三角関手と導来関手の再定式化
概要
三角関手と導来関手の再定式化（triangulated functors and the reformulation of derived functors）とは、移動関手と完全三角形の構造を保つ三角圏の間の関手（三角関手）を用いて、対象ごとに射影分解・入射分解を取ってホモロジーを計算するという導来関手の構成手続きを、導来圏の間の三角関手 $RF\colon D^+(\mathcal A)\to D^+(\mathcal B)$（全導来関手）を一度だけ構成するという単一の操作に言い換えることをいう。$R^nF(A)$ はその特殊な場合 $H^n(RF(A))$ として回収され、全導来関手は局所化関手からの自然変換に関する普遍性によって特徴づけられる。
前提知識: 圏, アーベル圏, 複体とホモロジー, 入射対象・射影対象, 導来関手, 三角圏, 導来圏
定義
以下では複体に上付き（コホモロジー的）添字 $X^\bullet=(X^n,d^n\colon X^n\to X^{n+1})$ を用い、$D^+(\mathcal A)$ は $X^n=0$（$n\ll0$）を満たす複体、すなわちコホモロジー的添字で下に有界な複体からなる導来圏を意味する（導来圏の記事のホモロジー的添字 $X_n=X^{-n}$ とは向きが逆であり、そこでの $D^-$ に当たる）。
三角圏 $(\mathcal T,\Sigma,\{\text{完全三角形}\})$、$(\mathcal T',\Sigma',\{\text{完全三角形}'\})$ の間の三角関手（triangulated functor, exact functor）とは、加法的な関手（加法関手）$F\colon\mathcal T\to\mathcal T'$ と自然同型 $\eta\colon F\circ\Sigma\xrightarrow{\sim}\Sigma'\circ F$（移動関手との両立）の組であって、$\mathcal T$ の任意の完全三角形
$$
X\xrightarrow{u}Y\xrightarrow{v}Z\xrightarrow{w}\Sigma X
$$
に対し
$$
F(X)\xrightarrow{F(u)}F(Y)\xrightarrow{F(v)}F(Z)\xrightarrow{\eta_X\circ F(w)}\Sigma'F(X)
$$
が $\mathcal T'$ の完全三角形になる、というものをいう。
$F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ を左完全な加法関手（左完全関手、左完全性は後述の $H^0(RF(A))\cong F(A)$（$A\in\mathcal A$）を保証するための仮定であり、構成自体は加法関手一般に対して行える）とし、$\mathcal A$ は十分な入射対象を持つとする。下に有界な複体 $X^\bullet\in D^+(\mathcal A)$ に対し、$X^\bullet$ から入射対象からなる下に有界な複体 $I^\bullet$ への擬同型 $X^\bullet\to I^\bullet$（複体の入射分解、入射対象・射影対象の意味での単一対象の入射分解を各次数に拡張したもの、存在は標準的な事実として認める、Wei94 §10.4）を選び、
$$
RF(X^\bullet):=F(I^\bullet)\in D^+(\mathcal B)
$$
と定める。この対応は（比較定理の類似により、分解の選び方によらず自然同型を除いて矛盾なく定まり）三角関手 $RF\colon D^+(\mathcal A)\to D^+(\mathcal B)$ を与える。これを $F$ の全導来関手（total derived functor）という。双対に、右完全な加法関手（右完全関手）に対しては、$\mathcal A$ が十分な射影対象を持つとき射影分解を用いて全導来関手 $LF\colon D^-(\mathcal A)\to D^-(\mathcal B)$ が定義される。
def-total-derived-functor の「比較定理の類似」の内容は次のとおりである。入射対象からなる下に有界な複体の間の擬同型はホモトピー同値であり、したがって $X^\bullet\to I^\bullet$、$X^\bullet\to J^\bullet$ が2つの入射分解ならば $I^\bullet$ と $J^\bullet$ はホモトピー圏 $K^+(\mathcal A)$ において同型である。この事実は圏同値 $K^+(\mathrm{Inj}(\mathcal A))\simeq D^+(\mathcal A)$（$\mathrm{Inj}(\mathcal A)$ は入射対象のなす充満部分圏）を与え、$RF$ はこの圏同値の逆に $K(F)\colon K^+(\mathrm{Inj}(\mathcal A))\to K^+(\mathcal B)$ と局所化関手 $K^+(\mathcal B)\to D^+(\mathcal B)$ を合成したものである。証明は本記事では割愛し、Wei94 §10.4–10.5 に委ねる。
$F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ を加法関手とし、$K(F)\colon K^+(\mathcal A)\to K^+(\mathcal B)$ を各次数に $F$ を施す関手、$Q_{\mathcal A}\colon K^+(\mathcal A)\to D^+(\mathcal A)$、$Q_{\mathcal B}\colon K^+(\mathcal B)\to D^+(\mathcal B)$ を局所化関手とする。$F$ の右導来関手とは、三角関手 $RF\colon D^+(\mathcal A)\to D^+(\mathcal B)$ と自然変換 $\xi\colon Q_{\mathcal B}\circ K(F)\Rightarrow RF\circ Q_{\mathcal A}$ の組であって次の普遍性を満たすもののことである（Deligne の定義）：任意の三角関手 $G\colon D^+(\mathcal A)\to D^+(\mathcal B)$ と自然変換 $\zeta\colon Q_{\mathcal B}\circ K(F)\Rightarrow G\circ Q_{\mathcal A}$ に対し、$\zeta=(\theta\circ Q_{\mathcal A})\circ\xi$ を満たす自然変換 $\theta\colon RF\Rightarrow G$ がただ一つ存在する。この組は存在すれば自然同型を除いて一意である。$\mathcal A$ が十分な入射対象を持つとき、def-total-derived-functor の構成 $RF(X^\bullet)=F(I^\bullet)$ は（入射分解 $X^\bullet\to I^\bullet$ に $F$ を施して得られる射を $\xi$ として）この普遍性を満たす。
直感
三角関手は、アーベル圏の間の完全関手を三角圏の言葉に翻訳した概念である。完全三角形を完全三角形に送るという条件は、短完全列を短完全列に送るという完全関手の条件の直接の類似物であり、実際三角圏の性質「完全三角形の隣接する射の合成は零射である」は三角関手で自動的に保たれる（$F$ を完全三角形に適用するだけで再び完全三角形が得られるため）。
全導来関手 $RF$ は、導来関手で構成した $R^nF$ を「対象ごとに」ではなく「複体ごとに、一度だけ」構成し直したものである。単一の対象 $A\in\mathcal A$ を次数 $0$ に集中した複体とみなすと、その入射分解はまさに導来関手の意味での入射分解 $0\to A\to I^0\to I^1\to\cdots$ に一致するので、$RF(A)=F(I^\bullet)$（$D^+(\mathcal B)$ の対象として）であり、これに複体とホモロジーのホモロジー関手（ここでは上付き添字で $H^n$ と書く）を適用すれば $R^nF(A)$ がちょうど復元される（後述の命題）。この意味で、全導来関手は個々の $R^nF$ をすべて内包する「一段高い」不変量である。この視点に立つと、関手の合成 $G\circ F$ の導来関手が $R(G\circ F)\cong RG\circ RF$（適切な仮定のもとで、Grothendieckスペクトル系列の出発点になる関係式）のように振る舞うことが、複体の言葉で自然に扱える。
性質
$F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ を左完全な加法関手とし、$\mathcal A$ は十分な入射対象を持つとする。対象 $A\in\mathcal A$ を次数 $0$ に集中した複体とみなして $D^+(\mathcal A)$ の対象と考えるとき、任意の $n\ge0$ に対し
$$
H^n(RF(A))\cong R^nF(A)
$$
が成り立つ（右辺は導来関手の意味での右導来関手）。
$0\to A\to I^0\to I^1\to\cdots$ を（入射対象・射影対象・導来関手の意味での）$A$ の入射分解とする。この入射分解を、次数 $0$ に集中した複体 $A$（対象としての $A$ を複体とみなしたもの）から、下に有界で入射対象からなる複体 $I^\bullet:=(I^0\to I^1\to\cdots)$ への鎖写像とみなすと、これは各次数でホモロジーが一致する（複体 $A$ のホモロジーは次数 $0$ で $A$、他は $0$ であり、入射分解の完全性によりこれは $I^\bullet$ のホモロジーと一致する）ので、擬同型である。したがってこの入射分解は、まさにdef-total-derived-functorの意味での複体 $A$ の入射分解として使うことができ、
$$
RF(A)=F(I^\bullet)
$$
である。ゆえに
$$
H^n(RF(A))=H^n(F(I^\bullet))=R^nF(A)
$$
（最後の等号は導来関手の右導来関手 $R^nF(A)$ の定義そのものである）。$\blacksquare$
例
導来圏の例で見た $\operatorname{Ext}^n_R(N,M)\cong\operatorname{Hom}_{D(R)}(N,\Sigma^nM)$ と整合して、$\operatorname{Hom}_R(-,M)$ の全導来関手 $R\operatorname{Hom}_R(-,M)$（反変関手の場合の全導来関手、本記事の構成を反変版に読み替えたもの）を考えると、同様の議論により（反変版では $N$ の射影分解を用いる）$\operatorname{Ext}^n_R(N,M)=H^n(R\operatorname{Hom}_R(N,M))$ となり、prop-total-derived-functor-recovers-classicalと同じ理由で、これは導来関手で定義したExt関手 $\operatorname{Ext}^n_R(N,M)$ と一致する。全導来関手 $R\operatorname{Hom}_R(-,-)$ は、$N,M$ の一方だけでなく両方を複体に取り替えても意味を持つ（超Ext群）という利点があり、これが複体の言葉で理論を再構成する主な動機の一つになっている。
関連項目
参考文献
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