ℓ進層

1. $\mathbb Z_\ell$ は単項イデアル整域なので、$M\cong\mathbb Z_\ell^r\oplus\bigoplus_{i}\mathbb Z/\ell^{e_i}$（有限和）である。直和成分ごとに確かめればよい。$\mathbb Z_\ell$ では $\mathbb Z_\ell/\ell^\nu=\mathbb Z/\ell^\nu$ で、極限は $\mathbb Z_\ell$ そのものである。$\mathbb Z/\ell^e$ では $\nu\ge e$ で $M_\nu=\mathbb Z/\ell^e$ となり遷移写像は恒等写像なので、極限は $\mathbb Z/\ell^e$ である。$M_{\nu+1}/\ell^\nu M_{\nu+1}\cong M_\nu$ は定義から明らかである。
2. まず、$\nu\le\mu$ について合成 $M_\mu\to M_\nu$ は全射で、その核は $\ell^\nu M_\mu$ である。$\mu$ についての帰納法による。$\mu=\nu$ は明らかで、$M_{\mu+1}\to M_\mu$ は仮定から全射で核は $\ell^\mu M_{\mu+1}\subseteq\ell^\nu M_{\mu+1}$ である。帰納法の仮定とあわせると、$M_{\mu+1}\to M_\nu$ は全射で、核は $\ell^\nu M_\mu$ の逆像 $\ell^\nu M_{\mu+1}+\ell^\mu M_{\mu+1}=\ell^\nu M_{\mu+1}$ である。
$M\to M_\nu$ は全射である。実際、$x_\nu\in M_\nu$ の逆像を $M_{\nu+1}$ から選び、さらにその逆像を $M_{\nu+2}$ から選ぶ、と続ければ（$\mu<\nu$ の成分は像で定める）$M$ の元が得られる。
$M\to M_\nu$ の核は $\ell^\nu M$ である。$\ell^\nu M_\nu=0$ なので核は $\ell^\nu M$ を含む。逆に $x=(x_\mu)\in M$ が $x_\nu=0$ を満たすとする。$\mu\ge\nu$ について $x_\mu$ は $M_\mu\to M_\nu$ の核に入るので、$S_\mu:=\{y\in M_\mu\mid\ell^\nu y=x_\mu\}$ は空でない有限集合であり、遷移写像は $S_{\mu+1}$ を $S_\mu$ に移す。空でない有限集合の射影系の極限は空でない（ℓ進コホモロジー の補題「有限群の逆系の極限の完全性」の証明と同じく、安定像を順にたどる）。よって $y\in M$ で $\ell^\nu y=x$ となるものがある。以上で $M/\ell^\nu M\cong M_\nu$ が示された。
最後に $M$ が有限生成であることを示す。$M/\ell M\cong M_1$ は有限なので、$m_1,\dots,m_r\in M$ をその像が $M/\ell M$ を生成するようにとる。$m_i$ の $M_\nu$ での像は $M_\nu/\ell M_\nu\cong M_1$ を生成するので、それらが生成する部分加群を $N_\nu$ とすると $M_\nu=N_\nu+\ell M_\nu$ である。これを繰り返し代入すると $M_\nu=N_\nu+\ell^\nu M_\nu=N_\nu$ となる。よって $(\mathbb Z/\ell^\nu)^r\to M_\nu$、$e_i\mapsto(m_i\text{ の像})$ は全射であり、核 $K_\nu$ は有限である。短完全列 $0\to K_\nu\to(\mathbb Z/\ell^\nu)^r\to M_\nu\to0$ は $\nu$ について射影系をなし、有限群の短完全列の射影系の極限は完全なので（ℓ進コホモロジー の補題「有限群の逆系の極限の完全性」）、$\mathbb Z_\ell^r\to M$ は全射である。$\square$

$\Gamma:=\pi_1(X,\bar x)$ とおく。
関手が定まること。 $F$ を lisse な ℓ 進層とし、$M_\nu:=F_{\nu,\bar x}$ とおく。thm-l-adic-sheaf-finite-level により $\Gamma$ は有限加群 $M_\nu$ に連続に作用し、遷移写像は $\Gamma$ 同変である。茎の関手は完全なので $M_{\nu+1}/\ell^\nu M_{\nu+1}\cong M_\nu$ であり、lem-l-adic-sheaf-modules の 2 から $M:=F_{\bar x}$ は有限生成で $M/\ell^\nu M\cong M_\nu$ である。$\Gamma$ は $M=\varprojlim M_\nu$ に成分ごとに作用し、$M/\ell^\nu M$ への作用の核は $M_\nu$ への作用の核なので開である。よって作用は連続である。射 $u=(u_\nu)$ には $\varprojlim u_{\nu,\bar x}$ を対応させる。
忠実充満であること。 $F,G$ を lisse な ℓ 進層とし、$M,N$ をその茎とする。thm-l-adic-sheaf-finite-level により、射 $u_\nu\colon F_\nu\to G_\nu$ は $\Gamma$ 同変な $\mathbb Z/\ell^\nu$ 線形写像 $M/\ell^\nu M\to N/\ell^\nu N$ と一対一に対応し、遷移写像との可換性も対応する。よって $\operatorname{Hom}(F,G)$ は、$\Gamma$ 同変な写像 $\varphi_\nu\colon M/\ell^\nu M\to N/\ell^\nu N$ の両立する族の集合と一対一に対応する。そのような族は lem-l-adic-sheaf-modules の 1 の同型 $M\cong\varprojlim M/\ell^\nu M$、$N\cong\varprojlim N/\ell^\nu N$ によって $\Gamma$ 同変な $\mathbb Z_\ell$ 線形写像 $\varprojlim\varphi_\nu\colon M\to N$ を与える。逆に $\Gamma$ 同変な $\varphi\colon M\to N$ は $\ell^\nu M$ を $\ell^\nu N$ に移すので族 $(\varphi\bmod\ell^\nu)$ を与え、2 つの対応は互いに逆である。
本質的に全射であること。 $M$ を $\Gamma$ が連続に作用する有限生成 $\mathbb Z_\ell$ 加群とし、$M_\nu:=M/\ell^\nu M$ とおく。$\Gamma$ は有限加群 $M_\nu$ に、核が開部分群であるように作用する。thm-l-adic-sheaf-finite-level により、局所定数構成可能な $\mathbb Z/\ell^\nu$ 加群の層 $F_\nu$ で $F_{\nu,\bar x}\cong M_\nu$ となるものと、射影 $M_{\nu+1}\to M_\nu$ に対応する射 $\pi_\nu\colon F_{\nu+1}\to F_\nu$ がある。$\pi_\nu$ が引き起こす $F_{\nu+1}/\ell^\nu F_{\nu+1}\to F_\nu$ は局所定数構成可能層の射で、その茎は同型 $M_{\nu+1}/\ell^\nu M_{\nu+1}\to M_\nu$ である。圏同値は同型を反映するので、これは同型である。よって $F=(F_\nu,\pi_\nu)$ は lisse な ℓ 進層で、lem-l-adic-sheaf-modules の 1 から $F_{\bar x}\cong\varprojlim M_\nu\cong M$（$\Gamma$ 同変）である。$\square$

格子 $L_0$ を 1 つ選ぶ。$\operatorname{GL}(L_0):=\{g\in\operatorname{GL}(V)\mid gL_0=L_0\}$ は、$L_0$ の基底について成分も逆行列の成分も $\mathbb Z_\ell$ に入る行列の全体であり、単位行列を含む $\operatorname{GL}(V)$ の開部分群である。よって $H:=\rho^{-1}(\operatorname{GL}(L_0))$ は $\Gamma$ の開部分群であり、$\Gamma$ はコンパクトなので指数 $[\Gamma:H]$ は有限である。$g_1,\dots,g_s$ を $\Gamma/H$ の代表系とし、$L:=\sum_{i=1}^s\rho(g_i)L_0$ とおく。各 $\rho(g_i)L_0$ は格子なので、$L$ は有限生成で $L_0$ を含む（$g_1\in H$ と選べる）。$L$ は捩れのない有限生成 $\mathbb Z_\ell$ 加群で $V$ を張るので、$V$ の格子である。$g\in\Gamma$ について $gg_i=g_{\sigma(i)}h_i$（$h_i\in H$、$\sigma$ は置換）と書けるので、$\rho(g)\rho(g_i)L_0=\rho(g_{\sigma(i)})L_0$ であり、$\rho(g)L=L$ である。$\square$

prop-l-adic-sheaf-lattice の安定な格子 $L$ をとる。$\Gamma$ の $L$ への作用は、$V$ への作用の制限であり、$L$ の $\ell$ 進位相は $V$ の位相の制限なので連続である。thm-l-adic-sheaf-monodromy により $L$ に対応する lisse な ℓ 進層 $F$ があり、$F_{\bar x}\otimes\mathbb Q_\ell=L\otimes\mathbb Q_\ell=V$ である。$\square$