\delta)/2$ が根になって既約でないからである。判別式が負なら、すべての $x\in R$ で
$$ x^2+\beta x+\gamma=\Bigl(x+\frac\beta2\Bigr)^2+\frac{4\gamma-\beta^2}4>0 $$
である。$R[x]$ は一意分解整域なので、$f=u\prod_{j}(x-r_j)\prod_kq_k(x)$（$u\in R$、$u\neq0$、$r_j\in R$、$q_k$ は判別式が負のモニックな 2 次式）と書ける。$f(a),f(b)\neq0$ なので $r_j\neq a,b$ である。$a< r_j< b$ となる $r_j$ がないとすると、各 $j$ で $r_j< a$ か $r_j>b$ であり、$a-r_j$ と $b-r_j$ の符号は一致する。$q_k(a),q_k(b)>0$ なので、$f(a)$ と $f(b)$ の符号も一致し、仮定に反する。よって $a< r_j< b$ となる根 $c=r_j$ がある。$\square$

1. cor-real-closed-field-order により $a\le b$ なら $b-a=x^2$ と書け、$\sigma(b)-\sigma(a)=\sigma(x)^2\ge0$ である。
2. $K=\mathbb{R}$ または $K=A$ とし、$\sigma$ を $K$ の自己同型とする。$\sigma(1)=1$ なので $\sigma$ は整数を、したがって有理数を固定する。$\sigma(x)\neq x$ となる $x\in K$ があるとし、たとえば $\sigma(x)< x$ とすると、$\sigma(x)< r< x$ となる有理数 $r$ がある（$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ で稠密。Archimedesの性質）。$r< x$ と 1 から $r=\sigma(r)\le\sigma(x)$ となり矛盾する。$\sigma(x)>x$ の場合も同様である。$\square$