導来列

3 次の対称群 $S_3$ の導来列は
$$ S_3\supset A_3\supset\{e\} $$
である。$D_1=[S_3,S_3]=A_3$（交代群）は 交換子部分群 の記事の命題「対称群の交換子部分群」により、$D_2=[A_3,A_3]=\{e\}$ は同記事の命題「交代群の交換子部分群」の 1 による。$S_3$ は可換でないので導来長は $2$ である。
4 次の対称群 $S_4$ の導来列は
$$ S_4\supset A_4\supset V\supset\{e\},\qquad V=\{e,(1\,2)(3\,4),(1\,3)(2\,4),(1\,4)(2\,3)\} $$
である。$D_2=[A_4,A_4]=V$ は同命題の 2 により、$V$ はKleinの四元群と同型でアーベル群なので $D_3=\{e\}$ である。$D_2\neq\{e\}$ なので導来長は $3$ である。商因子 $S_4/A_4$、$A_4/V$、$V$ はそれぞれ位数 $2$、$3$、$4$ のアーベル群である。

次の群は、交換子部分群が巡回群（したがってアーベル群）で自明でないので、導来長が $2$ である。

1. 位数 $2n$ の二面体群 $\operatorname{Dih}_n$（$n\ge3$）：$D_1=\langle r^2\rangle$（交換子部分群 の記事の例「正多角形の対称性」）であり、$r$ の位数は $n\ge3$ なので $r^2\neq e$ である。$n=1,2$ では $\operatorname{Dih}_n$ はアーベル群で導来長は $1$ である。
2. 四元数群 $Q_8$：$D_1=\{1,-1\}$（同記事の例「Hamilton の規則による位数 8 の群」）。
3. Heisenberg群 $H=\mathbb{Z}^3$（積は $(a,b,c)(a',b',c')=(a+a',\,b+b',\,c+c'+ab')$）：$D_1=\{(0,0,c)\mid c\in\mathbb{Z}\}\cong\mathbb{Z}$（同記事の例「Heisenberg群」）。

3 元体 $\mathbb{F}_3$ 上の特殊線形群 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_3)$（位数 $24$）の導来列は
$$ \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_3)\supset Q\supset\{\pm I\}\supset\{I\} $$
であり、導来長は $3$ である。ここで $I$ は単位行列、$Q$ は $\pm I$ と位数 $4$ の元 $6$ 個からなる位数 $8$ の部分群であり、$D_1=Q$ は 完全群 の記事の例「行列式が 1 の行列の群」で示されている。
$D_2=[Q,Q]=\{\pm I\}$ を示す。$\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_3)$ の位数 $2$ の元は $-I$ だけである（$A^2=I$、$A\neq\pm I$ なら $A$ の固有値は $1$ と $-1$ で $\det A=-1$ となる）。よって位数 $4$ の元 $A$ は $A^2=-I$ を満たす。逆に $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}$（トレース $0$）で $\det A=-a^2-bc=1$ を満たす組 $(a,b,c)\in\mathbb{F}_3^3$ は $6$ 個であり、Cayley–Hamilton の定理により $\det A=1$ のとき $A^2=-I$ はトレース $0$ と同値なので、$\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_3)$ の位数 $4$ の元はちょうどこの $6$ 個であり、いずれも $Q$ に属する。$\{\pm I\}$ はすべての行列と可換なので $Q$ の正規部分群であり、剰余群 $Q/\{\pm I\}$ は位数 $4$ で、すべての元の $2$ 乗が単位元である。すべての元 $x$ が $x^2=e$ を満たす群はアーベル群である（$xy=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=yx$）から、$[Q,Q]\subset\{\pm I\}$ である。他方
$$ P:=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\qquad P':=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} $$
はどちらも行列式が $1$ で $P^2=P'^2=-I$ を満たすので $Q$ に属し、$PP'=\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}$、$P'P=-PP'$ である。$-I$ は中心にあるので $[P,P']=PP'(P'P)^{-1}=PP'\bigl(-(PP')^{-1}\bigr)=-I$ となり、$[Q,Q]=\{\pm I\}$ である。最後に $\{\pm I\}$ はアーベル群なので $D_3=\{I\}$ である。$S_4$ と $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_3)$ はどちらも位数 $24$ で導来長 $3$ の可解群である。

$k$ を元の個数が $3$ 以上の体とし、$B$ を可逆な 2 次上三角行列全体の群、$U:=\{u(x)\mid x\in k\}$、$u(x):=\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}$ とする。このとき $D_1(B)=U$、$D_2(B)=\{I\}$ であり、$B$ の導来長は $2$ である。
実際、$\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}\mapsto(a,d)$ は $B$ からアーベル群 $k^\times\times k^\times$ への群準同型で、核は $U$ であるから、交換子はすべて $U$ に属し $D_1(B)\subset U$ である。逆に $a\in k^\times$、$a\neq1$ をとり（$k$ の元が $3$ 個以上なので存在する）、$t:=\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}$ とおくと $tu(x)t^{-1}=u(ax)$ なので
$$ [t,u(x)]=u(ax)u(x)^{-1}=u((a-1)x) $$
である。$x$ が $k$ を動けば $(a-1)x$ も $k$ 全体を動くので $U\subset D_1(B)$ である。$u(x)u(y)=u(x+y)$ なので $U$ は $k$ の加法群と同型なアーベル群であり、$D_2(B)=\{I\}$ である。$U\neq\{I\}$ なので導来長は $2$ である。$k=\mathbb{F}_2$ では $B=U$ は位数 $2$ の群で、導来長は $1$ である。

$n\ge5$ なら $S_n$ の導来列は
$$ S_n\supset A_n=A_n=A_n=\cdots $$
である（交換子部分群 の記事の命題「対称群の交換子部分群」と命題「交代群の交換子部分群」の 3）。導来列は 2 段目で止まるが $\{e\}$ に達しないので、$S_n$ は可解群でない。この例は「有限群である」を満たすが「導来列が $\{e\}$ に達する」を満たさず、含意「有限群の導来列はいつか $\{e\}$ に達する」を破る。止まった先の $A_n$ は完全群である。

2 元で生成される自由群 $F_2$ の導来列は、$\{e\}$ に達することも、どこかで止まる（$D_r=D_{r+1}$ となる）こともない（完全群 の記事の注意「反例：有限性を外した場合」）。すなわち $F_2=D_0\supsetneq D_1\supsetneq D_2\supsetneq\cdots$ はすべての包含が真の無限減少列である。有限群では減少列の位数が有限回しか減らないので導来列は必ずどこかで止まる（同記事の命題「導来列と完全部分群」の 4）が、この例は「群である」を満たすが「導来列がどこかで止まる」を満たさず、含意「導来列はどこかで止まる」を無限群について破る。

prop-derived-series-solvable の 4 の不等式 $\mathrm{dl}(G)\le\mathrm{dl}(N)+\mathrm{dl}(G/N)$ は等号とは限らない。$G=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$、$N=\{0,2\}$ とすると、$N$ と $G/N$ はどちらも位数 $2$ で導来長 $1$ であるが、$G$ はアーベル群なので導来長は $1<1+1$ である。これに対し $G=S_3$、$N=A_3$ では $N$ と $G/N$ の導来長がともに $1$ で、$S_3$ の導来長は $2$ であり等号が成り立つ。$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ の例は「$N$ と $G/N$ の導来長が $1$」を満たすが「$G$ の導来長が $2$」を満たさず、含意「導来長は正規部分群と剰余群の導来長の和に等しい」を破る。