一意接続定理(Laplace作用素)

$\partial^\gamma u_j$ の $N$ 次までの Taylor 展開を $x_0$ で行う。多項式部分の係数はすべて零であり、積分剰余は小さい閉球上の有限個の高階導関数の上界で抑えられる。従って各成分について $O(|x-x_0|^N)$ が得られ、成分数が有限なので共通の定数を取れる。
後半について、$V$ 上ではすべての導関数が零である。$x_0\in\Omega\cap\overline V$ へ $V$ 内の点を近づけると、各導関数の連続性から $\partial^\gamma u_j(x_0)=0$。これがすべての $\gamma,j$ に成り立つ。$\square$

極座標と指数の選択。 $S=S^{n-1}$ とし、$s=-\log r$、$k=(n-2)/2$ とおく。$t=\alpha+1$、$\beta=t-k$ として
$$ v(r,\theta)=e^{-\beta s}w(s,\theta) $$
と書く。$v$ の台は原点と球の外側から離れているので、$w$ は円柱 $\mathbb R\times S$ 上の滑らかなコンパクト台関数である。極座標での Laplace 作用素の公式（球面調和関数 の補題「極座標での Laplace 作用素」）により
$$ r^2\Delta v=e^{-\beta s}\bigl(w''-2tw'+(t^2-k^2)w+\Delta_Sw\bigr). $$
ここで prime は $s$ 微分である。体積要素は $r^n\,ds\,dS$ であり、$2\alpha+4-2\beta-n=0$ だから
$$ I:=\int r^{-2\alpha}|\Delta v|^2\,dx =\int_{\mathbb R\times S}\left|w''-2tw'+(t^2-k^2)w+\Delta_Sw\right|^2\,ds\,dS. $$
角度ごとの分解。 同記事の定理「球面調和関数は球面の Laplace 作用素の固有関数」と「球面調和関数による $L^2(S)$ の分解」により、次数 $l$ の固有値は $-l(l+n-2)$ で、各次数の正規直交基底をまとめると完全系になる。一つの基底成分の係数を $a(s)$ とし、$\nu_l=l+k$ とおくと、上の作用素はその成分に
$$ a''-2ta'+(t^2-\nu_l^2)a $$
として作用する。$a$ は滑らかなコンパクト台関数である。
$s$ についての Fourier 変換と Plancherel の等式を使うと、この成分の二乗ノルムは
$$ \int_{\mathbb R}\left((t^2-\nu_l^2-\xi^2)^2+4t^2\xi^2\right)|\widehat a(\xi)|^2\,d\xi. $$
括弧を展開すれば
$$ (t^2-\nu_l^2)^2+2(t^2+\nu_l^2)\xi^2+\xi^4 $$
である。ここで十分大きな整数 $j$ に対し $t_j=k+j+1/2$、$\alpha_j=t_j-1>0$ と選ぶ。すべての整数 $l\ge0$ について $|t_j-\nu_l|\ge1/2$ だから
$$ (t_j^2-\nu_l^2)^2\ge\frac14(t_j+\nu_l)^2\ge\frac14(t_j^2+\nu_l^2). $$
$t_j\ge1$ も満たすように始点を選べる。従って、成分ごとの二乗ノルムは
$$ \frac14\int\left(|a'|^2+(t_j^2+l(l+n-2))|a|^2\right)\,ds $$
以上である。固有値との間の半整数の隙間を選んだことが、$j$ によらない下界を与える。
全基底成分について足すと
$$ I\ge\frac14Q,\qquad Q:=\int_{\mathbb R\times S}\left(|w'|^2+t_j^2|w|^2+|\nabla_Sw|^2\right)\,ds\,dS. $$
この加算は Parseval の等式と非負項の和で正当化される。角度の勾配項については、球面の部分積分 $\int|\nabla_Sw|^2=\int(-\Delta_Sw)\overline w$ と、$w,\Delta_Sw$ 両方の $L^2$ 展開を使う。よって固有関数級数を点ごとに微分できると仮定する必要はない。
元の勾配エネルギーへ戻す。 直接計算で
$$ W:=\int r^{-2\alpha_j}(|\nabla v|^2+|v|^2)\,dx =\int e^{-2s}\left(|w'-\beta w|^2+|\nabla_Sw|^2\right)+e^{-4s}|w|^2\,ds\,dS. $$
台の上では $e^{-s}=r< h$。また $\beta=t_j-k$ なので $\beta^2\le2(1+k^2)t_j^2$ である。従って $|w'-\beta w|^2\le2|w'|^2+2\beta^2|w|^2$ と $h\le1$ から
$$ W\le C'_nh^2Q\le4C'_nh^2I. $$
これが求める評価である。$\square$

$\chi\in C^\infty(\mathbb R^n)$ を、$|x|\le1$ で $0$、$|x|\ge2$ で $1$、$0\le\chi\le1$ となるように選ぶ。$\chi_\varepsilon(x)=\chi(x/\varepsilon)$、$v_\varepsilon=\chi_\varepsilon v$ とすると、$v_\varepsilon$ は原点を避ける合法な試験関数である。各成分へ前の補題を適用し、有限和をとる。
指数 $\alpha=\alpha_j$ を一つ固定する。積の微分により
$$ \Delta v_\varepsilon=\chi_\varepsilon\Delta v +2\nabla\chi_\varepsilon\cdot\nabla v+(\Delta\chi_\varepsilon)v. $$
後ろの二つの項は $\varepsilon\le r\le2\varepsilon$ に台をもち、切り取りの導関数はそれぞれ $O(\varepsilon^{-1})$、$O(\varepsilon^{-2})$ である。平坦性の補題により $v$ と $\nabla v$ は、任意に大きな $N$ に対して $O(r^N)$ となる。この環状領域の体積は $O(\varepsilon^n)$ だから、誤差の重み付き $L^2$ ノルムの二乗は
$$ O\left(\varepsilon^{2N+n-4-2\alpha}\right) $$
で抑えられる。$N$ を指数が正になるほど大きく選べば、この量は $\varepsilon\downarrow0$ で零へ行く。
$v$、$\nabla v$、$\Delta v$ 自体も平坦なので、固定した $\alpha$ に対する重み付き積分は有限である。$v_\varepsilon-v$ とその勾配、$\chi_\varepsilon\Delta v-\Delta v$ も、同様の小球・環状領域の評価で重み付き $L^2$ において零へ収束する。従って前補題の不等式の両辺で極限を取り、$v$ の評価を得る。成分数は有限なので全成分に共通する $N$ を選べる。$\square$

平坦な点の近くで零にする。 平行移動により平坦な点を原点とする。その近傍の球で主定理の微分不等式が同じ $M$ によって成り立つ。$R>0$ を十分小さく選び、$B_{3R}(0)\subset\Omega$、$3R\le1$、さらに
$$ C_n(3R)^2M\le\frac12 $$
とする。$\psi\in C_c^\infty(B_{2R}(0))$ を $B_R(0)$ 上で $1$ となるように選び、$v=\psi u$ とおく。$v$ は原点で平坦であるから、lem-ucl-cutoff が使える。
内側の球で $\Delta v=\Delta u$ である。外側の環状領域 $R\le r<2R$ について
$$ E:=\int_{R\le r<2R}|\Delta(\psi u)|^2\,dx<\infty $$
とおく。この $E$ は切り取りと $u$ だけで決まり、重み指数には依存しない。$e(u)=|\nabla u|^2+|u|^2$、$I_j=\int_{r< R}r^{-2\alpha_j}e(u)\,dx$ と書けば、重み評価の左辺の内側だけを残し、外側では $r^{-2\alpha_j}\le R^{-2\alpha_j}$ を使って
$$ I_j\le C_n(3R)^2\left(MI_j+R^{-2\alpha_j}E\right) $$
となる。$I_j$ は既に有限と分かっているので、右辺の $I_j$ を左辺へ移して
$$ I_j\le2C_n(3R)^2R^{-2\alpha_j}E $$
を得る。これが下位項の吸収である。
任意の $0<\rho< R$ について、$r<\rho$ では $r^{-2\alpha_j}\ge\rho^{-2\alpha_j}$ だから
$$ \int_{r<\rho}e(u)\,dx \le2C_n(3R)^2E\left(\frac\rho R\right)^{2\alpha_j}. $$
$\rho/R<1$、$\alpha_j\to\infty$ より右辺は零へ行く。左辺は $j$ に依存しないので零である。特に $|u|^2$ の積分が零、かつ $u$ は連続なので $B_\rho(0)$ 上で点ごとに零となる。全 $\rho< R$ の和から $B_R(0)$ 上で零である。
連結領域全体へ伝える。
$$ Z:=\{x\in\Omega:u\text{ は }x\text{ のある近傍で恒等的に零}\} $$
とおく。最初の段から $Z\ne\emptyset$ で、定義により $Z$ は開である。$x\in\Omega\cap\overline Z$ なら、lem-ucl-flat により $u$ は $x$ で平坦である。その点の近傍の定数 $M$ と球を用いて最初の段を適用できるから、$u$ は $x$ の近くで零、すなわち $x\in Z$ である。従って $Z$ は $\Omega$ 内で閉でもある。$\Omega$ の連結性から $Z=\Omega$。
空でない開集合で零の場合には、その中の任意の点で平坦だから、同じ結論が従う。$\square$