一様分布(mod 1)

同義語：1を法とする一様分布uniform distribution modulo oneequidistribution modulo one

概要

前提知識: 数列の極限, 床関数, Riemann積分, Stone–Weierstrassの定理

実数 $x$ の小数部分を $\{x\}:=x-\lfloor x\rfloor\in[0,1)$ と書く。実数列 $(x_n)_{n\ge1}$ が 1 を法として一様分布する（一様分布 (mod 1)、uniformly distributed modulo one、equidistributed modulo 1）とは、小数部分 $\{x_n\}$ が区間 $[0,1)$ に「偏りなく」散らばること、正確には、$[0,1)$ のどの区間についても、最初の $N$ 項のうちその区間に入る項の割合が、$N\to\infty$ で区間の長さに近づくことをいう。
代表的な例は無理数 $\theta$ の倍数の列 $(n\theta)$ である。$\theta=\sqrt2$ なら、$\{n\sqrt2\}$ は $[0,0.3)$ にほぼ $3$ 割、$[0.5,0.6)$ にほぼ $1$ 割の項が入る。一方 $\theta$ が有理数なら、$\{n\theta\}$ は有限個の値しかとらないので一様分布しない。
この記事では次を証明する。

Weyl の判定法：$(x_n)$ が 1 を法として一様分布することは、$0$ でないすべての整数 $h$ について指数和の平均 $\frac1N\sum_{n=1}^Ne^{2\pi ihx_n}$ が $0$ に近づくことと同値である。周期 $1$ の連続関数の平均で言い換えることもできる。
実数 $\theta,\beta$ について、$(n\theta+\beta)$ が 1 を法として一様分布するのは $\theta$ が無理数のとき、かつそのときに限る。
差の列 $(x_{n+h}-x_n)$ がどの $h\ge1$ についても一様分布するなら、$(x_n)$ も一様分布する。この帰結として、最高次の係数が無理数である実係数多項式 $p$（次数 $1$ 以上）について $(p(n))$ は一様分布する。たとえば $(n^2\sqrt2)$ は一様分布する。
多次元の Kronecker の定理：$\alpha\in\mathbb{R}^d$ について、点列 $(n\alpha)$ が $[0,1)^d$ の箱について 1 を法として一様分布するのは、$1,\alpha_1,\dots,\alpha_d$ が $\mathbb{Q}$ 上一次独立なとき、かつそのときに限る。系として、トーラス $T^d$ には冪全体が稠密になる元がある。
一様分布は、無理数の倍数の小数部分が $[0,1]$ で稠密であること（Diophantus近似の記事の定理「Kronecker の定理（1 次元）」）を、量的に強めたものである。$2^n$ の最高位の数字の頻度（常用対数と桁数、最高位の数字とBenfordの法則）は、$(n\log_{10}2)$ の一様分布から読み取れる。

定義

実数列 $(x_n)_{n\ge1}$ と $0\le a< b\le1$ について、最初の $N$ 項のうち小数部分が $[a,b)$ に入るものの個数を
$$ A_N([a,b)):=\#\{\,1\le n\le N\mid \{x_n\}\in[a,b)\,\} $$
と書く。

一様分布する数列

実数列 $(x_n)_{n\ge1}$ が 1 を法として一様分布するとは、$0\le a< b\le1$ を満たすすべての $a,b$ について
$$ \lim_{N\to\infty}\frac{A_N([a,b))}{N}=b-a $$
が成り立つことをいう。

$\{x_n\}$ は $x_n$ を $1$ を法として見たものなので、各 $x_n$ に整数を足しても一様分布するかどうかは変わらない。一様分布する列では、区間 $[a,b)$ を $(a,b)$ や $[a,b]$（$b<1$）に替えても、その区間に入る項の割合は区間の長さに近づく（thm-ud-weyl の証明の段 4 の最後の文）。
一様分布する列の小数部分は $[0,1]$ で稠密である。長さが正の区間 $[a,b)$ に入る項の割合は $b-a>0$ に近づくので、その区間に入る項が必ずあるからである。逆は成り立たない（ex-ud-counterexamples の 4 行目の列 $(\log_{10}n)$ は、小数部分が稠密だが一様分布しない）。

直感

$\{n\theta\}$ は、円周（長さ $1$ の区間 $[0,1)$ の両端をつないだもの）の上を一定の歩幅 $\theta$ で回る点の位置である。$\theta$ が有理数 $r/q$ （$q\ge1$）なら $q$ 歩で元に戻り、高々 $q$ 個の同じ点を回り続ける。$\theta$ が無理数なら決して元に戻らず、点は円周を少しずつずれながら埋めていき、長い目で見るとどこにも同じ割合で滞在する。
これを確かめるには、区間に入る個数を直接数えるより、「波」$e^{2\pi iht}$ の平均を見るほうが易しい。円周上の点が偏っていれば、ある振動数 $h$ の波がその偏りに共鳴して平均が $0$ にならない。逆に、どの振動数の波の平均も $0$ に近づくなら、波の重ね合わせ（三角多項式）の平均も、それで一様に近似できる周期的な連続関数の平均も正しい値に近づき、区間の指示関数もそれで挟める。これが Weyl の判定法の考え方である。$x_n=n\theta$ の場合は波の和が等比数列の和なので、平均が $0$ に近づくことがすぐ分かる。

Weyl の判定法

実数列 $(x_n)_{n\ge1}$ について、次の 3 条件は同値である。

$(x_n)$ は 1 を法として一様分布する。
周期 $1$ のすべての連続関数 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ について
$$ \lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{n=1}^Nf(x_n)=\int_0^1f(t)\,dt $$
が成り立つ。
$0$ でないすべての整数 $h$ について
$$ \lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{n=1}^Ne^{2\pi ihx_n}=0 $$
が成り立つ。

$f$ は周期 $1$ なので $f(x_n)=f(\{x_n\})$ である。
段 1：1 ⇒ 2。 $f$ を周期 $1$ の連続関数とし、$\varepsilon>0$ とする。$f$ は有界閉区間 $[0,1]$ で一様連続なので、$|s-t|\le1/M$ なら $|f(s)-f(t)|<\varepsilon$ となる正の整数 $M$ がある。$I_j:=[j/M,(j+1)/M)$（$0\le j< M$）とおき、$[0,1)$ 上の階段関数 $g$ を $I_j$ 上で値 $f(j/M)$ をとるものと定めると、$[0,1)$ 上で $|f-g|<\varepsilon$ である。1 により
$$ \frac1N\sum_{n=1}^Ng(\{x_n\})=\sum_{j=0}^{M-1}f(j/M)\,\frac{A_N(I_j)}{N}\ \longrightarrow\ \sum_{j=0}^{M-1}\frac{f(j/M)}{M}=\int_0^1g(t)\,dt $$
である。よって
$$ \Bigl|\frac1N\sum_{n=1}^Nf(x_n)-\int_0^1f\Bigr|\le\frac1N\sum_{n=1}^N\bigl|f(\{x_n\})-g(\{x_n\})\bigr|+\Bigl|\frac1N\sum_{n=1}^Ng(\{x_n\})-\int_0^1g\Bigr|+\int_0^1|g-f| $$
の右辺の第 1 項と第 3 項は $\varepsilon$ 未満、第 2 項は $N\to\infty$ で $0$ に近づく。$\varepsilon$ は任意なので 2 が成り立つ。
段 2：2 ⇒ 3。 $h\ne0$ について $f(t)=e^{2\pi iht}$ は周期 $1$ の連続関数で、$\int_0^1e^{2\pi iht}\,dt=0$ である。
段 3：3 ⇒ 2。 三角多項式 $T(t)=\sum_{|h|\le H}c_he^{2\pi iht}$ については、$h=0$ の項の平均は $c_0=\int_0^1T$ で、$h\ne0$ の項の平均は 3 により $0$ に近づくので、2 が成り立つ。周期 $1$ の連続関数 $f$ と $\varepsilon>0$ について、$x\mapsto f(x/2\pi)$ は周期 $2\pi$ の連続関数なので、Stone–Weierstrassの定理の記事の系「三角多項式による一様近似」により、$\mathbb{R}$ 上で $|f-T|<\varepsilon$ となる上の形の三角多項式 $T$ がある（近似する三角多項式の変数 $x$ に $2\pi t$ を代入する）。段 1 と同じく三角不等式で 3 つに分けると、2 が $f$ についても成り立つ。
段 4：2 ⇒ 1。 $0\le a< b\le1$ とし、$0<\varepsilon<(b-a)/2$ とする。周期 $1$ の連続関数 $g_+,g_-$ を次のように定める。$g_+$ は、$[a,b]$ と、それを整数だけずらした区間の上で $1$、それらから距離 $\varepsilon$ 以上離れた点で $0$、その間で距離について 1 次式（値は $0$ と $1$ の間）とする。$g_-$ は、$[a+\varepsilon,b-\varepsilon]$ とその整数ずらしの上で $1$、$(a,b)$ とその整数ずらしの外で $0$、その間で 1 次式とする。$[0,1)$ の点 $t$ について
$$ g_-(t)\le\mathbf 1_{[a,b)}(t)\le g_+(t) $$
であり（$[0,1)$ の中では、$(a,b)$ の整数ずらしのうち $(a,b)$ 自身としか交わらない）、$\int_0^1g_+\le b-a+2\varepsilon$、$\int_0^1g_-\ge b-a-2\varepsilon$ である。$t=\{x_n\}$ を代入して平均をとり、2 を $g_\pm$ に使うと
$$ b-a-2\varepsilon\le\liminf_{N\to\infty}\frac{A_N([a,b))}{N}\le\limsup_{N\to\infty}\frac{A_N([a,b))}{N}\le b-a+2\varepsilon $$
である。$\varepsilon$ は任意なので 1 が成り立つ。この議論は $\mathbf 1_{[a,b)}$ を $(a,b)$ や $[a,b]$（$b<1$）の指示関数に替えても同じに通る。$\square$

この判定法は Weyl（1916 年）による（HW60 第 23 章の §23.10 の注、p. 393）。2 は、$f$ の値を一様分布する点で平均すると $f$ の積分に近づく、すなわち一様分布する列の点でとった Riemann和のような平均が積分を近似する、と読める。

無理数の倍数

1 次式の列の一様分布

$\theta,\beta$ を実数とする。列 $(n\theta+\beta)_{n\ge1}$ が 1 を法として一様分布するのは、$\theta$ が無理数のとき、かつそのときに限る。

$\theta$ が無理数の場合。 $h\ne0$ を整数とすると、$h\theta$ は整数でないので $z:=e^{2\pi ih\theta}\ne1$、$|z|=1$ である。等比数列の和の公式から
$$ \Bigl|\sum_{n=1}^Ne^{2\pi ih(n\theta+\beta)}\Bigr|=\Bigl|e^{2\pi ih\beta}\,\frac{z(z^N-1)}{z-1}\Bigr|\le\frac{2}{|z-1|} $$
であり、右辺は $N$ によらない。$N$ で割ると $0$ に近づくので、thm-ud-weyl の 3 ⇒ 1 により一様分布する。
$\theta$ が有理数の場合。 $\theta=r/q$（$r,q$ は整数、$q\ge1$）とすると、$\{n\theta+\beta\}$ は $n$ を $q$ で割った余りだけで決まり、高々 $q$ 個の値しかとらない。$[0,1)$ からこの有限個の点を除くと長さが正の区間 $[a,b)$ が残り、$A_N([a,b))=0$ なので割合は $b-a>0$ に近づかない。$\square$

$\beta=0$ の場合が $(n\theta)$ の一様分布である。この主張（$\beta=0$）は HW60 §23.10 の Theorem 445（p. 390）で、そこでは連分数を使った別の証明が与えられている。同じ本の注によれば、Bohl・Sierpiński・Weyl がほぼ同時に独立に見いだした（p. 393）。円周 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ の回転 $x\mapsto x+\theta$ の軌道として見ると、無理数の $\theta$ について、点が弧に入る割合が出発点 $\beta$ について一様に弧の長さへ近づくことも成り立つ（円周の回転の系「弧に入る割合」）。
定義の後の注意から、$\theta$ が無理数なら $\{n\theta\}$ は $[0,1]$ で稠密であり、Diophantus近似の記事の定理「Kronecker の定理（1 次元）」がふたたび得られる。

差の列と多項式

差の列から元の列の一様分布を導くには、次の不等式を使う。

和の平方の評価

複素数 $u_1,\dots,u_N$ と整数 $1\le H\le N$ について
$$ H^2\Bigl|\sum_{n=1}^Nu_n\Bigr|^2\le H(N+H-1)\sum_{n=1}^N|u_n|^2+2(N+H-1)\sum_{h=1}^{H-1}(H-h)\,\operatorname{Re}\sum_{n=1}^{N-h}u_{n+h}\overline{u_n} $$
が成り立つ。

$n\le0$ と $n>N$ について $u_n:=0$ とおく。各 $u_n$（$1\le n\le N$）は $m=n,n+1,\dots,n+H-1$ の $H$ 回だけ現れるので
$$ H\sum_{n=1}^Nu_n=\sum_{m=1}^{N+H-1}\ \sum_{r=0}^{H-1}u_{m-r} $$
である。外側の和は $N+H-1$ 項なので、Cauchy–Schwarzの不等式により
$$ H^2\Bigl|\sum_nu_n\Bigr|^2\le(N+H-1)\sum_{m=1}^{N+H-1}\Bigl|\sum_{r=0}^{H-1}u_{m-r}\Bigr|^2 $$
である。$m\le0$ や $m\ge N+H$ では内側の和は $0$ なので、右辺の $m$ の和はすべての整数 $m$ にわたる和にしてよい。展開すると
$$ \sum_m\Bigl|\sum_ru_{m-r}\Bigr|^2=\sum_{r,s=0}^{H-1}\ \sum_mu_{m-r}\overline{u_{m-s}}=\sum_{r,s}\ \sum_nu_n\overline{u_{n+r-s}} $$
である。$r-s=d$ となる組 $(r,s)$ は $H-|d|$ 個あり、$d=0$ の項の和は $H\sum_n|u_n|^2$ である。$d=\pm h$（$1\le h\le H-1$）の 2 つの和は互いに複素共役で、合わせて $2\operatorname{Re}\sum_{n=1}^{N-h}u_{n+h}\overline{u_n}$ になる。これを代入すればよい。$\square$

差の列による判定

実数列 $(x_n)_{n\ge1}$ について、各整数 $h\ge1$ ごとに差の列 $(x_{n+h}-x_n)_{n\ge1}$ が 1 を法として一様分布するとする。このとき $(x_n)$ も 1 を法として一様分布する。

$k\ne0$ を整数とし、$u_n:=e^{2\pi ikx_n}$ とおく。$|u_n|=1$、$u_{n+h}\overline{u_n}=e^{2\pi ik(x_{n+h}-x_n)}$ なので、lem-ud-vdc-inequality の両辺を $H^2N^2$ で割ると、$1\le H\le N$ について
$$ \Bigl|\frac1N\sum_{n=1}^Nu_n\Bigr|^2\le\frac{N+H-1}{HN}+\frac{2(N+H-1)}{H^2N}\sum_{h=1}^{H-1}(H-h)\Bigl|\frac1N\sum_{n=1}^{N-h}e^{2\pi ik(x_{n+h}-x_n)}\Bigr| $$
である。$H$ を固定して $N\to\infty$ とする。右辺の第 1 項は $1/H$ に近づく。各 $h$ について、差の列 $(x_{n+h}-x_n)$ は一様分布するので、thm-ud-weyl の 1 ⇒ 3 により $\frac1{N-h}\sum_{n=1}^{N-h}e^{2\pi ik(x_{n+h}-x_n)}\to0$ であり、$\frac{N-h}{N}\to1$ なので絶対値の中も $0$ に近づく。よって
$$ \limsup_{N\to\infty}\Bigl|\frac1N\sum_{n=1}^Ne^{2\pi ikx_n}\Bigr|^2\le\frac1H $$
である。$H$ は任意なので左辺は $0$ であり、thm-ud-weyl の 3 ⇒ 1 により $(x_n)$ は一様分布する。$\square$

この定理を多項式の値の列に使うと、次の系が得られる。

多項式の値の一様分布

$p(x)=a_dx^d+\dots+a_1x+a_0$ を次数 $d\ge1$ の実係数多項式とし、最高次の係数 $a_d$ が無理数であるとする。このとき $(p(n))_{n\ge1}$ は 1 を法として一様分布する。

$d$ についての帰納法による。$d=1$ は thm-ud-linear である。$d\ge2$ とし、次数 $d-1$ では正しいとする。整数 $h\ge1$ について、$q_h(n):=p(n+h)-p(n)$ は $n$ の多項式で、二項展開から $a_d\bigl((n+h)^d-n^d\bigr)=a_d\,dh\,n^{d-1}+(\text{次数 }d-2\text{ 以下})$、$j< d$ の項 $a_j\bigl((n+h)^j-n^j\bigr)$ は次数 $j-1\le d-2$ 以下である。よって $q_h$ は次数 $d-1$ で、最高次の係数 $d\,h\,a_d$ は無理数である（$dh$ は正の整数）。帰納法の仮定により $(q_h(n))_{n\ge1}$ は一様分布し、thm-ud-difference により $(p(n))$ も一様分布する。$\square$

多次元の一様分布と Kronecker の定理

$d\ge1$ とする。$\mathbb{R}^d$ の点 $x=(x_1,\dots,x_d)$ の小数部分を成分ごとに $\{x\}:=(\{x_1\},\dots,\{x_d\})\in[0,1)^d$ と書き、$h\in\mathbb{Z}^d$ について $h\cdot x:=h_1x_1+\dots+h_dx_d$ とおく。

多次元の一様分布

$\mathbb{R}^d$ の点列 $(x_n)_{n\ge1}$ が 1 を法として一様分布するとは、$0\le a_i< b_i\le1$（$i=1,\dots,d$）を満たすすべての箱 $I:=\prod_{i=1}^d[a_i,b_i)$ について、$\{x_n\}\in I$ となる $n\le N$ の個数を $N$ で割ったものが、$N\to\infty$ で $I$ の体積 $\prod_i(b_i-a_i)$ に近づくことをいう。

$d=1$ のときが def-ud-sequence である。判定には波 $e^{2\pi ih\cdot x}$（$h\in\mathbb{Z}^d$）を使う。これらは、各変数について周期 $1$ で和を積に移す連続関数のすべてである。

トーラスの連続指標

連続写像 $\chi\colon\mathbb{R}^d\to\mathbb{C}\setminus\{0\}$ が、すべての $x,y\in\mathbb{R}^d$ について $\chi(x+y)=\chi(x)\chi(y)$ を満たし、すべての $k\in\mathbb{Z}^d$ について $\chi(k)=1$ を満たすとする。このとき $\chi(x)=e^{2\pi ih\cdot x}$ となる $h\in\mathbb{Z}^d$ がただ一つある。

要点：絶対値が $1$ であることを示し、$0$ の近くで偏角を連続にとると加法的になるので 1 次式になる。

詳しい証明を開く

段 1：$\chi(x+k)=\chi(x)\chi(k)=\chi(x)$ なので $|\chi|$ は各変数について周期 $1$ の連続関数であり、$[0,1]^d$ 上の最大値 $C$ で $\mathbb{R}^d$ 全体が抑えられる。すべての正の整数 $m$ について $|\chi(x)|^m=|\chi(mx)|\le C$ なので $|\chi(x)|\le1$ であり、$x$ を $-x$ に替えると $|\chi(x)|^{-1}=|\chi(-x)|\le1$ である。よって $|\chi|=1$ である。

段 2（$d=1$）：$\chi(0)=\chi(0)^2$ から $\chi(0)=1$ である。連続性から $\delta>0$ があり、$|t|< \delta$ なら $\operatorname{Re}\chi(t)>0$ である。右半平面の偏角 $\operatorname{Arg}z\in(-\pi/2,\pi/2)$ は連続なので、$L(t):=\frac1{2\pi}\operatorname{Arg}\chi(t)$ は $(-\delta,\delta)$ 上の連続関数で、$|L|< 1/4$、$\chi(t)=e^{2\pi iL(t)}$ である。$|s|,|t|< \delta/2$ なら $e^{2\pi i(L(s+t)-L(s)-L(t))}=1$ なので $L(s+t)-L(s)-L(t)$ は整数で、絶対値が $3/4$ 未満だから $0$ である。$b:=\delta/4$ とおくと、これをくり返して整数 $q\ge1$、$|p|\le q$ について $L(pb/q)=pL(b/q)$、$L(b)=qL(b/q)$ を得る（$L(0)=0$、$L(-t)=-L(t)$ も同じ式から出る）。よって $L(pb/q)=(p/q)L(b)$ であり、$L$ の連続性から $|t|\le b$ で $L(t)=ct$（$c:=L(b)/b$）である。任意の $t$ について、$|t/N|\le b$ となる正の整数 $N$ をとれば $\chi(t)=\chi(t/N)^N=e^{2\pi ict}$ である。$\chi(1)=1$ から $e^{2\pi ic}=1$、すなわち $c$ は整数である。

段 3（一般の $d$）：$e_j$ を第 $j$ 単位ベクトルとすると、$t\mapsto\chi(te_j)$ は段 2 の仮定を満たすので、整数 $h_j$ について $\chi(te_j)=e^{2\pi ih_jt}$ である。$\chi(x)=\prod_j\chi(x_je_j)=e^{2\pi ih\cdot x}$ である。一意性：$e^{2\pi ih_jt}=e^{2\pi ih'_jt}$ がすべての実数 $t$ で成り立てば、$t=0$ での微分係数を比べて $h_j=h'_j$ である。$\square$

各変数について周期 $1$ の関数はトーラス $T^d$ 上の関数とみなせ、補題は $T^d$ の連続な指標の分類にあたる。

多変数の三角多項式による一様近似

$f\colon\mathbb{R}^d\to\mathbb{C}$ を各変数について周期 $1$ の連続関数（すべての $k\in\mathbb{Z}^d$ について $f(x+k)=f(x)$）とする。任意の $\varepsilon>0$ について、有限和 $T(x)=\sum_hc_he^{2\pi ih\cdot x}$（$h\in\mathbb{Z}^d$、$c_h\in\mathbb{C}$）で、$\mathbb{R}^d$ 全体で $|f-T|< \varepsilon$ となるものがある。

要点：Fejér 核の積との畳み込みは三角多項式で、$f$ に一様に近づく。

詳しい証明を開く

正の整数 $N$ について $K_N(t):=\sum_{|k|< N}\bigl(1-\frac{|k|}N\bigr)e^{2\pi ikt}$ とおく。これは Fejérの定理の記事の Fejér 核 $F_{N-1}$ を使って $K_N(t)=F_{N-1}(2\pi t)$ と書けるので、同じ記事の補題「Fejér 核の性質」の 2・3 により、$K_N\ge0$、$\int_{-1/2}^{1/2}K_N(t)\,dt=1$、$0< \delta\le|t|\le1/2$ なら $K_N(t)\le\pi^2/\bigl(N(2\pi t)^2\bigr)\le1/(4N\delta^2)$ である。$Q:=[-1/2,1/2]^d$、$J_N(t):=\prod_{i=1}^dK_N(t_i)$ とおくと、$J_N\ge0$、$\int_QJ_N=1$ である。

$f_N(x):=\int_Qf(x-t)J_N(t)\,dt$ とおく。$J_N$ を展開すると $e^{2\pi ih\cdot t}$（$\max_i|h_i|< N$）の有限な一次結合で、$u=x-t$ と変数を替えると $\int_Qf(x-t)e^{2\pi ih\cdot t}\,dt=e^{2\pi ih\cdot x}\int_{x-Q}f(u)e^{-2\pi ih\cdot u}\,du$ である。被積分関数は各変数について周期 $1$ なので、最後の積分は $x$ によらない（周期 $1$ の関数の長さ $1$ の区間での積分は区間の位置によらないことを、各変数の累次積分に使う）。よって $f_N$ は三角多項式である。

$f$ は周期的で連続なので $\mathbb{R}^d$ 上で一様連続であり、$\delta\in(0,1/2)$ を、$\max_i|t_i|< \delta$ なら $|f(x-t)-f(x)|< \varepsilon/2$ となるようにとれる。$\int_QJ_N=1$ から $|f_N(x)-f(x)|\le\int_Q|f(x-t)-f(x)|J_N(t)\,dt$ である。$\max_i|t_i|< \delta$ の部分の積分は $\varepsilon/2$ 以下である。残りは、ある $i$ で $|t_i|\ge\delta$ となる部分の和集合で、そこでは被積分関数は $2\sup|f|$ 以下であり、各 $i$ について $\int_{\delta\le|t_i|\le1/2}K_N(t_i)\,dt_i\le1/(4N\delta^2)$、ほかの変数の積分は $1$ なので、この部分の積分は $2\sup|f|\cdot d/(4N\delta^2)$ 以下である。$N$ を大きくとれば $|f_N-f|< \varepsilon$ となる。$\square$

Weyl の判定法（多次元）

$\mathbb{R}^d$ の点列 $(x_n)_{n\ge1}$ について、次の 3 条件は同値である。

$(x_n)$ は 1 を法として一様分布する。
各変数について周期 $1$ のすべての連続関数 $f\colon\mathbb{R}^d\to\mathbb{C}$ について $\displaystyle\lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{n=1}^Nf(x_n)=\int_{[0,1]^d}f(t)\,dt$ が成り立つ。
$0$ でないすべての $h\in\mathbb{Z}^d$ について $\displaystyle\lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{n=1}^Ne^{2\pi ih\cdot x_n}=0$ が成り立つ。

thm-ud-weyl の証明の 4 つの段を、区間を箱に替えてたどる。違うのは次の点である。

各段の違いを開く

段 1（1 ⇒ 2）：$[0,1)^d$ を一辺 $1/M$ の $M^d$ 個の箱 $\prod_i[j_i/M,(j_i+1)/M)$ に分け、各箱の上で値 $f(j/M)$ をとる階段関数 $g$ を使う（$M$ が大きければ $f$ の一様連続性から $|f-g|< \varepsilon$）。各箱に入る項の割合は 1 により $M^{-d}$ に近づく。

段 2（2 ⇒ 3）：$h_j\ne0$ となる $j$ があるので、$\int_{[0,1]^d}e^{2\pi ih\cdot t}\,dt=\prod_i\int_0^1e^{2\pi ih_it_i}\,dt_i=0$ である。

段 3（3 ⇒ 2）：三角多項式については $h=0$ の項だけが残る。一般の $f$ には prop-ud-fejer-approximation を使う。

段 4（2 ⇒ 1）：$I=\prod_i[a_i,b_i)$ とし、$0< \varepsilon< \min_i(b_i-a_i)/2$ とする。区間 $[a_i,b_i)$ について thm-ud-weyl の段 4 の関数 $g_{\pm,i}$（値は $0$ 以上 $1$ 以下）をとり、$g_\pm(t):=\prod_ig_{\pm,i}(t_i)$ とおく。$[0,1)^d$ の上で $g_-\le\mathbf 1_I\le g_+$ であり、$\int_{[0,1]^d}g_+\le\prod_i(b_i-a_i+2\varepsilon)$、$\int_{[0,1]^d}g_-\ge\prod_i(b_i-a_i-2\varepsilon)$ である。2 を $g_\pm$ に使うと、割合の下極限と上極限はこの 2 つの積の間にある。$\varepsilon\to0$ とすれば 1 を得る。$\square$

Kronecker の定理（多次元）

$\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in\mathbb{R}^d$ とする。点列 $(n\alpha)_{n\ge1}$ が 1 を法として一様分布するのは、$1,\alpha_1,\dots,\alpha_d$ が $\mathbb{Q}$ 上一次独立なとき、かつそのときに限る。このとき小数部分 $\{n\alpha\}$（$n\ge1$）全体は $[0,1]^d$ で稠密である。

一次独立な場合。 $h\in\mathbb{Z}^d$ を $0$ でないとする。$h\cdot\alpha$ が整数 $j$ なら、$(-j)\cdot1+h_1\alpha_1+\dots+h_d\alpha_d=0$ は係数がすべては $0$ でない $\mathbb{Q}$ 上の一次関係になり、仮定に反する。よって $z:=e^{2\pi ih\cdot\alpha}\ne1$、$|z|=1$ であり、thm-ud-linear の証明と同じく
$$ \Bigl|\sum_{n=1}^Ne^{2\pi ih\cdot n\alpha}\Bigr|=\Bigl|\frac{z(z^N-1)}{z-1}\Bigr|\le\frac2{|z-1|} $$
は $N$ によらず有界である。$N$ で割ると $0$ に近づくので、thm-ud-weyl-multi の 3 ⇒ 1 により $(n\alpha)$ は一様分布する。

稠密であることと一次独立でない場合を開く

稠密であること：$[0,1]^d$ の点 $y$ と $\varepsilon>0$ について、$[0,1)^d$ に含まれ、$y$ からの距離が $\varepsilon$ 未満の点だけからなる体積が正の箱 $I$ がある。$\{n\alpha\}\in I$ となる項の割合は $I$ の体積（正）に近づくので、そのような $n$ がある。

一次独立でない場合：有理数 $c_0,\dots,c_d$（すべては $0$ でない）で $c_0+c_1\alpha_1+\dots+c_d\alpha_d=0$ となるものがある。分母を払って整数にしてよい。$c_1=\dots=c_d=0$ なら $c_0=0$ となるので、$h:=(c_1,\dots,c_d)\ne0$ で、$h\cdot\alpha=-c_0$ は整数である。すべての $n$ で $e^{2\pi ih\cdot n\alpha}=1$ なので、thm-ud-weyl-multi の 3 が $h$ で成り立たず、$(n\alpha)$ は一様分布しない。$\square$

このとき $\{n\alpha\}$ は稠密でもない。上の $h$ をとり、$g(x):=|e^{2\pi ih\cdot x}-1|$ とおく。$g$ は各変数について周期 $1$ の連続関数で、すべての $n$ で $g(\{n\alpha\})=g(n\alpha)=0$ である。$h_i\ne0$ となる $i$ をとり、$y:=\{e_i/(2h_i)\}$（$e_i$ は第 $i$ 単位ベクトル）とおくと、$y-e_i/(2h_i)\in\mathbb{Z}^d$ なので $e^{2\pi ih\cdot y}=e^{\pi i}=-1$、$g(y)=2$ である。連続性から $y$ のある近傍で $g>1$ であり、その近傍の $[0,1]^d$ の点は $\{n\alpha\}$ の形でない。

$d=1$ では thm-ud-linear（$\beta=0$）に戻る。

トーラスの位相的な生成元

$1,\alpha_1,\dots,\alpha_d$ が $\mathbb{Q}$ 上一次独立となる $\alpha\in\mathbb{R}^d$ がある。このとき、トーラス $T^d$ の元 $g:=(e^{2\pi i\alpha_1},\dots,e^{2\pi i\alpha_d})$ の冪 $g^n$（$n\ge1$）全体は $T^d$ で稠密である。

要点：有理数係数の一次結合は可算個なので帰納的に選べ、稠密性は thm-ud-kronecker を連続写像で移す。

詳しい証明を開く

存在：$\alpha_1,\dots,\alpha_j$ まで選んだとき、$1,\alpha_1,\dots,\alpha_j$ の有理数係数の一次結合全体は可算集合で、$\mathbb{R}$ は非可算なので、その外に $\alpha_{j+1}$ を選べる。$1,\alpha_1,\dots,\alpha_{j+1}$ の一次関係で $\alpha_{j+1}$ の係数が $0$ でなければ $\alpha_{j+1}$ が上の可算集合に入り、係数が $0$ なら帰納法の仮定ですべての係数が $0$ になる。$j=0$ では $\alpha_1$ を無理数に選べばよい。

稠密性：$e(x):=(e^{2\pi ix_1},\dots,e^{2\pi ix_d})$ は $\mathbb{R}^d$ から $T^d$ への連続な全射準同型で（トーラスの定理「トーラスの基本的な性質」）、$e([0,1]^d)=T^d$、$g^n=e(n\alpha)=e(\{n\alpha\})$ である。thm-ud-kronecker により $\{n\alpha\}$ 全体は $[0,1]^d$ で稠密なので、その連続写像 $e$ による像は $T^d$ で稠密である。$\square$

たとえば $\alpha=(\sqrt2,\sqrt3)$ はこの条件を満たす。

確認を開く

有理数 $p,q,r$ で $p+q\sqrt2+r\sqrt3=0$ とする。$q\sqrt2+r\sqrt3=-p$ を 2 乗すると $2q^2+3r^2+2qr\sqrt6=p^2$ で、$\sqrt6$ は無理数なので $qr=0$ である。$r=0$ なら $p+q\sqrt2=0$ から $q=0$、$p=0$ である。$q=0$ なら同様に $r=0$、$p=0$ である。

例

$n^2\sqrt2$ と $n^2/2$

$\sqrt2$ は無理数なので、cor-ud-polynomial により $(n^2\sqrt2)$ は 1 を法として一様分布する。最初の $20$ 万項では、小数部分が $[0,0.3)$ に入る割合は約 $0.302$ である。一方 $n^2/2$ の小数部分は、$n$ が偶数なら $0$、奇数なら $1/2$ で、2 つの値しかとらないので一様分布しない。係数がすべて有理数の多項式 $p$ では、係数の分母の最小公倍数を $D$ とすると、$p(n)$ の小数部分は $n$ を $D$ で割った余りだけで決まるので、同じ理由で一様分布しない。

周期関数の平均

$f$ を周期 $2\pi$ の連続関数、$\alpha$ を $\alpha/\pi$ が無理数である実数とする。このとき各実数 $x$ について
$$ \lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{n=1}^Nf(x+n\alpha)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt $$
が成り立つ（Rud76 第 8 章演習 19、p. 200）。実際、$F(t):=f(2\pi t)$ は周期 $1$ の連続関数で、$x_n:=(x+n\alpha)/2\pi$ は $\alpha/2\pi$ が無理数なので thm-ud-linear により一様分布する。thm-ud-weyl の 2 から左辺は $\int_0^1F=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f$ に等しい。時間平均（点 $x$ を $\alpha$ ずつ回した値の平均）が空間平均（円周上の積分）に一致するという、エルゴード定理の簡単な例である。

2 の冪の最高位の数字

$2^n$ の最高位の数字が $d$（$1\le d\le9$）であることは、$\{n\log_{10}2\}\in[\log_{10}d,\log_{10}(d+1))$ と同値である。$\log_{10}2$ は無理数である（$\log_{10}2=r/q$ なら $2^q=10^r$ となり、右辺は $5$ で割り切れるが左辺は割り切れない）。よって thm-ud-linear により、$n\le N$ のうち $2^n$ の最高位が $d$ であるものの割合は $\log_{10}(d+1)-\log_{10}d=\log_{10}\bigl(1+\frac1d\bigr)$ に近づく。$d=1$ では約 $30.1\%$、$d=9$ では約 $4.6\%$ である。詳しくは常用対数と桁数と最高位の数字とBenfordの法則にある。

反例

各行は条件を 1 つだけ外す。1 行は thm-ud-linear、2・3 行は thm-ud-weyl、4 行は定義の後の注意（一様分布する列の小数部分は稠密）の逆、5 行は cor-ud-polynomial の条件、6 行は thm-ud-kronecker の条件である。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$\theta$ が無理数	$x_n=n/2$	一様分布すること
3 で「$0$ でないすべての $h$」	$x_n=n/2$、$h=\pm1$ だけ確かめる	3 から一様分布が従うこと
2 で $f$ が連続	$x_n=n\sqrt2$、$f$ は点 $\{n\sqrt2\}$ とその整数ずらしで $1$、他で $0$	平均が $f$ の積分に近づくこと
一様分布（稠密に弱める）	$x_n=\log_{10}n$	区間に入る割合が長さに近づくこと
最高次の係数が無理数	$p(n)=n^2/2$	一様分布すること
$1,\alpha_1,\dots,\alpha_d$ が $\mathbb{Q}$ 上一次独立（各 $\alpha_i$ が無理数に弱める）	$\alpha=(\sqrt2,\sqrt2)$	$\{n\alpha\}$ が $[0,1]^2$ で稠密であること

反例の確認

表の各行は、外した条件以外の仮定を満たし、右の列の結論が破れる。

各行の確認を開く

$\{n/2\}$ は $0$ と $1/2$ しかとらず、$[0.1,0.4)$ に入る項はない（thm-ud-linear の有理数の場合）。
$h=\pm1$ では $\frac1N\sum_{n=1}^Ne^{\pm\pi in}=\frac1N\sum_{n=1}^N(-1)^n$ は絶対値が $1/N$ 以下で $0$ に近づくが、$h=2$ では $e^{2\pi in}=1$ なので平均は $1$ である。列は 1 行目と同じく一様分布しない。
$(n\sqrt2)$ は一様分布する（thm-ud-linear）。$f$ は周期 $1$ で、すべての $n$ で $f(x_n)=1$ なので平均は $1$ である。一方 $f$ が $1$ をとる点は可算個なので、$f$ の Lebesgue 積分は $0$ である（$f$ は至る所不連続で Riemann 積分は存在しない）。
$\{\log_{10}n\}$ は $[0,1]$ で稠密である（$\log_{10}n\to\infty$ かつ隣り合う差 $\log_{10}(1+1/n)\to0$ なので、各区間の整数ずらしに入る項がある）。$[0,1/2)$ に入るのは $10^m\le n< 10^{m+1/2}$（$m\ge0$）となる $n$ である。各 $m$ についてその個数は $(\sqrt{10}-1)10^m$ との差が $1$ 以下なので、$N=10^K$ では個数は $(\sqrt{10}-1)(10^K-1)/9+O(K)$ で、割合は $(\sqrt{10}-1)/9\approx0.240$ に近づく。$N=\lfloor10^{K+1/2}\rfloor$ では $10^K\le n\le N$ の約 $10^{K+1/2}-10^K$ 個が加わり、割合は $(10-\sqrt{10})/9\approx0.760$ に近づく。2 つの部分列で極限が異なるので、割合は収束しない。
例「$n^2\sqrt2$ と $n^2/2$」のとおり、$\{n^2/2\}$ は 2 つの値しかとらない。
$\sqrt2$ は無理数だが、$1\cdot\sqrt2-1\cdot\sqrt2=0$ なので $1,\sqrt2,\sqrt2$ は $\mathbb{Q}$ 上一次独立でない。$\{n\alpha\}=(\{n\sqrt2\},\{n\sqrt2\})$ は対角線 $\{(s,s)\mid0\le s< 1\}$ の上にあり、点 $(1/4,3/4)$ からの距離はつねに $\sqrt2/4$ 以上なので、稠密でない。

補足

確率分布としての見方

最初の $N$ 項の小数部分 $\{x_1\},\dots,\{x_N\}$ のそれぞれに確率 $1/N$ を与えた確率分布を考えると、thm-ud-weyl の 2 は、この分布での連続関数の期待値が、$[0,1)$ 上の一様分布（一様分布と指数分布の定義「一様分布」で区間を $[0,1]$ としたもの）での期待値 $\int_0^1f$ に近づくことを表している。すなわち、1 を法として一様分布する列とは、小数部分の経験分布が一様分布に近づく列である。区間 $[a,b)$ に入る割合の差 $A_N([a,b))/N-(b-a)$ がどれだけ速く $0$ に近づくかは列によって異なり、この記事では扱わない。一様分布でない測度に関する一様分布の例には、楕円曲線の Frobenius 角についての佐藤–Tate予想がある。