三角関手と導来関手の再定式化
概要
三角関手（triangulated functor）とは、移動関手と距離三角の構造を保つ三角圏の間の関手のことをいう。この概念を用いると、対象ごとに射影分解・入射分解を取ってホモロジーを計算するという導来関手の構成手続きは、導来圏の間の三角関手 $RF\colon D^+(\mathcal A)\to D^+(\mathcal B)$（全導来関手）を一度だけ構成するという単一の操作に再定式化され、$R^nF(A)$ はその特殊な場合として回収される。
前提知識: 圏, アーベル圏, 複体とホモロジー, 入射対象・射影対象, 導来関手, 三角圏, 導来圏
定義
三角圏 $(\mathcal T,\Sigma,\{\text{距離三角}\})$、$(\mathcal T',\Sigma',\{\text{距離三角}'\})$ の間の三角関手（triangulated functor, exact functor）とは、加法的な関手 $F\colon\mathcal T\to\mathcal T'$ と自然同型 $\eta\colon F\circ\Sigma\xrightarrow{\sim}\Sigma'\circ F$ の組であって、$\mathcal T$ の任意の距離三角
$$
X\xrightarrow{u}Y\xrightarrow{v}Z\xrightarrow{w}\Sigma X
$$
に対し
$$
F(X)\xrightarrow{F(u)}F(Y)\xrightarrow{F(v)}F(Z)\xrightarrow{\eta_X\circ F(w)}\Sigma'F(X)
$$
が $\mathcal T'$ の距離三角になる、というものをいう。
$F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ を左完全な加法関手とし、$\mathcal A$ は十分な入射対象を持つとする。下に有界な複体 $X_\bullet\in D^+(\mathcal A)$ に対し、$X_\bullet$ から入射対象からなる下に有界な複体 $I_\bullet$ への擬同型 $X_\bullet\to I_\bullet$（複体の入射分解、入射対象・射影対象の意味での単一対象の入射分解を各次数に拡張したもの、存在は標準的な事実として認める）を選び、
$$
RF(X_\bullet):=F(I_\bullet)\in D^+(\mathcal B)
$$
と定める。この対応は（比較定理の類似により、分解の選び方によらず自然同型を除いて矛盾なく定まり）三角関手 $RF\colon D^+(\mathcal A)\to D^+(\mathcal B)$ を与える。これを $F$ の全導来関手（total derived functor）という。双対に、右完全な加法関手に対しては射影分解を用いて全導来関手 $LF\colon D^-(\mathcal A)\to D^-(\mathcal B)$ が定義される。
直感
三角関手は、アーベル圏の間の完全関手を三角圏の言葉に翻訳した概念である。距離三角を距離三角に送るという条件は、短完全列を短完全列に送るという完全関手の条件の直接の類似物であり、実際三角圏の性質「距離三角の隣接する射の合成は零射である」は三角関手で自動的に保たれる（$F$ を距離三角に適用するだけで再び距離三角が得られるため）。
全導来関手 $RF$ は、導来関手で構成した $R^nF$ を「対象ごとに」ではなく「複体ごとに、一度だけ」構成し直したものである。単一の対象 $A\in\mathcal A$ を次数 $0$ に集中した複体とみなすと、その入射分解はまさに導来関手の意味での入射分解 $0\to A\to I^0\to I^1\to\cdots$ に一致するので、$RF(A)=F(I^\bullet)$（$D^+(\mathcal B)$ の対象として）であり、これに複体とホモロジーのホモロジー関手を適用すれば $R^nF(A)$ がちょうど復元される（後述の命題）。この意味で、全導来関手は個々の $R^nF$ をすべて内包する「一段高い」不変量である。この視点に立つと、関手の合成 $G\circ F$ の導来関手が $R(G\circ F)\cong RG\circ RF$（適切な仮定のもとで、グロタンディーク・スペクトル系列の出発点になる関係式）のように振る舞うことが、複体の言葉で自然に扱える。
性質
$F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ を左完全な加法関手とし、$\mathcal A$ は十分な入射対象を持つとする。対象 $A\in\mathcal A$ を次数 $0$ に集中した複体とみなして $D^+(\mathcal A)$ の対象と考えるとき、任意の $n\ge0$ に対し
$$
H^n(RF(A))\cong R^nF(A)
$$
が成り立つ（右辺は導来関手の意味での右導来関手）。
$0\to A\to I^0\to I^1\to\cdots$ を（入射対象・射影対象・導来関手の意味での）$A$ の入射分解とする。この入射分解を、次数 $0$ に集中した複体 $A$（対象としての $A$ を複体とみなしたもの）から、下に有界で入射対象からなる複体 $I_\bullet:=(I^0,I^1,\dots)$ への鎖写像とみなすと、これは各次数でホモロジーが一致する（複体 $A$ のホモロジーは次数 $0$ で $A$、他は $0$ であり、入射分解の完全性によりこれは $I_\bullet$ のホモロジーと一致する）ので、擬同型である。したがってこの入射分解は、まさにdef-total-derived-functorの意味での複体 $A$ の入射分解として使うことができ、
$$
RF(A)=F(I_\bullet)
$$
である。ゆえに
$$
H^n(RF(A))=H^n(F(I_\bullet))=R^nF(A)
$$
（最後の等号は導来関手の右導来関手 $R^nF(A)$ の定義そのものである）。$\blacksquare$
例
導来圏の例で見たように、$\operatorname{Hom}_R(-,M)$ の全導来関手 $R\operatorname{Hom}_R(-,M)$（反変関手の場合の全導来関手、本記事の構成を反変版に読み替えたもの）を考えると、$\operatorname{Ext}^n_R(N,M)=H^n(R\operatorname{Hom}_R(N,M))$ となり、prop-total-derived-functor-recovers-classicalにより、これは導来関手で定義した $\operatorname{Ext}^n_R(N,M)$ と一致する。全導来関手 $R\operatorname{Hom}_R(-,-)$ は、$N,M$ の一方だけでなく両方を複体に取り替えても意味を持つ（超Ext群）という利点があり、これが複体の言葉で理論を再構成する主な動機の一つになっている。
