量子力学の関数解析的構造

同義語：量子力学の数学的構造に関わる関数解析functional-analytic structure of quantum mechanics

概要

前提知識: Hilbert空間, 自己共役作用素, Fourier変換, ユニタリ表現

量子力学を作用素として読む

量子力学の関数解析的定式化では、状態をHilbert空間の単位ベクトルまたは密度作用素で表し、観測量を自己共役作用素で表す。有限次元線形代数と異なる本質は、位置・運動量・Hamilton作用素が通常は非有界であり、作用素の定義域、自己共役性、スペクトル測度を同時に管理しなければならない点にある。
本記事では $\hbar=1$ とし、内積は第2変数について線形とする。有限自由度のWeyl型正準交換関係、Stone–von Neumannの一意性、調和振動子、回転対称性、水素型作用素を同じ枠組みで位置づける。

状態と観測量

複素Hilbert空間 $\mathcal H$ の単位ベクトル $\psi$ が純粋状態を表す。ただし $\psi$ と $e^{i\theta}\psi$ は同じ純粋状態を表し、物理的な状態は単位ベクトルの射線である。自己共役作用素 $A$ とそのスペクトル測度 $E_A$ に対し、状態 $\psi$ で観測値がBorel集合 $B\subset\mathbb R$ に入る確率を
$$ \langle\psi,E_A(B)\psi\rangle $$
と定める。$\psi\in D(A)$ なら期待値は $\langle\psi,A\psi\rangle$ である。

自己共役と対称の違い

稠密定義作用素 $A$ が対称であるとは $A\subseteq A^*$ であること、自己共役であるとは $A=A^*$ であることをいう。対称性だけでは実数上のスペクトル測度や一意なユニタリ時間発展は保証されない。境界条件の選択は自己共役拡張の選択として現れる。RS80 Chapters VII--VIII。

Schrödinger表現とWeyl関係

$\mathcal H=L^2(\mathbb R^N)$ とする。$j=1,\ldots,N$ に対し、位置作用素と運動量作用素を
$$ (Q_jf)(q)=q_jf(q),\qquad P_jf=-i\frac{\partial f}{\partial q_j} $$
で定める。$Q_j$ の自然な定義域は $q_jf\in L^2$ を満たす関数、$P_j$ の定義域は対応する弱微分が $L^2$ に属する関数である。両者は自己共役であり、Schwartz空間 $\mathcal S(\mathbb R^N)$ は共通の不変な芯になる。

Weyl型正準交換関係

自己共役作用素の族 $Q_1,\ldots,Q_N,P_1,\ldots,P_N$ がWeyl型正準交換関係を満たすとは、
$$ U(x)=e^{i x\cdot Q},\qquad V(y)=e^{i y\cdot P} $$
が強連続なユニタリ表現をなし、
$$ U(x)V(y)=e^{-i x\cdot y}V(y)U(x) \qquad(x,y\in\mathbb R^N) $$
を満たすことをいう。

Schrödinger表現はWeyl関係を満たす

$L^2(\mathbb R^N)$ 上の位置・運動量作用素に対し、
$$ (U(x)f)(q)=e^{i x\cdot q}f(q),\qquad (V(y)f)(q)=f(q+y) $$
であり、Weyl型正準交換関係が成り立つ。

$U(x)$ は絶対値1の関数による乗算、$V(y)$ は平行移動だから、ともにユニタリで強連続である。任意の $f\in L^2(\mathbb R^N)$ に対し、ほとんどすべての $q$ で
$$ (U(x)V(y)f)(q)=e^{i x\cdot q}f(q+y) $$
である。一方、
$$ (V(y)U(x)f)(q)=e^{i x\cdot(q+y)}f(q+y) =e^{i x\cdot y}(U(x)V(y)f)(q) $$
だから、$U(x)V(y)=e^{-i x\cdot y}V(y)U(x)$ を得る。

Fourier変換による位置と運動量の交換

ユニタリFourier変換 $\mathcal F$ の規約を
$$ (\mathcal Ff)(\xi)=(2\pi)^{-N/2}\int_{\mathbb R^N}e^{-i q\cdot\xi}f(q)\,dq $$
とする。このときSchwartz空間上で
$$ \mathcal F P_j\mathcal F^{-1}=Q_j, \qquad \mathcal F Q_j\mathcal F^{-1}=-P_j $$
が成り立ち、閉包を取れば自己共役作用素としての等式になる。

$f\in\mathcal S(\mathbb R^N)$ とする。部分積分により
$$ \mathcal F(-i\partial_j f)(\xi)=\xi_j\mathcal Ff(\xi) $$
である。また積分核を $\xi_j$ で微分して
$$ \mathcal F(q_jf)(\xi)=i\partial_{\xi_j}\mathcal Ff(\xi) $$
を得る。従ってSchwartz空間上の二式が従う。Schwartz空間は各作用素の芯であり、$\mathcal F$ はユニタリなので閉包後の等式も成り立つ。

Heisenberg群と一意性

Heisenberg群

$N$ 次Heisenberg群 $H_N$ は集合 $\mathbb R^N\times\mathbb R^N\times\mathbb R$ に積
$$ (x,y,t)(x',y',t')=\left(x+x',y+y',t+t'+\frac12(x\cdot y'-x'\cdot y)\right) $$
を入れた局所コンパクトLie群である。

Weyl表現からHeisenberg群の表現を作る

Weyl関係を満たす $U,V$ に対し
$$ \pi(x,y,t)=e^{-i(t-\frac12x\cdot y)}U(x)V(y) $$
とおくと、$\pi$ は $H_N$ の強連続ユニタリ表現であり、中心上で $\pi(0,0,t)=e^{-it}1$ を満たす。

Weyl関係から $V(y)U(x')=e^{i x'\cdot y}U(x')V(y)$ である。従って
$$ \begin{aligned} \pi(x,y,t)\pi(x',y',t') &=e^{-i(t+t'-\frac12x\cdot y-\frac12x'\cdot y')}e^{i x'\cdot y}U(x+x')V(y+y')\\ &=\pi\left(x+x',y+y',t+t'+\frac12(x\cdot y'-x'\cdot y)\right). \end{aligned} $$
強連続性とユニタリ性は $U,V$ の対応する性質から従い、中心上の式は定義から直ちに分かる。

Stone–von Neumannの一意性定理

$H_N$ の既約な強連続ユニタリ表現 $\pi$ が
$$ \pi(0,0,t)=e^{-it}1 $$
を満たすなら、$\pi$ は $L^2(\mathbb R^N)$ 上のSchrödinger表現から得られる表現とユニタリ同値である。Hal13 Chapter 14。

定理の適用範囲

有限自由度、強連続性、既約性、中心指標の固定が必要である。強連続性を落とした非正則表現や、無限自由度の正準交換関係には互いにユニタリ同値でない表現が存在する。従って量子場理論へ同じ一意性をそのまま延長することはできない。

不確定性と定義域

Robertsonの不確定性不等式

$u=(A-a)\psi$、$v=(B-b)\psi$ とおく。Cauchy–Schwarzの不等式から
$$ \|u\|\|v\|\geq|\operatorname{Im}\langle u,v\rangle| $$
である。自己共役性と定義域の仮定により
$$ 2i\operatorname{Im}\langle u,v\rangle =\langle u,v\rangle-\langle v,u\rangle =\langle\psi,(AB-BA)\psi\rangle. $$
絶対値を取れば主張を得る。

非有界作用素の積は全空間で定義されない

$L^2(\mathbb R)$ の関数 $\psi=\mathbf1_{[0,1]}$ は位置作用素 $Q$ の定義域に属するが、弱微分がDirac測度を含むため運動量作用素 $P$ の定義域には属さない。従って $[Q,P]\psi$ は定義されない。「$[Q,P]=i1$」は共通不変芯など定義域を固定して読む必要があり、任意の $L^2$ ベクトルへ作用させられる有界作用素等式ではない。

調和振動子

Schwartz空間 $\mathcal S(\mathbb R)$ 上の対称作用素
$$ H_0=-\frac{d^2}{dq^2}+q^2=P^2+Q^2 $$
は本質的自己共役である。その自己共役閉包を $H_{\mathrm{osc}}$ とする。Hal13 Chapter 11。Schwartz空間上で
$$ a=\frac{Q+iP}{\sqrt2},\qquad a^*=\frac{Q-iP}{\sqrt2} $$
とおけば、$[a,a^*]=1$、$H_{\mathrm{osc}}=2a^*a+1$ である。

調和振動子の基底状態

$a\psi=0$ を満たす非零の $L^2(\mathbb R)$ 関数は定数倍を除いて
$$ \psi_0(q)=\pi^{-1/4}e^{-q^2/2} $$
であり、$H_{\mathrm{osc}}\psi_0=\psi_0$ を満たす。

$P=-i\,d/dq$ だから
$$ a\psi=\frac1{\sqrt2}\left(q+\frac d{dq}\right)\psi=0 $$
は $\psi'(q)=-q\psi(q)$ と同値である。解は $Ce^{-q^2/2}$ であり、正規化定数は
$$ 1=|C|^2\int_{\mathbb R}e^{-q^2}\,dq=|C|^2\sqrt\pi $$
から $|C|=\pi^{-1/4}$ となる。また $a\psi_0=0$ と $H_{\mathrm{osc}}=2a^*a+1$ から固有値1を得る。

調和振動子のスペクトル

$H_{\mathrm{osc}}$ のスペクトルは純粋に離散で、
$$ \sigma(H_{\mathrm{osc}})=\{2n+1:n=0,1,2,\ldots\} $$
である。固有関数は $\psi_n=(n!)^{-1/2}(a^*)^n\psi_0$ で与えられ、Hermite関数として $L^2(\mathbb R)$ の完全正規直交系をなす。Hal13 Chapter 11、RS80 Chapter VIII。

代数計算だけでは足りない

交換関係は候補固有値と固有関数を与えるが、自己共役性、スペクトルに他の点がないこと、固有関数の完全性は別に示す必要がある。形式的な昇降作用素計算だけでスペクトル決定が完了したとはみなさない。

回転対称性と水素型作用素

角運動量作用素

$L^2(\mathbb R^3)$ のSchwartz空間上で
$$ L=Q\times P, \qquad L_j=\sum_{k,l=1}^3\varepsilon_{jkl}Q_kP_l $$
と定める。これは回転群 $SO(3)$ の正則ユニタリ表現の無限小生成子であり、共通芯上で
$$ [L_i,L_j]=i\sum_k\varepsilon_{ijk}L_k $$
を満たす。

球面調和関数による分解

球面 $S^2$ 上では
$$ L^2(S^2)=\widehat\bigoplus_{l=0}^{\infty}\mathcal H_l, $$
ここで $\mathcal H_l$ は次元 $2l+1$ の球面調和関数の空間であり、$L^2=L_1^2+L_2^2+L_3^2$ は $\mathcal H_l$ 上で固有値 $l(l+1)$ をもつ。回転不変なSchrödinger作用素はこの分解を保ち、各 $l$ ごとの動径方程式へ分解される。Hal13 Chapters 17--18。

水素型Hamilton作用素の離散スペクトル

適切な単位系で、閉で下に有界な二次形式
$$ q[\psi]=\int_{\mathbb R^3}|\nabla\psi|^2\,dx -2\int_{\mathbb R^3}\frac{|\psi(x)|^2}{|x|}\,dx, \qquad D(q)=H^1(\mathbb R^3) $$
に付随する自己共役作用素を $H_{\mathrm H}$ とする。これは微分表示 $-\Delta-2/|x|$ のFriedrichs実現である。このとき本質スペクトルは $[0,\infty)$ であり、負の離散固有値は
$$ -\frac1{n^2}\qquad(n=1,2,3,\ldots) $$
で、各固有値の重複度は $n^2$ である。Hal13 Chapter 18、RS78 Chapter XIII。

水素型作用素の厳密化

$|x|^{-1}$ の特異性があるため、微分式を書くだけでは作用素は定まらない。二次形式、Kato–Rellich型定理、またはFriedrichs拡張によって自己共役な実現を固定する必要がある。Runge–Lenzベクトルによる縮退の説明も、まず共通不変定義域を確保してから行う。

有限自由度から先へ

有限自由度ではStone–von Neumannの定理がSchrödinger表現の一意性を与える。一方、無限自由度では表現が一意でなく、真空・温度・相の違いが非同値な表現として現れる。したがって、有限自由度の量子力学で用いたHilbert空間と作用素の組を、量子場や無限量子系へ無条件に固定することはできない。この先ではC*-環の状態、GNS構成、von Neumann環、KMS状態が自然な言語になる。