縮小補題

整列可能定理 により、添字集合 $I$ に整列順序 $<$ を 1 つ入れる。また、閉集合 $F$ と開集合 $G$ で $F\subset G$ となるものの組ごとに、開集合 $V$ で $F\subset V\subset\overline V\subset G$ となるものを 1 つ選んでおく（正規空間 の命題「閉包ごとの縮小による言い換え」により存在し、選ぶのに選択公理を使う）。
構成． $i\in I$ について、$j< i$ の $V_j$ がすでに定まっているとき
$$ F_i:=X\setminus\Bigl(\bigcup_{j< i}V_j\ \cup\ \bigcup_{j>i}U_j\Bigr) $$
とおく。$F_i$ は開集合の和の補集合なので閉集合である。$F_i\subset U_i$ ならば、組 $(F_i,U_i)$ について選んだ開集合を $V_i$ とし、そうでなければ $V_i:=\emptyset$ とする。超限再帰により、これで族 $(V_i)_{i\in I}$ が定まる（超限帰納法 の節「超限再帰との違い」）。
被覆であることが保たれること． 各 $i\in I$ について、主張
$$ P(i):\qquad \bigcup_{j< i}V_j\ \cup\ \bigcup_{j\ge i}U_j=X $$
を整列集合上の帰納法（超限帰納法 の命題「整列集合上の帰納法」）で示す。$P(i)$ が成り立てば、$F_i$ の点は $U_i$ に入るので $F_i\subset U_i$ であり、$F_i\subset V_i\subset\overline{V_i}\subset U_i$ となる。
すべての $j< i$ で $P(j)$ が成り立つとし、$x\in X$ をとる。$x$ がある $U_j$（$j\ge i$）に入れば終わる。そうでないとき、$x$ を含む成員の添字の集合 $J_x:=\{j\in I\mid x\in U_j\}$ は、被覆なので空でなく、点有限なので有限であり、その元はすべて $i$ より小さい。$J_x$ の最大元を $j_0$ とすると $j_0< i$ で、$x$ は $j>j_0$ のどの $U_j$ にも入らない。$x$ がある $V_j$（$j< j_0$）に入れば、$j< i$ なので終わる。そうでなければ、$F_{j_0}$ の定義により $x\in F_{j_0}$ である。$P(j_0)$ が成り立つので $F_{j_0}\subset V_{j_0}$ であり、$x\in V_{j_0}$、$j_0< i$ である。よって $P(i)$ が成り立つ。
全体が被覆であること． $x\in X$ について、上と同じく $J_x$ の最大元 $j_0$ をとると、$x$ は $j>j_0$ の $U_j$ に入らないので、ある $V_j$（$j< j_0$）に入るか、$x\in F_{j_0}\subset V_{j_0}$ である。よって $\bigcup_iV_i=X$ であり、各 $i$ で $\overline{V_i}\subset U_i$ なので、$(V_i)$ は縮小である。$\square$

1 ⇒ 3 は thm-shr-main、3 ⇒ 2 は 2 成員の族が点有限であることによる。2 ⇒ 1：互いに素な閉集合 $A$、$B$ をとると $(X\setminus A,X\setminus B)$ は開被覆である。その縮小 $(V_1,V_2)$ をとり、$O_1:=X\setminus\overline{V_1}$、$O_2:=X\setminus\overline{V_2}$ とおく。$\overline{V_1}\subset X\setminus A$ から $A\subset O_1$、同様に $B\subset O_2$ であり、$V_1\cup V_2=X$ から $O_1\cap O_2=X\setminus(\overline{V_1}\cup\overline{V_2})=\emptyset$ である。$\square$

局所有限な族は点有限なので、thm-shr-main により縮小 $(V_i)$ をとり、さらに $(V_i)$ の縮小 $(W_i)$ をとる：$\overline{W_i}\subset V_i$、$\overline{V_i}\subset U_i$、$\bigcup_iW_i=X$ である。$\overline{W_i}$ と $X\setminus V_i$ は互いに素な閉集合なので、Urysohn の補題（正規空間 の定理「Urysohn の補題の言明」）により、$\overline{W_i}$ 上で $1$、$X\setminus V_i$ 上で $0$ となる連続関数 $f_i\colon X\to[0,1]$ がある（各 $i$ について 1 つ選ぶ）。$\{f_i\neq0\}\subset V_i$ なので $\operatorname{supp}f_i\subset\overline{V_i}\subset U_i$ であり、台の族は局所有限な族 $(U_i)$ の成員に含まれるので局所有限である（局所有限(位相) の命題「局所有限性を保つ操作」の 1）。
局所有限(位相) の命題「局所有限な和」により $s:=\sum_if_i$ は連続である。各点は $(W_i)$ のどれかに入り、そこで $f_i=1$ なので $s\ge1$ である。$\varphi_i:=f_i/s$ とおくと、$\varphi_i$ は $[0,1]$ 値の連続関数で、$\operatorname{supp}\varphi_i=\operatorname{supp}f_i\subset U_i$、$\sum_i\varphi_i=1$ である。$\square$

$X$ は正則かつ正規である（パラコンパクト空間 の命題「正則性と正規性」）。同記事の補題「閉包を制御する細分」を $\{U_i\mid i\in I\}$ に使い、局所有限な開被覆 $(W_k)_{k\in K}$ と写像 $\nu\colon K\to I$ で $\overline{W_k}\subset U_{\nu(k)}$ となるものをとる。$V_i:=\bigcup_{\nu(k)=i}W_k$ とおく。$(W_k)$ が被覆なので $(V_i)$ は被覆である。点の近傍が有限個の $W_k$ としか交わらなければ、その近傍は有限個の $V_i$（$i=\nu(k)$）としか交わらないので、$(V_i)$ は局所有限である。局所有限な族の部分族の和の閉包は閉包の和なので（開被覆 の命題「局所有限な族の閉包」）、$\overline{V_i}=\bigcup_{\nu(k)=i}\overline{W_k}\subset U_i$ である。後半は $(V_i)$ に thm-shr-partition を使い、$\operatorname{supp}\varphi_i\subset V_i\subset U_i$ を得る。$\square$