曲面積

$a=0$ なら両辺とも $0$ である。$a\ne0$ のとき、$b$ の直線 $\mathbb{R}a$ への直交射影は $\frac{a\cdot b}{\lvert a\rvert^2}a$ で、$b$ から直線までの距離 $h$ は $h^2=\bigl\lvert b-\frac{a\cdot b}{\lvert a\rvert^2}a\bigr\rvert^2=\lvert b\rvert^2-\frac{(a\cdot b)^2}{\lvert a\rvert^2}$ を満たす。よって面積の 2 乗は $\lvert a\rvert^2h^2=\lvert a\rvert^2\lvert b\rvert^2-(a\cdot b)^2$ である。$N=3$ の場合は Lagrange の恒等式 $\lvert a\times b\rvert^2=\lvert a\rvert^2\lvert b\rvert^2-(a\cdot b)^2$（ベクトル積 の命題「ベクトル積の基本性質」の 4）による。

$p_u=a$、$p_v=b$ は定数なので $J_p=\sqrt{\lvert a\rvert^2\lvert b\rvert^2-(a\cdot b)^2}$ も定数で、$A(p;S)=(\beta-\alpha)(\delta-\gamma)J_p$ である。$p(S)=p(\alpha,\gamma)+\{s(\beta-\alpha)a+t(\delta-\gamma)b\mid 0\le s,t\le1\}$ であり、lem-sa-gram を $(\beta-\alpha)a$、$(\delta-\gamma)b$ に使うと、その面積は $(\beta-\alpha)(\delta-\gamma)J_p$ である。

1. 連鎖律（Jacobi行列 の系「合成写像のJacobi行列」）により $Dq(x)=Dp(\varphi(x))\,D\varphi(x)$ であるから、$2\times2$ 行列として
   $$ Dq^{\top}Dq=D\varphi^{\top}\,\bigl(Dp^{\top}Dp\bigr)\!\circ\varphi\;D\varphi $$
   である。行列式の積の公式により $\det(Dq^\top Dq)=(\det D\varphi)^2\det\bigl((Dp^\top Dp)\circ\varphi\bigr)$ となり、両辺の平方根をとれば 1 を得る。
2. $\varphi(T)$ がコンパクトで Jordan 可測であることは Leb26 Proposition 10.5.9（p. 126）による。$J_p$ は連続なので $\varphi(T)$ 上で Riemann 積分でき、重積分の変数変換公式（Jacobi行列 の定理「重積分の変数変換公式」）を $g=\varphi$、$S=T$、$f=J_p$ に使うと、1 により
   $$ A(p;\varphi(T))=\iint_{\varphi(T)}J_p=\iint_TJ_p(\varphi(x))\,\lvert\det D\varphi(x)\rvert\,dx=\iint_TJ_q=A(q;T) $$
   である。
3. 逆関数定理（Jacobi行列 の定理「逆関数定理の言明」）により $\varphi^{-1}\colon W\to V$ も $C^1$ 級で $\det D\varphi^{-1}\ne0$ である。よって 2 を $\varphi$ と $\varphi^{-1}$ に使うと、$T\mapsto\varphi(T)$ は $V$ と $W$ の Jordan 可測なコンパクト部分集合の間の全単射で、$A(q;T)=A(p;\varphi(T))$ を保つ。両辺の上限をとって 3 を得る。

最初の 2 成分が $(u,v)$ なので $p$ は単射である。$p_u=(1,0,f_u)$、$p_v=(0,1,f_v)$ より $E=1+f_u^2$、$F=f_uf_v$、$G=1+f_v^2$ で、
$$ EG-F^2=1+f_u^2+f_v^2+f_u^2f_v^2-f_u^2f_v^2=1+f_u^2+f_v^2\ge1 $$
である。よって $p$ は正則で、$J_p$ は式のとおりである。

$p(t,\theta)=p(t',\theta')$ なら第 1 成分と $y>0$ から $(x(t),y(t))=(x(t'),y(t'))$、よって $t=t'$ であり、$(\cos\theta,\sin\theta)=(\cos\theta',\sin\theta')$ と $\theta,\theta'\in(0,2\pi)$ から $\theta=\theta'$ である。$p_t=(x',y'\cos\theta,y'\sin\theta)$、$p_\theta=(0,-y\sin\theta,y\cos\theta)$ より $E=x'^2+y'^2$、$F=-yy'\cos\theta\sin\theta+yy'\sin\theta\cos\theta=0$、$G=y^2$ なので $J_p=y\sqrt{x'^2+y'^2}>0$ である。$W=I\times(0,2\pi)$ は開長方形なので、$A(p;W)$ は閉長方形 $[\alpha+\varepsilon,\beta-\varepsilon]\times[\varepsilon,2\pi-\varepsilon]$ 上の積分の極限である（def-sa-area の後の注意）。その積分は、連続関数の長方形上の積分を逐次積分で計算して（Fubiniの定理）$(2\pi-2\varepsilon)\int_{\alpha+\varepsilon}^{\beta-\varepsilon}y\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$ であり、$\varepsilon\to0$ で式を得る。

$Z$ の面積は、thm-sa-revolution を $z$ 軸のまわりの回転として $x(t)=t$、$y(t)=1$（$0< t< 1$）に使って $2\pi$ である（上下の円と継ぎ目の線分を除いた部分の面積。曲線を除いても面積は変わらないとみなす。rem-sa-hausdorff）。
1, 2．$P_{k,j}$ は高さ $k/n$ の円の上で角 $(2j+k)\pi/m$ にある。三角形 $P_{k,j}P_{k,j+1}P_{k+1,j}$ の底辺 $P_{k,j}P_{k,j+1}$ は高さ $k/n$ の水平な弦で、中心角 $2\pi/m$ に対する弦だから長さは $2\sin(\pi/m)$ である。その中点 $M$ は角 $\psi:=(2j+k+1)\pi/m$ の方向に原点から距離 $\cos(\pi/m)$ の位置（高さ $k/n$）にあり、頂点 $P_{k+1,j}$ は同じ角 $\psi$ の方向に距離 $1$、高さ $(k+1)/n$ にある。$e_\psi=(\cos\psi,\sin\psi,0)$、$e_z=(0,0,1)$ とおくと
$$ P_{k+1,j}-M=\Bigl(1-\cos\frac\pi m\Bigr)e_\psi+\frac1ne_z $$
であり、底辺の方向 $(-\sin\psi,\cos\psi,0)$ はこの両方と直交する。よって三角形の高さは $h=\sqrt{(1-\cos\frac\pi m)^2+\frac1{n^2}}$、面積は $\sin\frac\pi m\cdot h$ である。もう一方の型の三角形 $P_{k+1,j}P_{k+1,j+1}P_{k,j+1}$ も、底辺が高さ $(k+1)/n$ の同じ長さの弦で、頂点 $P_{k,j+1}$ が同じ角 $(2j+k+2)\pi/m$ の方向にあるので、同じ計算で合同である。三角形は $2mn$ 個だから $A_{m,n}=2mn\sin\frac\pi m\cdot h$ となり、2 の式を得る。辺は、底辺が $2\sin\frac\pi m\le\frac{2\pi}m$、残りの 2 辺が角の差 $\pi/m$ の 2 点を高さの差 $1/n$ で結ぶ線分で、水平方向の距離 $2\sin\frac\pi{2m}\le\frac\pi m$ と合わせて長さ $\sqrt{(2\sin\frac\pi{2m})^2+\frac1{n^2}}\le\frac\pi m+\frac1n$ である。これで 1 が示された。
3．$2m\sin\frac\pi m\to2\pi$ であり、$1-\cos x=2\sin^2\frac x2$ より $m^2(1-\cos\frac\pi m)=2m^2\sin^2\frac\pi{2m}\to\frac{\pi^2}2$ である。よって $n(1-\cos\frac\pi m)=\frac n{m^2}\cdot m^2(1-\cos\frac\pi m)$ は $n/m^2\to c$ なら $\frac{\pi^2c}{2}$ に、$n/m^2\to\infty$ なら $\infty$ に近づき、2 の式から 3 を得る。