余接複体

前提知識: Kähler微分、鎖複体、ホモロジー、導分、平方零拡大、射影加群

余接複体（cotangent complex）とは、環準同型の微分と関係式の情報を一つの複体にまとめたものである。次数零のホモロジーは通常の微分加群となり、係数を入れた次数零のコホモロジーは導分を、次数一は平方零拡大を表す。微分加群だけでは失われる関係式の一次情報を保持する。

微分だけでは分からないこと

環準同型 $A\to B$ の Kähler微分 $\Omega_{B/A}$ は、$B$ 加群 $M$ に値を取る $A$ 導分を表現する。つまり
$$ \operatorname{Hom}_B(\Omega_{B/A},M) \simeq\operatorname{Der}_A(B,M) $$
である。関数の一次変化を知るためには便利だが、方程式を持ち上げたときの誤差については情報が不足する。
例えば $A=\mathbb Z$、$B=\mathbb Z/4\mathbb Z$ とする。$B$ は基礎環の像だけで生成されるので、$A$ 導分はすべて零であり、$\Omega_{B/A}=0$ となる。しかし $\mathbb Z/16\mathbb Z\to B$ は分裂しない平方零拡大である。核 $(4)/(16)$ の積は零だが、$B$ の $4\cdot1=0$ を $\mathbb Z/16\mathbb Z$ へ保って持ち上げることはできない。微分が零という事実は、持上げ問題に障害がないことを意味しない。
余接複体は、生成元の微分と、それらに課した関係式の微分を別々の次数へ置く。さらに関係式間の関係も続く次数へ置く。関係式をただ消して商加群を作るのでなく、「どの関係式で消したのか」という情報を複体の境界写像として残す。この仕組みが、導分と拡大の障害を同じ複体から取り出せる理由である。
この記事では表示から得られる二項複体と全余接複体の構成を述べ、平坦基底変更を証明する。次数零が微分を表すこと、二項複体の表示独立性、標準自由分解の低次数計算は 素朴余接複体 で、全次数の自由分解の比較は André–Quillenホモロジー で証明する。高次数の一般計算を二項複体だけへ還元することはしない。

次数と係数を先に決める

ホモロジー次数を用い、微分加群の項を次数 $0$、関係式の項を次数 $1$ とする。複体の境界は次数を一つ下げる。余鎖次数を用いる文献なら、同じ二項複体は次数 $-1,0$ に置かれる。どちらも同じ情報を表しているが、シフトとコホモロジーの符号を混ぜないことが重要である。
非負鎖複体 $C$ と、次数零に置いた加群 $M$ に対し、$\operatorname{Hom}_B(C,M)$ はコホモロジーを計算する余鎖複体になる。例えば次数 $1$ の成分は $\operatorname{Hom}_B(C_1,M)$ である。$H_1(C)$ と $H^1\operatorname{Hom}_B(C,M)$ は異なる対象である。前者は複体の一次関係のホモロジー、後者は係数 $M$ に値を取る障害のコホモロジーであり、一般に双対として簡単に交換できるとは限らない。
係数付きホモロジーでは導来テンソル積 $L_{B/A}\otimes_B^{\mathbf L}M$、係数付きコホモロジーでは $\mathbf R\operatorname{Hom}_B(L_{B/A},M)$ を用いる。各項が自由で非負鎖次数のモデルなら、これらは通常のテンソル複体と Hom 複体で計算できる。一方、二項表示の余法加群が射影でない場合は、通常の Hom を全高次数の導来 Hom の代わりにすることはできない。

多項式表示から作る二項複体

任意の可換環準同型 $A\to B$ に対し、多項式環からの全射
$$ P=A[X_i\mid i\in I_0]\longrightarrow B $$
を選び、核を $J$ とする。添字集合は無限でもよい。各多項式は有限個の変数を使うため、以下の展開は有限和で行える。余法加群 $T=J/J^2$ と、自由 $B$ 加群 $F=\Omega_{P/A}\otimes_PB$ を置く。
関係式 $j$ を微分すると $dj\otimes1\in F$ が得られる。$j,j'\in J$ なら $d(jj')=j\,dj'+j'\,dj$ は $B$ 係数へ送ると零なので、写像
$$ \delta:T\longrightarrow F,\qquad j\bmod J^2\longmapsto dj\otimes1 $$
が well-defined になる。この二項複体
$$ K(P)=[T\xrightarrow{\delta}F] $$
を素朴余接複体と呼ぶ。$T$ は鎖次数 $1$、$F$ は次数 $0$ にある。$\delta$ の単射性は定義に含まれない。
具体的に $B=A[x_1,\ldots,x_n]/(f_1,\ldots,f_r)$ なら、$F$ の基底は $dx_1,\ldots,dx_n$ で、$f_a$ の余法類の像は $\sum_i(\partial f_a/\partial x_i)dx_i$ となる。これは Jacobi 行列に見えるが、$T$ 自体が $B^r$ と一致するとは限らない。生成した関係式の間にも関係があり得るからである。方程式の個数だけを余法加群の階数と数えるには追加条件が必要になる。

次数零は通常の微分である

微分加群は、方程式の微分を零とした結果である。他方、$H_1(K(P))=\ker\delta$ は、一次の関係式のうち微分だけでは見えない部分を残す。通常の微分が零でも $T$ が零とは限らないため、二項複体にすると初めて見える情報がある。

変数を増やしても二項複体は変わらない

二つの $J/J^2$ がそのまま同型になるわけではない。冗長な変数を加えると余法加群も微分加群も増えるが、増えた二項は境界が恒等なので、ホモロジーに新しい情報を残さない。

全余接複体を作る考え方

全余接複体 $L_{B/A}$ は、$B$ を単体的自由多項式 $A$ 代数で分解し、各段で微分を取り、$B$ 係数へ移して正規化した複体として構成する。単体的とは、複数の face と degeneracy が単体恒等式を満たすことをいう。face の交代和が境界となり、その平方が零になる。
最初の段で生成元を自由に置き、次の段でそれらが $B$ で満たす関係を記録し、その次で関係間の関係を記録する。単に加群の自由分解を取るのではなく、積をもつ代数の自由分解を取ってから微分するのがこの構成の特徴である。この順序を変えて、まず $\Omega_{B/A}$ だけの自由分解を取ると、既に失われた拡大情報を取り戻すことはできない。
以下では任意の可換単位環準同型 $A\to B$ に対し、全自由分解の比較を用いる。Noether性、有限表示、係数の平坦性は仮定しない。使用する分解は標準分解または明示する自由セル分解である。構成の細部（標準解像の完全性、正規化、退化部分の除去、自由セル解像による比較）の証明は André–Quillenホモロジー にあり、ここでは記号と主張を述べる。
増大を保つ代数写像 $f:P\to Q$ は各次数で
$$ E(f)(dp\otimes b)=d(f(p))\otimes b $$
を誘導する。普遍導分のLeibniz則が代表独立性を保証し、連鎖律より $E(gf)=E(g)E(f)$ となる。従って顔・退化を保つ単体代数写像は単体 $B$ 加群の写像を誘導する。

標準解像と正規化

任意の $A$ 代数 $C$ に対し、台集合の全元を添字にした多項式環 $G(C)=A[X_c:c\in C]$、評価 $\varepsilon_C:G(C)\to C$（$X_c\mapsto c$）、$\Delta_C:G(C)\to G^2(C)$（$X_c\mapsto X_{X_c}$）を取る。$P_n=G^{n+1}(B)$ に顔 $d_i=G^i\varepsilon G^{n-i}$ と退化 $s_i=G^i\Delta G^{n-i}$ を入れ、次数零の増大を $\varepsilon_B:P_0\to B$ とすると、単体 $A$ 代数が得られる。これを標準解像と呼ぶ。台集合の写像 $z\mapsto X_z$ を使うと、増大 Moore 複体（$N_nP=\bigcap_{i=1}^n\ker d_i$、微分 $d_0$）が完全であることが示せる（André–Quillenホモロジー の補題「標準解像の加法的完全性」）。この写像は加法的でないので、多項式環そのものを自由加群の解像と取り違えない。
各次数で
$$ E_n=\Omega_{P_n/A}\otimes_{P_n}B $$
を取ると、顔と退化の微分により単体 $B$ 加群となり、各 $E_n$ は自由である。一般の単体加群 $E$ について
$$ N_nE=\bigcap_{i=1}^n\ker d_i,\qquad q_n=(1-s_0d_1)(1-s_1d_2)\cdots(1-s_{n-1}d_n) $$
と置く。積は右から作用する。$q_n$ は冪等で、その像は $N_nE$ である。

これで $L=N(E)$ は全余接複体の非負射影鎖モデルになる。有限生成とは主張していない。標準解像では $B$ の全元を変数に使うため、有限型代数の場合でも項の階数は一般に大きい。

退化部分を除いてよい理由

非正規化複体の微分は $\partial=\sum_i(-1)^id_i$ である。退化部分 $D_n=\sum_i\operatorname{im}s_i$ は部分複体で、$q_n$ は $D_n$ を殺す。従って $E_n=N_nE\oplus D_n$ であり、商複体 $E/D$ は $N(E)$ に一致する。さらに $D$ は完全で、各 $D_n$ は射影なので可縮であり、非正規化と正規化の両複体は鎖ホモトピー同値になる（André–Quillenホモロジー の命題「退化複体の収縮と全係数比較」）。収縮を明示的に作れるので、任意の係数加群とのテンソルや Hom を取った後も全次数の群が一致する。

自由セル解像と境界の持ち上げ

標準解像のほかに、自由セルを次元順に付加して作る解像を使える。以下、次に述べる形の自由セルの付加を次元順に繰り返して得られ、増大 Moore 複体が完全な単体 $A$ 代数 $P\to B$ を許容される自由セル解像（許容される自由セル分解）と呼び、その各セルを許容セルと呼ぶ。標準解像も後で見るとおり自由セル表示を持つので、標準解像と許容される自由セル解像をあわせて許容される解像と呼ぶ。次数 $r$ のセル $v$ の顔 $b_0,\ldots,b_r$ を指定する。これらは二つの顔を取る順序が一致する条件を満たす必要がある。次数 $k\ge r$ に、単調全射 $\alpha:[k]\to[r]$ ごとに変数 $v_\alpha$ を置く。退化は全射の合成で定める。顔を取って全射が保たれれば対応する変数へ、全射でなくなれば唯一欠けた頂点の指定境界の退化像へ送る。
このような解像は、$B$ の全元を次数零セルにして増大を全射にし、各次数の Moore サイクルを次の次数のセルで殺していけば作れる（この付加が単体代数を与えることと構成の細部は André–Quillenホモロジー の節「自由セル解像と境界の持ち上げ」にある）。増大 Moore 複体が完全な単体代数では、整合する $n+1$ 個の顔は一つの元の顔になる（André–Quillenホモロジー の補題「整合する全境界の充填」）。この充填を生成元ごとに行えば、任意の自由セル解像から増大完全な対象への比較写像が作れる。標準解像も、各非退化生成元をセルとする許容される自由セル表示を持つ（André–Quillenホモロジー の節「標準解像も許容される自由セル表示を持つ」）。従って標準解像と自由セル解像の間には両方向の比較写像がある。

分解の比較と導来対象の独立性

本定理の「解像」は標準または自由セルという具体的な構造を含む。任意の次数別多項式単体対象が自動的に比較の持ち上げを許す、という命題は証明していない。各比較同士は同じ増大を保つので鎖ホモトピックである。二比較の合成も直接の比較と同じ増大を保つため鎖ホモトピックとなる。このためホモトピー圏での同型は選択と中間分解によらない。擬同型（全次数のホモロジーに同型を誘導する鎖写像）を反転する導来圏でも同型となる。

平坦な基礎環変更

一般の非平坦基底変更を導来テンソル環で扱う理論は、ここで証明した平坦変更とは別に考える必要がある。二項の良い低次切断から $H_1$ を計算することと、全余接複体を二項で置き換えることも区別する。

標準分解の一次関係は余法加群である

標準解像の最初の三段を $P_0=A[X_b:b\in B]$、$P_1=A[Y_f:f\in P_0]$、$P_2=A[Z_g:g\in P_1]$ と書き、$\pi:P_0\to B$ を評価とする。$P_1$ の二つの顔は $d_0(Y_f)=f$、$d_1(Y_f)=X_{\pi f}$ である。

この同型の下で $F_1\to F_0$ は $[f]\mapsto d(f-X_{\pi f})\otimes1$、すなわち余法写像 $\delta$ となる。従って全自由複体の次数 $0,1$ の良い切断が二項複体 $K(P_0)$ である。「良い切断」は単に高い項を捨てるのではなく、一次項を $F_2$ の像で割る操作を含む。この違いを省くと、関係間の関係をまだ含んだ $F_1$ と、本来の余法加群とを取り違える。

導分と拡大をコホモロジーとして読む

自由複体 $C=(\cdots\to F_2\to F_1\to F_0)$ を用いると、$H^0\operatorname{Hom}_B(C,M)$ は $F_0$ 上の準同型のうち $F_1$ の境界を殺すものとなる。前の次数零の計算から、これは $\operatorname{Hom}_B(\Omega_{B/A},M)=\operatorname{Der}_A(B,M)$ である。
次数一の cocycle は $F_1\to M$ で $F_2$ の像を殺すもの、すなわち $J/J^2\to M$ である。coboundary は $F_0\to M$ の $\delta$ に沿った制限である。従って
$$ H^1\operatorname{Hom}_B(C,M)= \operatorname{coker}\bigl(\operatorname{Hom}_B(F_0,M) \to\operatorname{Hom}_B(J/J^2,M)\bigr) \simeq\operatorname{Exal}_A(B,M). $$
最後の分類の証明は 平方零拡大の「余法加群による分類」にある。そこで構成したグラフイデアルの商と、ここで得た余核は同じであり、単なる次元の一致ではない。二つの持上げの差が導分となるため、その差がここでは coboundary として消える。
全自由複体で通常の Hom が導来 Hom を計算する理由も説明できる。非正余鎖次数の射影複体から非輪体への鎖写像について、次数零から下向きに、差を次の境界の原像へ持ち上げてホモトピーを作る。各段で使うのは射影性と、非輪体の境界からサイクルへの全射性である。次数ごとに一つずつ選ぶので無限和を作る必要はない。これが自由モデルの利点である。
一方、$T=J/J^2$ が射影でない二項複体では同じ議論を全次数に適用できない。ただし次数零と一次は、$F[0]\to K\to T[1]$ という短完全複体から得る導来 Hom の完全列によって上の核・余核と一致する。$F$ の射影性から $\operatorname{Ext}_B^1(F,M)=0$ を使えるためである。次数二以降には $T$ の高次 Ext が寄与し得るので、二項で見かけ上止まった普通 Hom から消滅を結論しない。

計算例と反例

$B=A[x]$ なら関係式のない表示を取れて、二項複体は $B\,dx$ だけとなる。導分は $D(x)$ の任意選択で決まり、平方零拡大は変数の持上げを選ぶことで分裂する。これは関係式がないため一次障害がないという計算である。
体 $k$ に対して $B=k[x]/(x^2)$ とすると $T$ は $x^2$ の類を基底とする自由 $B$ 加群で、境界は $x^2\mapsto2x\,dx$ となる。標数が $2$ でなければ $\Omega_{B/k}=B\,dx/(2x\,dx)$、標数 $2$ なら境界が零となる。$M=k$ で $xM=0$ とすると、係数 Hom の境界はどちらの標数でも零であり、$H^1=k$ となる。ホモロジーの微分が標数で変わることと、指定した係数に値を取る障害の計算とを分けて見る例である。
$A=\mathbb Z$、$B=\mathbb Z/4$ は、変数のない表示 $P=A$ を使える。$T=(4)/(16)\simeq B$、$F=0$、境界は零となる。従って $H_0=0$ だが $H_1=B$ である。係数 $M=B$ に対しては $H^1=B$、非零の拡大類が存在する。関係式 $4=0$ には変数微分がなくても、関係式そのものの持上げ誤差は残っている。
二項複体で普通 Hom の高次が消えても、導来 Hom の高次が消えるとは限らない。体 $k$ に対し $A=k[x,y]/(x^2,xy,y^2)$、$B=A/(x)=k[y]/(y^2)$ とし、変数のない表示 $P=A\to B$ を取ると、$J=(x)$ で $J/J^2\simeq k$、$\Omega_{P/A}=0$ だから素朴余接複体は $K=k[1]$ である。普通の $\operatorname{Hom}_B(K,k)$ の $H^2$ は零だが、$H^2\mathbf R\operatorname{Hom}_B(K,k)=\operatorname{Ext}^1_B(k,k)=k$ となる（計算は 素朴余接複体 の例「普通 Hom の高次消滅は導来 Hom の消滅ではない」）。一次項 $J/J^2=k$ が射影でないため、自由解像度の高次項が必要になる。これは $K$ への導来 Hom の計算であり、全余接複体 $L_{B/A}$ への導来 Hom の全高次数と同じだという主張ではない。

最初の反例では零加群は射影である。それでも $\mathbb Z/16\to\mathbb Z/4$ の平方零核を通した恒等写像の持上げが存在しないので、形式的滑らかではない。これは十分条件の仮定が足りない反例であり、形式的滑らかなら微分加群が射影になるという必要条件への反例ではない。

分裂余法写像による滑らかさの判定

離散形式的滑らかさを判定するには、$\Omega$ の射影性だけでなく余法写像 $\delta:T\to F$ の分裂単射性を見る。すべての $B$ 加群 $M$ について拡大類が零という条件は、$\operatorname{Hom}_B(F,M)\to\operatorname{Hom}_B(T,M)$ が全射という条件である。$M=T$ と恒等写像を取れば、$r:F\to T$ で $r\delta=\operatorname{id}_T$ となる写像が得られる。
逆にこの $r$ があるとき、任意の $h:T\to M$ は $hr:F\to M$ に延長できるので、分類の余核はすべての $M$ で零となる。従ってこの分裂条件は平方零持上げ試験と同値である。$F$ は自由なので、分裂後の余核 $\Omega$ は射影になる。しかし $\Omega$ が射影という事実だけでは $\ker\delta$ が零とは分からない。必要条件と十分条件の違いは、二項複体の左側を見れば明確になる。
ここで用いる「形式的滑らかさ」は離散環の持上げ条件である。有限表示を加えた滑らかさ、位相環の連続持上げ、完成環での係数条件は別に仮定を定める必要がある。余接複体という一つの言葉が出てくるからといって、普通の拡大と連続な拡大の同型類を混ぜない。

どの複体を使うか

計算の入口では、多項式表示の二項複体が最も扱いやすい。生成元と関係式を直接読み、$H_0$、導分、平方零拡大を計算できる。表示を変更しても可縮な対が増えるだけで低次数の情報が変わらないことも、変数の差を使ったホモトピーで確かめられる。
高次数、基礎環の変更、推移の長完全列を扱うときには全自由分解から得た余接複体を使う。二項複体はその低次数の切断として重要だが、全複体と同じという主張には別の条件が要る。また、ホモロジーを先に取ってから係数を入れる操作と、係数を入れてからホモロジーを取る操作は一般には交換しない。係数が平坦か、モデルが自由か、導来演算を使っているかをその都度確認する。
余接複体を読む際の順序は、基礎環と商環を固定し、次数規約を決め、微分加群と余法加群を区別し、最後にどの係数演算を使うかを決めることである。次数零の微分、次数一の拡大、さらに高い関係式の情報が同じ複体に共存していることを念頭に置けば、微分の計算から変形の障害へ進む道筋を追うことができる。

関連項目

• 前提: Kähler微分、鎖複体、導分。
• 具体化: 平方零拡大、完全交叉局所環。
• 応用: 形式的滑らかさ、変形理論。
• 構成と証明: 素朴余接複体、André–Quillenホモロジー。
• 理論: 導来圏。