Diophantus近似

1：$p_{n+1}q_n-p_nq_{n+1}=(-1)^n$ なので、連立 1 次方程式
$$ p=\mu p_n+\nu p_{n+1},\qquad q=\mu q_n+\nu q_{n+1} $$
は整数の解 $\mu=(-1)^n(qp_{n+1}-pq_{n+1})$、$\nu=(-1)^n(pq_n-qp_n)$ をもつ（代入すると、たとえば第 1 式の右辺は $(-1)^np(p_{n+1}q_n-p_nq_{n+1})=p$ になる）。
$\nu=0$ のとき：$(p,q)=\mu(p_n,q_n)$ であり、$q\ge1$、$q_n\ge1$ から $\mu\ge1$、$(p,q)\ne(p_n,q_n)$ から $\mu\ge2$ である。$\alpha$ は無理数なので $q_n\alpha-p_n\ne0$ であり、$|q\alpha-p|=\mu|q_n\alpha-p_n|>|q_n\alpha-p_n|$ である。
$\mu=0$ のとき：$q=\nu q_{n+1}$ で $q\ge1$ から $\nu\ge1$ となり、$q\ge q_{n+1}$ に反する。
$\mu\ne0$、$\nu\ne0$ のとき：$\nu>0$ なら $\mu q_n=q-\nu q_{n+1}< q_{n+1}-q_{n+1}=0$ で $\mu<0$ であり、$\nu<0$ なら $\mu q_n=q-\nu q_{n+1}>0$ で $\mu>0$ である。したがって $\mu$ と $\nu$ は符号が逆である。一方、$q_n\alpha-p_n$ と $q_{n+1}\alpha-p_{n+1}$ の符号は $(-1)^n$ と $(-1)^{n+1}$ で逆である。よって $\mu(q_n\alpha-p_n)$ と $\nu(q_{n+1}\alpha-p_{n+1})$ は同じ符号の $0$ でない数であり、
$$ |q\alpha-p|=\bigl|\mu(q_n\alpha-p_n)+\nu(q_{n+1}\alpha-p_{n+1})\bigr|=|\mu||q_n\alpha-p_n|+|\nu||q_{n+1}\alpha-p_{n+1}|>|q_n\alpha-p_n| $$
である。
2：$|q_n\alpha-p_n|=1/(x_{n+1}q_n+q_{n-1})$ で、$x_{n+1}< a_{n+1}+1$ から分母は $q_{n+1}+q_n$ より小さい。また $|q_{n+1}\alpha-p_{n+1}|=1/(x_{n+2}q_{n+1}+q_n)$ で、$x_{n+2}>1$ から分母は $q_{n+1}+q_n$ より大きい。よって $|q_{n+1}\alpha-p_{n+1}|<1/(q_{n+1}+q_n)<|q_n\alpha-p_n|$ である。
3：$n\ge1$ では $q_{n-1}\ge1$ なので $q_{n+1}=a_{n+1}q_n+q_{n-1}>q_n$ である。$(p',q')\ne(p_n,q_n)$、$1\le q'\le q_n$ なら $q'< q_{n+1}$ なので、1 から $|q'\alpha-p'|>|q_n\alpha-p_n|$ であり、$(p_n,q_n)$ は最良近似である。逆に $(p,q)$ を最良近似とする。$q_0=1\le q$ かつ $q_n\to\infty$ なので、$q_n\le q$ を満たす最大の $n\ge0$ がとれ、$q_n\le q< q_{n+1}$ である。$(p,q)\ne(p_n,q_n)$ とすると、1 から $|q\alpha-p|>|q_n\alpha-p_n|$ となるが、$q_n\le q$ なので $(p,q)$ が最良近似であることに反する。よって $(p,q)=(p_n,q_n)$ である。$\square$

$\varphi:=\frac{1+\sqrt5}2$ とおくと $\frac1\varphi=\frac{\sqrt5-1}2$ であり、$\varphi+\frac1\varphi=\sqrt5$、$1+\frac1\varphi=\varphi$ である。
3 つの収束子のどれも不等式を満たさない、すなわち $k=n-1,n,n+1$ について $|\alpha-p_k/q_k|\ge1/(\sqrt5q_k^2)$ と仮定する。$k=n-1,n$ について、$\alpha-p_k/q_k$ と $\alpha-p_{k+1}/q_{k+1}$ は符号が逆なので $\alpha$ は 2 つの収束子の間にあり、連分数 の記事の命題「隣り合う収束子の行列式」から
$$ \frac1{q_kq_{k+1}}=\Bigl|\frac{p_{k+1}}{q_{k+1}}-\frac{p_k}{q_k}\Bigr|=\Bigl|\alpha-\frac{p_k}{q_k}\Bigr|+\Bigl|\alpha-\frac{p_{k+1}}{q_{k+1}}\Bigr|\ge\frac1{\sqrt5}\Bigl(\frac1{q_k^2}+\frac1{q_{k+1}^2}\Bigr) $$
である。両辺に $\sqrt5\,q_kq_{k+1}$ を掛けると、$t_k:=q_{k+1}/q_k$ について $t_k+1/t_k\le\sqrt5$、すなわち
$$ t_k^2-\sqrt5\,t_k+1=(t_k-\varphi)\Bigl(t_k-\frac1\varphi\Bigr)\le0 $$
であり、$\frac1\varphi\le t_k\le\varphi$ である。$t_k$ は有理数で $\varphi,\frac1\varphi$ は無理数なので、$\frac1\varphi< t_k<\varphi$ である。
$k=n-1$ から $q_n/q_{n-1}<\varphi$、すなわち $q_{n-1}/q_n>1/\varphi$ である。$k=n$ から $q_{n+1}/q_n<\varphi$ である。ところが $a_{n+1}\ge1$ なので
$$ \frac{q_{n+1}}{q_n}=a_{n+1}+\frac{q_{n-1}}{q_n}>1+\frac1\varphi=\varphi $$
となり、矛盾する。よって 3 つのうち少なくとも 1 つは不等式を満たす。$n=1,4,7,\dots$ について 3 つずつの組は互いに重ならず、$k\ge1$ で $q_k$ は狭義に増加するので、得られる分数は互いに異なり、無限にある。$\square$

2 ⇒ 1（と最後の主張）：$n\ge0$ について $q_{n-1}\le q_n$ なので $q_{n+1}=a_{n+1}q_n+q_{n-1}\le(M+1)q_n$ であり、thm-da-best の 2 の証明で見たように
$$ |q_n\alpha-p_n|>\frac1{q_{n+1}+q_n}\ge\frac1{(M+2)q_n} $$
である。分数 $p/q$ を任意にとり、$q_n\le q< q_{n+1}$ となる $n\ge0$ をとる（$q_n\le q$ を満たす最大の $n$）。thm-da-best の 1（$(p,q)=(p_n,q_n)$ なら等号）により
$$ |q\alpha-p|\ge|q_n\alpha-p_n|>\frac1{(M+2)q_n}\ge\frac1{(M+2)q} $$
であり、$q$ で割って $|\alpha-p/q|>1/((M+2)q^2)$ を得る。
1 ⇒ 2：対偶を示す。部分商が有界でないとする。$q_{n+1}\ge a_{n+1}q_n$ なので $|\alpha-p_n/q_n|<1/(q_nq_{n+1})\le1/(a_{n+1}q_n^2)$ である。どんな $c>0$ についても $a_{n+1}>1/c$ となる $n$ があり、そのとき $|\alpha-p_n/q_n|< c/q_n^2$ となるので、$\alpha$ は悪く近似されない。$\square$

$m$ を Lebesgue測度 とする。整数 $q\ge1$ について
$$ E_q:=\Bigl\{\alpha\in[0,1)\ \Bigm|\ \text{ある整数 }p\text{ で }\Bigl|\alpha-\frac pq\Bigr|<\psi(q)\Bigr\} $$
とおき、$m(E_q)\le2q\psi(q)$ を示す。$2q\psi(q)\ge1$ なら $E_q\subset[0,1)$ から明らかである。$\psi(q)<1/(2q)$ なら、$\alpha\in E_q$ に対応する $p$ は $-1/q< p/q<1+1/q$、すなわち $0\le p\le q$ を満たす。$p=0$ の区間と $[0,1)$ の共通部分の長さは $\psi(q)$ 以下、$p=q$ についても同様であり、$1\le p\le q-1$ の区間の長さは $2\psi(q)$ である。よって $m(E_q)\le2\psi(q)+2(q-1)\psi(q)=2q\psi(q)$ である。
$\alpha\in E(\psi)\cap[0,1)$ とする。1 つの $q$ について $|\alpha-p/q|<\psi(q)$ を満たす $p$ は有限個なので、そのような組 $(p,q)$ が無限個あれば $q$ も無限に多くの値をとる。したがってどの $Q$ についても $\alpha\in\bigcup_{q\ge Q}E_q$ であり、
$$ m\bigl(E(\psi)\cap[0,1)\bigr)\le\sum_{q\ge Q}m(E_q)\le2\sum_{q\ge Q}q\psi(q) $$
である。右辺は収束する級数の残りなので $Q\to\infty$ で $0$ に近づき、$E(\psi)\cap[0,1)$ は測度 $0$ である。最後に、$|\alpha-p/q|=|(\alpha+1)-(p+q)/q|$ なので $\alpha\in E(\psi)$ と $\alpha+1\in E(\psi)$ は同値であり、$E(\psi)=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\bigl((E(\psi)\cap[0,1))+k\bigr)$ は測度 $0$ の集合の可算個の和集合として測度 $0$ である。$\square$

$\psi_k(q):=q^{-2-1/k}$ とすると $\sum_qq\psi_k(q)=\sum_qq^{-1-1/k}<\infty$ なので、thm-da-measure により $E(\psi_k)$ は測度 $0$ であり、可算個の和 $E:=\bigcup_{k\ge1}E(\psi_k)$ も測度 $0$ である。有理数全体も測度 $0$ である。$\alpha$ が $E$ にも有理数全体にも属さないとし、$\varepsilon>0$ をとって $1/k<\varepsilon$ とすると、$|\alpha-p/q|<1/q^{2+\varepsilon}\le\psi_k(q)$ を満たす組 $(p,q)$ は有限個なので、近似指数は $2+\varepsilon$ 以下である。一方、無理数 $\alpha$ はすべての収束子について $|\alpha-p_n/q_n|<1/q_n^2$ を満たすので、近似指数は $2$ 以上である。よって近似指数は $2$ である。$\square$

要点：$[0,1)^k$ を $N^k$ 個の小さな箱に分けると、$N^k+1$ 個の点 $(\{j\alpha_1\},\dots,\{j\alpha_k\})$（$j=0,\dots,N^k$、$\{t\}$ は小数部分）のうち 2 つは同じ箱に入り、その番号の差が $q$ になる。

要点：$0<|q\alpha-p|<\varepsilon$ となる $q$ をとると、$q,2q,3q,\dots$ の倍数での小数部分は刻み $|q\alpha-p|$ で $[0,1]$ を端から端まで渡る。