正規複素空間上の正則関数の延長定理

同義語：extension theorem for holomorphic functions on normal complex spaces

概要

前提知識: 複素解析空間, 複素解析空間の特異点, 弱正則関数, 解析集合(複素解析), Hartogsの拡張定理

$\mathbb{C}^n$（$n\ge2$）では、余次元 $2$ 以上の解析集合を除いた所で正則な関数は、その集合を越えて正則に延びる。たとえば $\mathbb{C}^2\setminus\{0\}$ 上の正則関数は $\mathbb{C}^2$ 全体へ延びる（Hartogsの拡張定理）。この現象は特異点をもつ複素解析空間でも起こるが、空間が正規であることが必要になる。この記事の主定理は次のとおりである：$X$ を正規な複素空間、$Y\subset X$ を各点で余次元 $2$ 以上の解析的部分集合とすると、$X\setminus Y$ 上の正則関数は $X$ 全体の正則関数に一意に延びる。層の言葉では、包含 $j\colon X\setminus Y\to X$ について制限 $\mathcal{O}_X\to j_*\mathcal{O}_{X\setminus Y}$ が同型である。
Hartogsの拡張定理は $\mathbb{C}^n$ の開集合からコンパクト集合を除いた場合の延長で、除く集合の大きさではなく、補集合の連結性とコンパクト性を使う。この記事の定理は、除く集合の次元だけを条件とし、そのかわりに局所的な定理である。特異点をもつ空間では、正規でないと成り立たない。2 つの平面を 1 点で貼り合わせた空間では、その点を除いた空間の上で、一方の平面で $0$、他方で $1$ という関数が延びない。正規性は、この種の「枝分かれ」を禁じる条件である。

設定

複素空間（複素解析空間）$X$ の点 $x$ での次元 $\dim_xX$ は局所環 $\mathcal{O}_{X,x}$ の Krull 次元であり、$X$ の解析的部分集合 $Y$ の次元 $\dim_xY$ は、$Y$ に被約な構造を入れた空間の $x$ での次元とする（$x\notin Y$ なら $-\infty$）。$X$ が $x$ の近くで被約なら、$\dim_xX$ は $x$ の近くの正則点での多様体としての次元の最大値に等しい（複素解析空間の定理「次元の半連続性と特異点集合の解析性」の 3）。$X$ の正則点全体を $X_{\mathrm{reg}}$、特異点全体を $\operatorname{Sing}X$ と書く。
点 $x$ が 正規点 であるとは、$\mathcal{O}_{X,x}$ が被約で全商環の中で整閉であることをいい、すべての点が正規点のとき $X$ を正規という（複素解析空間の特異点の定義「正規点」）。正規点では次のことが成り立つ。

$\mathcal{O}_{X,x}$ は整閉整域である（複素解析空間の特異点の補題「正規な局所環は整閉整域」）。とくに $X$ の $x$ での芽は既約で、$X$ は $x$ の近くで純次元である（同じ記事の補題「既約な芽の近くでの純次元性」）。
$\dim_x\operatorname{Sing}X\le\dim_xX-2$ である（同じ記事の定理「正規点での特異点集合の余次元」）。
正則点は正規点である（正則点の局所環は収束冪級数環で、一意分解整域なので整閉）。
被約な空間 $X$ の上の正則関数は、各点での値で決まる連続関数である（複素解析空間の定義「複素解析空間と正則写像」の後の説明）。$X_{\mathrm{reg}}$ は $X$ で稠密な開集合で、複素多様体である（同じ記事の定理「次元の半連続性と特異点集合の解析性」の 2）。

余次元 2 以上の解析的部分集合

複素空間 $X$ の解析的部分集合 $Y$ が 各点で余次元 $2$ 以上 であるとは、すべての $x\in Y$ について $\dim_xY\le\dim_xX-2$ となることをいう。

このとき $Y$ は内部をもたない。$Y$ が $X$ の空でない開集合 $U$ を含めば、$x\in U$ の近くで $Y$ と $X$ は同じ集合で、被約な構造の次元は等しく、$\dim_xY\ge\dim_xX_{\mathrm{red}}=\dim_xX$ となるからである。

主定理

正規複素空間上の正則関数の延長定理

$X$ を正規な複素空間、$Y\subset X$ を各点で余次元 $2$ 以上の解析的部分集合とする。このとき、$X\setminus Y$ 上の任意の正則関数 $f$ に対し、$X$ 上の正則関数 $F$ で $X\setminus Y$ の上で $F=f$ となるものがただ 1 つ存在する。同じことが $X$ の任意の開集合 $W$ と $W\setminus Y$ についても成り立ち、制限 $\mathcal{O}_X\to j_*\mathcal{O}_{X\setminus Y}$（$j\colon X\setminus Y\to X$ は包含）は層の同型である。

証明の筋

証明は 3 段からなる。まず多様体の場合を示す（lem-nhe-manifold）。$X$ の正則点の集合は複素多様体なので、$f$ は $Y\cap X_{\mathrm{reg}}$ を越えて延びる。次に、$f$ が $Y$ の各点の近くで有界であることを、局所的な有限分岐被覆の上で $f$ の値の基本対称式を作って示す（lem-nhe-bounded）。最後に、正則点の集合の上で正則で特異点の近くで有界な関数（弱正則関数）は、正規点では正則関数であることを使う。

多様体の場合

まず部分多様体を除いた場合を、Hartogs の図形と同じ Cauchy 積分で示す。

余次元 2 以上の部分多様体を越える延長

$M$ を $N$ 次元の複素多様体、$Z\subset M$ を閉集合で、各点 $p\in Z$ の近くで余次元 $2$ 以上の複素部分多様体であるものとする。このとき $M\setminus Z$ 上の正則関数は $M$ 上の正則関数に一意に延びる。

$Z$ は各点の近くで真の解析集合なので内部をもたず、一意性は $M\setminus Z$ の稠密性と連続性による。そこで延長は局所的に作ればよく、局所的な延長は稠密な $M\setminus Z$ の上で $f$ と一致するので貼り合わさる。$p\in Z$ の近くに正則な座標 $w$ をとり、単位多重円板 $P$ の上で $Z\cap P=\{w_1=\dots=w_c=0\}$、$c\ge2$ とする。$0< r< 1$ とし、$P_r:=\{w\in P\mid|w_2|< r\}$ の上で
$$ F(w):=\frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta|=r}\frac{f(w_1,\zeta,w_3,\dots,w_N)}{\zeta-w_2}\,d\zeta $$
とおく。積分路の点は第 2 座標が $0$ でないので $Z$ に属さず、$F$ は $P_r$ の上で正則である（積分記号下の微分）。$w_1\ne0$ なら閉円板 $\{(w_1,\zeta,w_3,\dots)\mid|\zeta|\le r\}$ は $Z$ と交わらないので、1 変数の Cauchy の積分公式により $F(w)=f(w)$ である。$\{w_1\ne0\}\cap P_r$ は $P_r\setminus Z$ の空でない開集合で、$P_r\setminus Z$ は連結（解析集合(複素解析) の定理「真の解析集合は疎で補集合は連結」）なので、一致の定理により $P_r\setminus Z$ の上で $F=f$ である。$\square$

余次元 2 以上の解析集合を越える延長

$M$ を $N$ 次元の複素多様体、$A\subset M$ を解析集合で、すべての $x\in A$ について $\dim_xA\le N-2$ となるものとする。このとき $M\setminus A$ 上の正則関数は $M$ 上の正則関数に一意に延びる。

要点：特異点集合を除くと $A$ は余次元 $2$ 以上の部分多様体になるので lem-nhe-submanifold が使え、特異点集合は次元が下がるので次元についての帰納法で終わる。

証明を開く

一意性は $A$ が内部をもたないことによる。$m\ge-1$ について「すべての点で $\dim_xA\le\min(m,N-2)$ なら延びる」を $m$ についての帰納法で示す。$m=-1$ なら $A=\emptyset$ である。$B:=\operatorname{Sing}A$（$A$ に被約な構造を入れた空間の特異点集合）は $A$ の解析的部分集合で $A$ の中で内部をもたない（複素解析空間の特異点の定理「特異点集合の解析性」）。$x\in B$ での $A$ の芽の既約分解を $(A_1,x)\cup\dots\cup(A_s,x)$ とすると、$x$ のどの近傍にも、$A_l$ に属しほかの $A_k$ に属さない点があり、その点の近くでは $A=A_l$ である。$B$ は $A$ の中で内部をもたないので、$B$ は $(A_l,x)$ を含まない。既約な芽に真に含まれる芽は次元が小さいので（Dem12 Proposition (4.26)、p. 98。そこでの次元は正則点での多様体の次元で、上の $\dim_x$ と一致する）、$\dim_xB=\max_l\dim_x(B\cap A_l)< \dim_xA$ である。よって $B$ は帰納法の仮定を満たす。$M':=M\setminus B$ では $A\setminus B$ は $A$ の正則点だけからなり、正則点の近くで $A$ は次元 $\dim_yA\le N-2$ の部分多様体である（複素解析空間の特異点の定理「正則点の特徴づけ」と陰関数定理）。lem-nhe-submanifold により $f$ は $M'$ の上の正則関数に延び、帰納法の仮定によりそれは $M$ の上の正則関数に延びる。$\square$

有界性

次の補題は Dem12 Proposition (6.1)（pp. 105–106）と同じ主張と筋である。使う局所表示を先に述べる。

有限分岐被覆による局所表示

$A$ を $\mathbb{C}^n$ の原点の近くの解析集合で、原点での消滅イデアルが素イデアルであるものとし、$d$ をその次元とする。座標を線形に取り替え、$z=(z',z'')$、$z'\in\mathbb{C}^d$ と分けると、原点を中心とする十分小さい多重円板 $\Delta'\subset\mathbb{C}^d$、$\Delta''\subset\mathbb{C}^{n-d}$ と、$\Delta'$ の上で恒等的に $0$ でない正則関数 $\delta$ と整数 $q\ge1$ があって、$P:=\Delta'\times\Delta''$、$\Sigma:=\{\delta=0\}$ について次が成り立つ（Dem12 Theorem (4.19)（局所パラメータ表示定理）とその証明、pp. 95–96）。射影 $\pi\colon A\cap P\to\Delta'$ は固有で、$A_\Sigma:=A\cap P\cap\pi^{-1}(\Delta'\setminus\Sigma)$ は $A\cap P$ で稠密な $d$ 次元の複素多様体であり、$\pi\colon A_\Sigma\to\Delta'\setminus\Sigma$ は $q$ 枚の被覆で、$A_\Sigma$ の各点の近くで $A$ は正則写像のグラフ $z''=G(z')$ である。この記事ではこれを証明しない。

余次元 2 以上の集合の近くでの有界性

$X$ を被約な複素空間、$a\in X$ を、$X$ の $a$ での芽が既約で $X$ が $a$ の近くで純 $d$ 次元であるような点とする。$Y$ を $X$ の解析的部分集合で、$a$ の近くのすべての点 $y\in Y$ で $\dim_yY\le d-2$ となるものとし、$f$ を $X\setminus Y$ 上の正則関数とする。このとき $a$ の近傍 $V$ があって、$f$ は $V\setminus Y$ の上で有界である。

値の基本対称式を底へ延ばす

$a\notin Y$ なら $f$ は $a$ の近くで連続なので明らかである。$a\in Y$ とする。$a$ のまわりの局所模型をとり、$X$ を $\mathbb{C}^n$ の原点の近くの解析集合 $A$ とみる。$X$ は被約なので $\mathcal{O}_{X,a}=\mathcal{O}_{\mathbb{C}^n,0}/I_0(A)$ であり（複素解析空間の特異点の定理「特異点集合の解析性」の証明の「被約な空間の局所表示」）、芽が既約なので $I_0(A)$ は素イデアルである。rem-nhe-parametrization の $\Delta'$、$\Delta''$、$P$、$\Sigma$、$\pi$、$q$ をとる（$Y$ の条件が $A\cap P$ の上で成り立つように小さくとる）。
1. $Y$ の影。 $T:=\pi(Y\cap P)$ とおく。$\pi$ の $Y\cap P$ への制限は固有なので、Remmert の固有写像定理により $T$ は $\Delta'$ の解析集合で（Dem12 Theorem (8.8)、p. 118）、全射な正則写像 $Y\cap P\to T$ の像の次元は源の次元を超えないので（Dem12 Corollary (8.6)、p. 118）、$T$ の各点での次元は $d-2$ 以下である。
2. 値の基本対称式。 $z\in\Delta'\setminus(\Sigma\cup T)$ について、ファイバー $\pi^{-1}(z)$ は $q$ 点 $x_1,\dots,x_q$ からなり、$z\notin T$ なのでどれも $Y$ に属さない。$z$ の近くでは $\pi$ の局所的な逆写像 $s_1,\dots,s_q$（$x_i$ を通るグラフの葉）は正則なので、
$$ \sigma_k(z):=e_k\bigl(f(s_1(z)),\dots,f(s_q(z))\bigr)\qquad(k=1,\dots,q) $$
（$e_k$ は $k$ 次の基本対称式）は番号の付け方によらず、$\Delta'\setminus(\Sigma\cup T)$ の上の正則関数である。
3. $\Sigma$ を越える。 $z_0\in\Sigma\setminus T$ とする。ファイバー $\pi^{-1}(z_0)$ は有限集合で $Y$ と交わらないので、$f$ はその近傍 $G\subset A\cap P$ の上で正則かつ有界で、$|f|\le C$ とする。$\pi$ は固有なので閉写像で、$\pi((A\cap P)\setminus G)$ は $z_0$ を含まない閉集合である。よって $z_0$ の近傍 $N$ で $\pi^{-1}(N)\subset G$ となるものがあり、$N\setminus\Sigma$ の上で $|\sigma_k|\le\binom qkC^k$ である。$\Sigma\setminus T$ は開集合 $\Delta'\setminus T$ の内部をもたない解析集合なので、解析集合(複素解析) の系「解析集合を越える延長」により、$\sigma_k$ は $\Delta'\setminus T$ の上の正則関数に延びる。
4. $T$ を越える。 $T$ は $d$ 次元の $\Delta'$ の中で各点の次元が $d-2$ 以下なので、lem-nhe-manifold により $\sigma_k$ は $\Delta'$ 上の正則関数 $\tau_k$ に延びる。
5. モニックな方程式。 $x\in A\cap P$、$\pi(x)\notin\Sigma\cup T$ なら、$f(x)$ はファイバーの値の 1 つなので
$$ f(x)^q-\tau_1(\pi(x))f(x)^{q-1}+\dots+(-1)^q\tau_q(\pi(x))=0 $$
である。$A_\Sigma$ は $A\cap P$ で稠密で、$\pi\colon A_\Sigma\to\Delta'\setminus\Sigma$ は局所同相、$T$ は内部をもたないので、このような $x$ は $(A\cap P)\setminus Y$ で稠密であり、連続性により方程式は $(A\cap P)\setminus Y$ の全体で成り立つ。複素数 $w$ が $w^q+c_1w^{q-1}+\dots+c_q=0$ を満たせば $|w|\le2\max_k|c_k|^{1/k}$ である（そうでなければ $-1=\sum_kc_kw^{-k}$ の右辺の絶対値は $\sum_k2^{-k}< 1$ になる）。$\tau_k$ は $0$ のコンパクトな近傍の上で有界なので、$f$ は $a$ の近傍 $V$ から $Y$ を除いた所で有界である。$\square$

$n\ge2$ の Hartogsの拡張定理と違い、この補題は関数を延ばすのではなく、有界性だけを示す。$X$ の特異点の上では、有界性から先は正規性が担う。

主定理の証明

次の箱が thm-nhe-main の証明である。

正則点で延ばし、有界性と正規性で特異点を越える

一意性。 $Y$ は内部をもたないので（def-nhe-codim の後）、$X\setminus Y$ は $X$ で稠密である。$X$ は被約なので正則関数は値で決まる連続関数であり、延長は一意である。同じ理由で、各点の近くで作った延長は重なりで一致して貼り合わさる。よって存在は各点 $a\in Y$ の近くで示せばよい。開集合 $W$ についての主張は、$W$ を正規な複素空間、$Y\cap W$ をその解析的部分集合とみて同じ主張を使えばよく、層の同型はその言い換えである。
1. 正則点の上での延長。 $a\in Y$ を固定する。$a$ は正規点なので、$X$ の $a$ での芽は既約で、$a$ の開近傍 $U$ の上で $X$ は純 $d$ 次元である。$U_{\mathrm{reg}}:=U\cap X_{\mathrm{reg}}$ は $d$ 次元の複素多様体で、$Y\cap U_{\mathrm{reg}}$ はその解析集合で各点の次元が $d-2$ 以下である。lem-nhe-manifold により、$f$ の $U_{\mathrm{reg}}\setminus Y$ への制限は $U_{\mathrm{reg}}$ 上の正則関数 $g$ に延びる。$g$ と $f$ は $U_{\mathrm{reg}}\setminus Y$ で一致する。
2. 有界性。 lem-nhe-bounded により、$a$ の開近傍 $V\subset U$ で $f$ が $V\setminus Y$ の上で有界なものがある。$V_{\mathrm{reg}}\setminus Y$ は $V_{\mathrm{reg}}$ で稠密なので、$g$ も $V_{\mathrm{reg}}$ の上で同じ定数で押さえられる。
3. 正規性。 2 により、$g|_{V_{\mathrm{reg}}}$ は $V$ の弱正則関数である（正則点の集合の上で正則で、特異点の近くで有界）。$a$ の芽は既約なので、弱正則関数の定理「既約被約芽での比較」により、その芽は $\mathcal{O}_{X,a}$ の全商環（商体）の中での整閉包の元に対応する（$g$ を有理型の表示 $u/h$ で書いたときの商体の元である）。$a$ は正規点なので整閉包は $\mathcal{O}_{X,a}$ 自身であり、$a$ の開近傍 $V'\subset V$ と $F\in\mathcal{O}_X(V')$ で、$V'_{\mathrm{reg}}$ の上で $F=g$ となるものがある。
4. 一致。 $F$ と $f$ はどちらも $V'\setminus Y$ の上で連続で、稠密な部分集合 $V'_{\mathrm{reg}}\setminus Y$ の上で一致するので（$X_{\mathrm{reg}}$ は $X$ で稠密な開集合）、$V'\setminus Y$ の全体で $F=f$ である。こうして $f$ は $a$ の近くで正則に延びる。$\square$

証明は Dem12 Corollary (7.8)（p. 113）と同じ筋である。そこでは、特異点集合が余次元 $2$ 以上であること（複素解析空間の特異点の定理「正規点での特異点集合の余次元」）を使い、$Y$ のかわりに $Y\cap X_{\mathrm{reg}}$ と $\operatorname{Sing}X$ に分けて有界性を示している。上の証明は lem-nhe-bounded を $Y$ に直接使った。

例

多様体と、余次元 2 の集合

$X=\mathbb{C}^n$、$Y=\{z_1=z_2=0\}$（$n\ge2$）とする。$\mathbb{C}^n$ はすべての点で正則なので正規で、$\dim Y=n-2$ である。$\mathbb{C}^n\setminus Y$ 上の正則関数はすべて $\mathbb{C}^n$ へ延びる。$n=2$ では $Y=\{0\}$ で、Hartogsの拡張定理の系「1 点を除いた開集合からの延長」と同じ結論である。
$X$ が正規で $\dim_xX\le1$ なら、$x$ は正則点であり（複素解析空間の特異点の系「1 次元以下の正規点」）、$\dim_xY\le-1$ なので $Y$ は $x$ の近くで空である。主定理が意味をもつのは 2 次元以上である。
正規な空間 $X$ では $\operatorname{Sing}X$ 自身が各点で余次元 $2$ 以上なので、$X_{\mathrm{reg}}$ 上の正則関数はすべて $X$ 上の正則関数に延びる。正規な空間の正則関数は、正則点の集合の上の正則関数と同じものである。

反例：仮定を外した場合

外す条件	反例	成り立たなくなること
$Y$ が各点で余次元 $2$ 以上	$X=\mathbb{C}^2$、$Y=\{z_1=0\}$、$f=1/z_1$	$X$ 上の正則関数への延長がない
$X$ が正規	$X=\{z_3=z_4=0\}\cup\{z_1=z_2=0\}\subset\mathbb{C}^4$、$Y=\{0\}$、$f$ は第 1 の平面で $0$、第 2 の平面で $1$	連続な延長もない

反例の確かめ

1 行目：$\mathbb{C}^2$ は正規で、$\dim Y=1>0$ である。延長 $F$ があれば $F$ は原点の近くで有界だが、$|1/z_1|\to\infty$（$z_1\to0$）である。2 行目：$X$ は 2 つの複素平面の和で、それらは原点だけで交わる。$X$ は被約な解析集合で、どの点でも次元は $2$、$\dim_0Y=0\le2-2$ である。$X\setminus Y$ は 2 つの平面から原点を除いたものの交わらない和で、それぞれ $X\setminus Y$ の開集合なので、$f$ は正則である。原点に第 1 の平面から近づくと $f\to0$、第 2 の平面から近づくと $f\to1$ なので、連続な延長はない。原点で $X$ の芽は 2 つの既約な芽の和で既約でないので、$\mathcal{O}_{X,0}$ は整域でなく、原点は正規点でない（複素解析空間の特異点の補題「正規な局所環は整閉整域」）。

1 行目は 1 変数でも同じで、$X=\mathbb{C}$、$Y=\{0\}$（余次元 $1$）では $e^{1/z}$ のように、有界でないどころか原点で有理型でもない関数がある。余次元 $1$ の集合を越えるには、有界性を仮定する必要がある（多様体では解析集合(複素解析) の系「解析集合を越える延長」）。

補足

代数的な類似

Noether 正規整域 $A$ は、商体の中で高さ $1$ の素イデアルでの局所化の共通部分 $\bigcap_{\operatorname{ht}\mathfrak{p}=1}A_{\mathfrak{p}}$ に等しい（Weil因子で使う代数的 Hartogs の定理）。正規な代数多様体では、これにより余次元 $2$ 以上の閉集合の外の正則関数が全体へ延びる。主定理はその解析版で、正規な複素空間の局所環 $\mathcal{O}_{X,x}$ が整閉整域であることを、局所的な有限分岐被覆と有界性を通して使っている。$\mathcal{O}_{X,x}$ の高さ $1$ の素イデアルは、$x$ を通る余次元 $1$ の既約な芽に対応し、$Y$ が余次元 $2$ 以上であることは、$Y$ がそのどれも含まないことを意味する。