Laplaceの方法

同義語：Laplace's methodLaplace method

概要

前提知識: Gauss積分, Taylorの定理, 広義積分, 漸近展開

大きなパラメータ $\lambda$ を含む積分 $\int g(x)e^{\lambda h(x)}\,dx$ では、$\lambda$ が大きくなるほど $e^{\lambda h(x)}$ は $h$ が最大になる点の近くに鋭く集中し、ほかの場所の寄与は相対的に無視できるほど小さくなる。最大点 $x_0$ の近くで $h(x)\approx h(x_0)-\frac c2(x-x_0)^2$ と 2 次式で近似すると、積分は Gauss積分で計算できて、$g(x_0)e^{\lambda h(x_0)}\sqrt{2\pi/(\lambda c)}$ という漸近形が得られる。この考え方を Laplace の方法（Laplace's method）という。
この記事では、この漸近形が成り立つための条件を述べて証明し（thm-lpm-main）、最大点が積分区間の端にある場合も扱う（prop-lpm-endpoint）。応用として、$\Gamma(\lambda+1)\sim\sqrt{2\pi\lambda}\,(\lambda/e)^\lambda$（Stirling の公式）を Gauss 積分から導く。最大点が 2 つある場合や、無限遠で最大値に近づく場合には、漸近形の定数が変わることも反例で確かめる。

設定

実数 $\lambda\to\infty$ のとき 2 つの関数 $F,G$ について $F(\lambda)/G(\lambda)\to1$ となることを $F(\lambda)\sim G(\lambda)$ と書き、$\lambda\to\infty$ で $0$ に近づく量を $o(1)$ と書く（Landau記号）。

Laplace型積分

$-\infty\le\alpha<\beta\le\infty$ とし、$h\colon(\alpha,\beta)\to\mathbb R$ と $g\colon(\alpha,\beta)\to\mathbb C$ を連続関数とする。実数 $\lambda>0$ について、広義積分
$$ I(\lambda):=\int_\alpha^\beta g(x)\,e^{\lambda h(x)}\,dx $$
が絶対収束するとき、これを Laplace 型積分 という。$h$ を位相関数、$g$ を振幅とよぶことがある。

主定理

Laplaceの方法

def-lpm-integral の $h,g$ と点 $x_0\in(\alpha,\beta)$ が次の 3 条件をみたすとする。

$h$ は $x_0$ のある近傍で $C^2$ 級で、$h'(x_0)=0$、$h''(x_0)<0$ である。
どの $\delta>0$ についても $\sup\{h(x)\mid x\in(\alpha,\beta),\ \lvert x-x_0\rvert\ge\delta\}< h(x_0)$ である。
ある $\lambda_0>0$ について $\int_\alpha^\beta\lvert g(x)\rvert e^{\lambda_0h(x)}\,dx<\infty$ である。
このとき $\lambda\ge\lambda_0$ で $I(\lambda)$ は絶対収束し、$\lambda\to\infty$ で
$$ I(\lambda)=e^{\lambda h(x_0)}\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda\lvert h''(x_0)\rvert}}\,\bigl(g(x_0)+o(1)\bigr) $$
が成り立つ。特に $g(x_0)\neq0$ なら $I(\lambda)\sim g(x_0)\,e^{\lambda h(x_0)}\sqrt{2\pi/(\lambda\lvert h''(x_0)\rvert)}$ である。

条件 2 は、$h$ の最大値が $x_0$ だけでとられ、しかも $x_0$ から離れたところでは（無限遠に近づく場合も含めて）$h$ が最大値に近づかないことを意味する。

$h$ を $h-h(x_0)$ に取り替えると $I(\lambda)$ は $e^{-\lambda h(x_0)}$ 倍になり、条件 1〜3 は保たれる。よって $h(x_0)=0$ として、$\sqrt\lambda\,I(\lambda)\to g(x_0)\sqrt{2\pi/c}$（$c:=-h''(x_0)>0$）を示せばよい。正の数 $a$ について、Gauss積分の定理「Gauss積分の値」から変数変換で $\int_{\mathbb R}e^{-\lambda ay^2/2}\,dy=\sqrt{2\pi/(\lambda a)}$ である。
$0<\varepsilon<\frac c2$ を固定する。$\delta>0$ を、$[x_0-\delta,x_0+\delta]\subset(\alpha,\beta)$ で、その上で $h$ が $C^2$ 級、$\lvert h''(x)+c\rvert\le\varepsilon$、$\lvert g(x)-g(x_0)\rvert\le\varepsilon$ となるようにとる。$h(x_0)=h'(x_0)=0$ だから、Taylorの定理により $\lvert x-x_0\rvert\le\delta$ で $h(x)=\frac12h''(\xi)(x-x_0)^2$（$\xi$ は $x_0$ と $x$ の間）であり、
$$ -\frac{c+\varepsilon}2(x-x_0)^2\le h(x)\le-\frac{c-\varepsilon}2(x-x_0)^2\qquad(\lvert x-x_0\rvert\le\delta) $$
となる。これを不等式 (A) とよぶ。積分を $I=I_1+I_2+I_3$ と分ける：
$$ I_1:=g(x_0)\int_{\lvert x-x_0\rvert\le\delta}e^{\lambda h}\,dx,\quad I_2:=\int_{\lvert x-x_0\rvert\le\delta}\bigl(g-g(x_0)\bigr)e^{\lambda h}\,dx,\quad I_3:=\int_{\lvert x-x_0\rvert>\delta}ge^{\lambda h}\,dx. $$
外側 $I_3$：条件 2 により $\eta:=-\sup_{\lvert x-x_0\rvert\ge\delta}h(x)>0$ である。$\lambda\ge\lambda_0$ なら、$\lvert x-x_0\rvert\ge\delta$ で $\lvert g\rvert e^{\lambda h}=\lvert g\rvert e^{\lambda_0h}e^{(\lambda-\lambda_0)h}\le\lvert g\rvert e^{\lambda_0h}e^{-(\lambda-\lambda_0)\eta}$ だから、$A:=\int_\alpha^\beta\lvert g\rvert e^{\lambda_0h}\,dx$ として $\lvert I_3\rvert\le Ae^{-(\lambda-\lambda_0)\eta}$ である。$\lvert x-x_0\rvert\le\delta$ の部分は有界区間上の連続関数の積分なので、$I(\lambda)$ は絶対収束し、$\sqrt\lambda\,I_3\to0$ である。
中央 $I_1$：(A) の右側から $\int_{\lvert x-x_0\rvert\le\delta}e^{\lambda h}\,dx\le\sqrt{2\pi/(\lambda(c-\varepsilon))}$ である。左側からは、$\lvert y\rvert\ge\delta$ で $y^2\ge\delta\lvert y\rvert$ を使って
$$ \int_{\lvert x-x_0\rvert\le\delta}e^{\lambda h}\,dx\ge\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda(c+\varepsilon)}}-\int_{\lvert y\rvert>\delta}e^{-\lambda(c+\varepsilon)\delta\lvert y\rvert/2}\,dy=\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda(c+\varepsilon)}}-\frac{4e^{-\lambda(c+\varepsilon)\delta^2/2}}{\lambda(c+\varepsilon)\delta} $$
である。よって $\sqrt\lambda\int_{\lvert x-x_0\rvert\le\delta}e^{\lambda h}\,dx$ の下極限は $\sqrt{2\pi/(c+\varepsilon)}$ 以上、上極限は $\sqrt{2\pi/(c-\varepsilon)}$ 以下である。
誤差 $I_2$：(A) の右側から $\lvert I_2\rvert\le\varepsilon\int_{\mathbb R}e^{-\lambda(c-\varepsilon)y^2/2}\,dy=\varepsilon\sqrt{2\pi/(\lambda(c-\varepsilon))}$ である。
以上をまとめると
$$ \limsup_{\lambda\to\infty}\Bigl\lvert\sqrt\lambda\,I(\lambda)-g(x_0)\sqrt{\tfrac{2\pi}c}\Bigr\rvert\le\lvert g(x_0)\rvert\Bigl(\sqrt{\tfrac{2\pi}{c-\varepsilon}}-\sqrt{\tfrac{2\pi}{c+\varepsilon}}\Bigr)+\varepsilon\sqrt{\tfrac{2\pi}{c-\varepsilon}} $$
である。左辺は $\varepsilon$ によらず、右辺は $\varepsilon\to0$ で $0$ に近づくので、左辺は $0$ である。

FS09 Theorem B.7（p. 758）は、$\int f(x)g(x)^n\,dx$（$g>0$ を $e^{\log g}$ と見る）の形で、$f,g$ が無限回微分可能な場合に高次の項まで含む漸近展開を述べ、B.21 でその証明の筋道を与えている。

最大点が端にある場合

端での最大

$\alpha$ を有限、$h\colon[\alpha,\beta)\to\mathbb R$、$g\colon[\alpha,\beta)\to\mathbb C$ を連続とし、$I(\lambda):=\int_\alpha^\beta ge^{\lambda h}\,dx$ とおく。どの $\delta>0$ についても $\sup_{x\ge\alpha+\delta}h(x)< h(\alpha)$ で、ある $\lambda_0$ について $\int_\alpha^\beta\lvert g\rvert e^{\lambda_0h}\,dx<\infty$ とする。

$h$ が $[\alpha,\alpha+\delta_0)$ で $C^2$ 級で、$h'(\alpha)=0$、$h''(\alpha)<0$ なら
$$ I(\lambda)=e^{\lambda h(\alpha)}\cdot\frac12\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda\lvert h''(\alpha)\rvert}}\,\bigl(g(\alpha)+o(1)\bigr). $$
$h$ が $[\alpha,\alpha+\delta_0)$ で $C^1$ 級で、$h'(\alpha)<0$ なら
$$ I(\lambda)=\frac{e^{\lambda h(\alpha)}}{\lambda\lvert h'(\alpha)\rvert}\,\bigl(g(\alpha)+o(1)\bigr). $$

要点：thm-lpm-main の証明で、中央の区間を $[\alpha,\alpha+\delta]$ に替える。1 では Gauss 積分が半分になり、2 では 2 次式の代わりに 1 次式で挟んで指数関数の積分 $\int_0^\infty e^{-\lambda dy}\,dy=\frac1{\lambda d}$ を使う。

詳しい証明を開く

どちらも $h(\alpha)=0$ としてよい。外側 $\int_{\alpha+\delta}^\beta$ は主定理の証明と同じく $O(e^{-(\lambda-\lambda_0)\eta})$ である。

1：主定理の証明の不等式 (A) が $0\le y:=x-\alpha\le\delta$ で成り立ち、$\int_0^\infty e^{-\lambda ay^2/2}\,dy=\frac12\sqrt{2\pi/(\lambda a)}$ なので、同じ評価がすべて $\frac12$ 倍になって主張を得る。

2：$d:=-h'(\alpha)>0$、$0<\varepsilon<\frac d2$ とし、$[\alpha,\alpha+\delta]$ の上で $\lvert h'(x)+d\rvert\le\varepsilon$、$\lvert g(x)-g(\alpha)\rvert\le\varepsilon$ となる $\delta$ をとる。平均値の定理により $0\le y\le\delta$ で $-(d+\varepsilon)y\le h(\alpha+y)\le-(d-\varepsilon)y$ である。$\int_0^\delta e^{-\lambda by}\,dy=\frac{1-e^{-\lambda b\delta}}{\lambda b}$（$b>0$）だから、$\lambda\int_\alpha^{\alpha+\delta}e^{\lambda h}\,dx$ の下極限は $\frac1{d+\varepsilon}$ 以上、上極限は $\frac1{d-\varepsilon}$ 以下で、$\lambda\bigl\lvert\int_\alpha^{\alpha+\delta}(g-g(\alpha))e^{\lambda h}\,dx\bigr\rvert\le\frac{\varepsilon}{d-\varepsilon}$ である。外側の寄与に $\lambda$ を掛けたものは $0$ に近づくので、$\limsup_\lambda\bigl\lvert\lambda I(\lambda)-\frac{g(\alpha)}d\bigr\rvert\le\lvert g(\alpha)\rvert\bigl(\frac1{d-\varepsilon}-\frac1{d+\varepsilon}\bigr)+\frac\varepsilon{d-\varepsilon}$ となり、$\varepsilon\to0$ として主張を得る。

右端 $\beta$ で最大になる場合も、$x\mapsto-x$ と置き換えれば同じである。最大点が内部にあっても、条件 2 を区間の両側で別々に確かめて prop-lpm-endpoint の 1 を 2 回使えば thm-lpm-main が再び得られる。

例

Γ関数に対する Stirling の公式

実数 $\lambda\to\infty$ で $\Gamma(\lambda+1)\sim\sqrt{2\pi\lambda}\,(\lambda/e)^\lambda$ である。
実際、$\Gamma(\lambda+1)=\int_0^\infty x^\lambda e^{-x}\,dx$ で $x=\lambda t$ と置換すると
$$ \Gamma(\lambda+1)=\lambda^{\lambda+1}\int_0^\infty e^{\lambda(\log t-t)}\,dt $$
となる。$h(t):=\log t-t$（$t>0$）、$g:=1$ とすると、$h'(t)=\frac1t-1$、$h''(t)=-\frac1{t^2}$ で、$h$ は $(0,1]$ で増加、$[1,\infty)$ で減少し、$h(1)=-1$、$h''(1)=-1$ である。$0<\delta<1$ なら $\lvert t-1\rvert\ge\delta$ での $h$ の上限は $\max\{h(1-\delta),h(1+\delta)\}<-1$ で、$\delta\ge1$ でも同様だから条件 2 が成り立つ。$\lambda_0=1$ で $\int_0^\infty e^{h(t)}\,dt=\int_0^\infty te^{-t}\,dt=1$ だから条件 3 も成り立つ。thm-lpm-main により $\int_0^\infty e^{\lambda h}\,dt\sim e^{-\lambda}\sqrt{2\pi/\lambda}$ であり、$\Gamma(\lambda+1)\sim\lambda^{\lambda+1}e^{-\lambda}\sqrt{2\pi/\lambda}=\sqrt{2\pi\lambda}\,(\lambda/e)^\lambda$ を得る。

整数 $\lambda=n$ の場合が Stirlingの公式である。そこでは定数 $\sqrt{2\pi}$ を Wallis の積から決めているが、ここでは Gauss 積分から現れる。Rud76 8.22（pp. 194–195）も同じ置換から出発し、積分の極限を収束定理（第 7 章の演習 12）で求めている。

正弦の冪の積分

$n\to\infty$ で $\displaystyle\int_0^\pi\sin^nx\,dx\sim\sqrt{\frac{2\pi}n}$ である。

確かめを開く

$(0,\pi)$ の上で $h(x):=\log\sin x$、$g:=1$ とすると、積分は $\int_0^\pi e^{nh(x)}\,dx$ である。$h'(x)=\cot x$、$h''(x)=-\frac1{\sin^2x}$ だから最大点は $x_0=\frac\pi2$ で、$h(\frac\pi2)=0$、$h''(\frac\pi2)=-1$ である。$\lvert x-\frac\pi2\rvert\ge\delta$ では $\sin x\le\cos\delta<1$ なので条件 2 が成り立ち、$\lambda_0=1$ で $\int_0^\pi\sin x\,dx=2$ だから条件 3 も成り立つ。thm-lpm-main で $\lambda=n$ とすればよい。

この積分は $\int_0^{\pi/2}$ の 2 倍で、Wallis積分からStirlingの公式への定理「指数を 2 つ下げる漸化式」を繰り返し使うと、$n=2k$ のとき $\pi\prod_{i=1}^k\frac{2i-1}{2i}=\pi\binom{2k}k4^{-k}$ に等しい。したがって $\binom{2k}k\sim\frac{4^k}{\sqrt{\pi k}}$ が従う。

端で最大になる例

$\lambda\to\infty$ で $\displaystyle\int_0^\pi e^{\lambda\cos\theta}\,d\theta\sim e^\lambda\sqrt{\frac\pi{2\lambda}}$ である。$h(\theta)=\cos\theta$ は $[0,\pi)$ の左端 $0$ で最大値 $1$ をとり、$h'(0)=0$、$h''(0)=-1$、$\theta\ge\delta$ で $\cos\theta\le\cos\delta<1$ だから、prop-lpm-endpoint の 1 から $\frac12e^\lambda\sqrt{2\pi/\lambda}$ を得る。この積分を $\pi$ で割ったものは変形 Bessel 関数 $I_0(\lambda)$ である（DLMF10 式 10.32.1）。
$g\colon[0,\infty)\to\mathbb C$ が連続で、ある $\lambda_0$ について $\int_0^\infty\lvert g(x)\rvert e^{-\lambda_0x}\,dx<\infty$ なら、$\lambda\to\infty$ で $\int_0^\infty g(x)e^{-\lambda x}\,dx=\frac{g(0)+o(1)}\lambda$ である。$h(x)=-x$ に prop-lpm-endpoint の 2 を使えばよい。$g$ の $0$ での展開が分かれば、漸近展開の定理「Watsonの補題」により $\frac1\lambda$ の冪による漸近展開が得られる。

高次の項

$h$ と $g$ が $x_0$ の近くで十分滑らかなら、thm-lpm-main の $g(x_0)+o(1)$ は $\lambda^{-1}$ の冪による漸近展開
$$ I(\lambda)\sim e^{\lambda h(x_0)}\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda\lvert h''(x_0)\rvert}}\Bigl(g(x_0)+\frac{c_1}\lambda+\frac{c_2}{\lambda^2}+\cdots\Bigr) $$
に精密化できる。$v=h(x_0)-h(x)$ を新しい変数にとると、$x_0$ の左右それぞれで積分は $\int_0e^{-\lambda v}q(v)\,dv$ の形になり、$q(v)$ の $v=0$ での展開（$v^{-1/2}$ から始まる半整数冪の展開）に Watson の補題を使うという筋道である。この記事では証明しない。一般の形は DLMF2 §2.3(iii) の式 2.3.15 にあり、FS09 Theorem B.7 と B.21–B.22（pp. 758–759）は係数 $c_1$ の具体形と証明の筋道を与えている。たとえば $\Gamma(\lambda+1)$ では $\sqrt{2\pi\lambda}\,(\lambda/e)^\lambda\bigl(1+\frac1{12\lambda}+O(\lambda^{-2})\bigr)$ となり（FS09 Appendix B.3、p. 747）、$\lambda$ が整数なら Euler–Maclaurinの公式の例「階乗の対数（Stirling 級数）」からも同じ係数 $\frac1{12}$ が得られる。

反例：仮定を外した場合

外す条件	反例	成り立たなくなること
$h''(x_0)<0$	$h=-x^4$、$g=1$（$\mathbb R$ 上）	$\sqrt\lambda\,e^{-\lambda h(x_0)}I(\lambda)$ が有限の極限をもつこと
$g(x_0)\neq0$	$h=-x^2$、$g=x^2$	$I(\lambda)$ が $\lambda^{-1/2}e^{\lambda h(x_0)}$ の定数倍で近似されること
条件 2（最大点が 2 つ）	$h=-(x^2-1)^2$、$g=1$、$x_0=1$	$I(\lambda)\sim g(x_0)e^{\lambda h(x_0)}\sqrt{2\pi/(\lambda\lvert h''(x_0)\rvert)}$
条件 2（無限遠で最大値に近づく）	$h=-\frac{x^2}{1+x^4}$、$g=\frac1{1+x^2}$	同上
条件 3	$h=-x^2$、$g=e^{x^4}$	$I(\lambda)$ が有限であること

反例の確かめ

$\int_{\mathbb R}e^{-\lambda x^4}\,dx=2\Gamma(\frac54)\lambda^{-1/4}$（$x=\lambda^{-1/4}u$ と置換）なので、$\sqrt\lambda\,I(\lambda)=2\Gamma(\frac54)\lambda^{1/4}\to\infty$ である。最大点の近くで $h$ が 2 次より平らなので、寄与する範囲が $\lambda^{-1/2}$ ではなく $\lambda^{-1/4}$ の幅になる。
$I(\lambda)=\int_{\mathbb R}x^2e^{-\lambda x^2}\,dx=\frac{\sqrt\pi}2\lambda^{-3/2}$ である（Gauss積分の定理「Gauss積分のモーメント」）。thm-lpm-main の等式は $g(x_0)=0$ で正しいが、主要項が $0$ になり、実際の大きさは $\lambda^{-3/2}$ である。
$h$ は $x=\pm1$ で最大値 $0$ をとり、$h''(\pm1)=-8$ である。$(0,\infty)$ に制限すると $x=1$ について条件 1〜3 が成り立つので（$x\to+0$ で $h\to-1$）、$\int_0^\infty e^{\lambda h}\,dx\sim\sqrt{2\pi/(8\lambda)}=\frac12\sqrt{\pi/\lambda}$ である。$h$ は偶関数なので $I(\lambda)\sim\sqrt{\pi/\lambda}$ で、$x_0=1$ だけから予想される値 $\frac12\sqrt{\pi/\lambda}$ の 2 倍になる。
$h(0)=0$ が唯一の最大値で $h''(0)=-2$ だが、$x\to\pm\infty$ で $h(x)\to0$ なので条件 2 が成り立たない。$x\mapsto\frac1x$ で $\frac{x^2}{1+x^4}$ と $\frac{dx}{1+x^2}$ は変わらないので $\int_1^\infty ge^{\lambda h}\,dx=\int_0^1ge^{\lambda h}\,dx$ であり、偶関数性と合わせて $I(\lambda)=4\int_0^1ge^{\lambda h}\,dx$ となる。$[0,1)$ で $h$ は減少するので prop-lpm-endpoint の 1 が使えて $\int_0^1ge^{\lambda h}\,dx\sim\frac12\sqrt{\pi/\lambda}$ であり、$I(\lambda)\sim2\sqrt{\pi/\lambda}$ となる。主定理の式から予想される値 $\sqrt{\pi/\lambda}$ の 2 倍で、無限遠がもう 1 つの最大点のようにふるまう。
どの $\lambda$ についても $x^4-\lambda x^2\to\infty$ なので $\int_{\mathbb R}e^{x^4-\lambda x^2}\,dx=\infty$ である。