Hadamardの不等式(行列式)

$\Gamma':=\Gamma(v_1,\dots,v_{k-1})$ とおく。$c=(c_1,\dots,c_{k-1})^{\top}\in F^{k-1}$ について、内積の線形性と共役線形性から
$$ c^*\Gamma'c=\sum_{i,j}\overline{c_i}\langle v_j,v_i\rangle c_j=\Bigl\langle\sum_jc_jv_j,\ \sum_ic_iv_i\Bigr\rangle=\Bigl\|\sum_jc_jv_j\Bigr\|^2 $$
である。$\Gamma'c=0$ なら $c^*\Gamma'c=0$、すなわち $\|\sum_jc_jv_j\|^2=0$ で、$v_1,\dots,v_{k-1}$ の線形独立性から $c=0$ である。よって $\Gamma'$ は正則である（正則行列 の記事の定理「正則性の同値条件」の 3 ⇒ 1）。
1：$p=\sum_jc_jv_j\in W$ について、$v_k-p$ が $v_1,\dots,v_{k-1}$ と直交する条件は、$i=1,\dots,k-1$ について
$$ \langle v_k,v_i\rangle=\langle p,v_i\rangle=\sum_jc_j\langle v_j,v_i\rangle=(\Gamma'c)_i $$
である。$g:=(\langle v_k,v_1\rangle,\dots,\langle v_k,v_{k-1}\rangle)^{\top}$ とおくと、これは $\Gamma'c=g$ であり、$\Gamma'$ は正則なので解 $c=\Gamma'^{-1}g$ がただ 1 つある。$v_1,\dots,v_{k-1}$ は線形独立なので、$p$ と係数 $c$ は 1 対 1 に対応し、$p$ もただ 1 つである。$h$ が $v_1,\dots,v_{k-1}$ と直交すれば、その線形結合である $W$ の元とも直交する。
2：$v_1,\dots,v_{k-1},v_k$ と $v_1,\dots,v_{k-1},h$ を列に並べた $m\times k$ 行列をそれぞれ $B$、$B'$ とする。$v_k=h+\sum_jc_jv_j$ なので $B=B'P$ であり、$P$ は単位行列 $I_k$ の第 $k$ 列を $(c_1,\dots,c_{k-1},1)^{\top}$ に替えた上三角行列で、$\det P=1$ である。よって
$$ \Gamma(v_1,\dots,v_k)=B^*B=P^*(B'^*B')P=P^*\,\Gamma(v_1,\dots,v_{k-1},h)\,P $$
であり、行列式 の記事の定理「積の行列式」と $\det P^*=\overline{\det P}=1$ から $G(v_1,\dots,v_k)=G(v_1,\dots,v_{k-1},h)$ である。$\langle h,v_i\rangle=\langle v_i,h\rangle=0$（$i< k$）なので
$$ \Gamma(v_1,\dots,v_{k-1},h)=\begin{pmatrix}\Gamma'&0\\0&\|h\|^2\end{pmatrix} $$
であり、その行列式は $G(v_1,\dots,v_{k-1})\,\|h\|^2$ である（行列式 の記事の命題「三角行列と区分三角行列の行列式」）。
3：$p\in W$ と $h$ は直交するので、三平方の定理により $\|v_k\|^2=\|p+h\|^2=\|p\|^2+\|h\|^2\ge\|h\|^2$ であり、等号は $p=0$ のときに限る。$p=0$ は $c=0$、すなわち $g=\Gamma'c=0$ と同値であり（$\Gamma'$ は正則）、$g=0$ は $v_k$ が $v_1,\dots,v_{k-1}$ のすべてと直交することである。$\square$

線形従属の場合：すべては $0$ でない $c\in F^k$ で $\sum_jc_jv_j=0$ となるものがある。$\Gamma(v_1,\dots,v_k)c$ の第 $i$ 成分は $\sum_j\langle v_j,v_i\rangle c_j=\langle\sum_jc_jv_j,v_i\rangle=0$ なので、$\Gamma(v_1,\dots,v_k)$ は正則でなく、$G(v_1,\dots,v_k)=0$ である。右辺は $0$ 以上なので 1 が成り立つ。
線形独立の場合：$k$ についての帰納法で、「$0< G(v_1,\dots,v_k)\le\|v_1\|^2\cdots\|v_k\|^2$ であり、等号は $v_1,\dots,v_k$ が互いに直交するときに限る」を示す。$k=1$ では $v_1\ne0$ で $G(v_1)=\langle v_1,v_1\rangle=\|v_1\|^2>0$ であり、等号が成り立ち、1 本のベクトルは互いに直交するという条件を自明に満たす。
$k\ge2$ とする。$v_1,\dots,v_{k-1}$ も線形独立なので、lem-hi-height の $h$ をとり、$\alpha:=G(v_1,\dots,v_{k-1})$、$\beta:=\|v_1\|^2\cdots\|v_{k-1}\|^2$、$\gamma:=\|h\|^2$、$\delta:=\|v_k\|^2$ とおく。帰納法の仮定により $0< \alpha\le\beta$ である。$h=0$ なら $v_k=p\in W$ となり線形独立性に反するので $\gamma>0$ であり、lem-hi-height の 3 により $\gamma\le\delta$ である。同補題の 2 により
$$ G(v_1,\dots,v_k)=\alpha\gamma\le\alpha\delta\le\beta\delta=\|v_1\|^2\cdots\|v_k\|^2 $$
であり、$\alpha\gamma>0$ である。$\alpha>0$、$\delta\ge\gamma>0$ なので、両端が等しいのは $\gamma=\delta$ かつ $\alpha=\beta$ のときに限る。帰納法の仮定と lem-hi-height の 3 により、これは $v_1,\dots,v_{k-1}$ が互いに直交し、かつ $v_k$ がそれらと直交することである。
2 の残り：ある $v_j$ が $0$ なら組は線形従属で、両辺とも $0$ である。$v_j$ がすべて $0$ でなく線形従属なら、左辺は $0$、右辺は正なので等号は成り立たず、このとき $v_1,\dots,v_k$ は互いに直交しない（$0$ でないベクトルが互いに直交すれば線形独立である）。線形独立な場合は上で示した。$\square$

1・2：$\Gamma(a_1,\dots,a_n)=A^*A$ なので、積の行列式の公式と $\det A^*=\overline{\det A}$ により $G(a_1,\dots,a_n)=\overline{\det A}\det A=|\det A|^2$ である。prop-hi-gram を $k=m=n$ で使い、両辺の平方根をとればよい（等号条件もそのまま移る）。
3：$A^{\top}$ の列は $A$ の行 $r_1,\dots,r_n$ を列ベクトルにしたもので、$\det A^{\top}=\det A$ である。1・2 を $A^{\top}$ に使えばよい（行の長さと直交性は、行を列ベクトルとみても変わらない）。$\square$

正定値行列 の記事の定理「半正定値行列の特徴づけ」の 1 ⇒ 4 により、ある $m$ と $B\in M_{m,n}(F)$ で $M=B^*B$ となるものがある。$B$ の列を $b_1,\dots,b_n\in F^m$ とすると、$M=\Gamma(b_1,\dots,b_n)$、$m_{jj}=\|b_j\|^2$、$m_{ij}=\langle b_j,b_i\rangle$ である。prop-hi-gram により $\det M=G(b_1,\dots,b_n)\le\prod_j\|b_j\|^2=\prod_jm_{jj}$ である。等号条件：「ある $b_j=0$」は「ある $m_{jj}=0$」と同値であり、「$b_1,\dots,b_n$ が互いに直交する」は「$i\ne j$ なら $m_{ij}=0$」、すなわち $M$ が対角行列であることと同値である。$\square$

各列について $\|a_j\|^2=\sum_i|a_{ij}|^2\le n$ であり、等号はその列の成分がすべて絶対値 $1$ のときに限る。thm-hi-main により $|\det A|\le\prod_j\|a_j\|\le n^{n/2}$ で、1 を得る。
2：$|\det A|=n^{n/2}>0$ なら、2 つの不等号がともに等号になる。後者から各 $\|a_j\|=\sqrt n$、すなわちすべての成分の絶対値が $1$ であり、とくにどの列も $0$ でないので、前者と thm-hi-main の 2 から列は互いに直交する。$A^*A$ の $(i,j)$ 成分は $\langle a_j,a_i\rangle$ なので、これは $A^*A=nI_n$ と同じである。逆にこの条件が成り立てば $|\det A|^2=\det(A^*A)=n^n$ である。3 は 2 を実数で書き直したものである。$\square$

正定値行列 の記事の定理「正定値行列の特徴づけ」の 1 ⇒ 6 により、正則な $C$ で $S=C^*C$ となるものがある。$N:=(C^{-1})^*EC^{-1}$ とおくと、$x^*Nx=(C^{-1}x)^*E(C^{-1}x)\ge0$ なので $N$ は半正定値な Hermite 行列で、固有値 $\nu_1,\dots,\nu_n$ はすべて $0$ 以上である（同記事の定理「半正定値行列の特徴づけ」の 1 ⇒ 2）。$S+E=C^*(I_n+N)C$ なので
$$ \det(S+E)=|\det C|^2\det(I_n+N)=\det S\cdot\prod_{i=1}^n(1+\nu_i)\ge\det S $$
である（$\det(I_n+N)$ は $I_n+N$ の固有値 $1+\nu_i$ の積）。$\det S=|\det C|^2>0$ である。$\square$

$A$ は $M$ の主小行列なので正定値で、正則である（正定値行列 の記事の命題「正定値性を保つ操作」の 2・3）。$S:=D-B^*A^{-1}B$ とおき、$Q:=\begin{pmatrix}I_p&-A^{-1}B\\0&I_{n-p}\end{pmatrix}$ とすると、ブロックごとに計算して
$$ Q^*MQ=\begin{pmatrix}A&0\\0&S\end{pmatrix} $$
である（Schur補行列）。$\det Q=1$ なので $\det M=\det A\cdot\det S$ である。$Q$ は正則なので $Q^*MQ$ は正定値で（同命題の 2）、その主小行列 $S$ も正定値である。$E:=B^*A^{-1}B$ は、$x^*Ex=(Bx)^*A^{-1}(Bx)\ge0$（$A^{-1}$ は正定値）より半正定値な Hermite 行列で、$D=S+E$ である。lem-hi-monotone により $\det D\ge\det S$ なので、$\det M=\det A\det S\le\det A\det D$ である。$\square$