岩澤の単純性判定法
概要
岩澤の単純性判定法（Iwasawa's simplicity criterion）とは、群 $G$ が集合に原始的に作用し、ある点の安定化群の可換な正規部分群 $A$ の共役全体が $G$ を生成するとき、$G$ の正規部分群は作用の核 $K$ に含まれるか交換子部分群 $[G,G]$ を含む、という定理である。とくに $G$ が完全群なら $G/K$ は単純群になる。2 重推移的な作用は原始的なので、射影特殊線形群などの古典群や 5 次の交代群の単純性の証明に使われる。
岩澤の単純性判定法（Iwasawa's simplicity criterion）とは、群 $G$ が集合 $X$ に原始的に作用し、ある点 $x$ の安定化群 $G_x$ が可換な正規部分群 $A$ をもち、その共役 $gAg^{-1}$（$g\in G$）全体が $G$ を生成するとき、$G$ の正規部分群は作用の核に含まれるか交換子部分群 $[G,G]$ を含むかのどちらかである、という定理である。とくに $G$ が完全群（$G=[G,G]$）なら、$G$ を作用の核で割った群は単純群になる。
この判定法は、岩澤健吉の 1941 年の論文「Über die Einfachheit der speziellen projektiven Gruppen」（射影特殊線形群の単純性について）に由来し（Tay92 p. 3 と文献表 p. 216）、シンプレクティック群・ユニタリ群・直交群の射影版など、古典群の単純性の証明の標準的な道具になっている（古典群）。仮定はどれも「群が集合をどう動かすか」と「1 点を止める部分群の中の小さな可換群」についてのもので、群全体の正規部分群を直接調べる必要がない。
| 結果 | 内容 | 仮定 |
|---|---|---|
| lem-iw-2transitive | 2 重推移的なら原始的 | $\lvert X\rvert\ge2$ |
| lem-iw-maximal | 原始的 $\iff$ 安定化群が極大部分群 | 推移的、$\lvert X\rvert\ge2$ |
| lem-iw-normal | 原始的な群の正規部分群は核に入るか推移的 | 原始的 |
| thm-iw-main | 正規部分群は核に入るか $[G,G]$ を含む。完全群なら $G/K$ は単純 | 原始的、可換な正規部分群の共役が $G$ を生成 |
定義
群 $G$ の集合 $X\ne\emptyset$ への（左）作用を $(g,x)\mapsto g\cdot x$ と書き、$x$ の安定化群を $G_x:=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}$ とする（群の作用）。
群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとする。
- $K:=\bigcap_{x\in X}G_x$ を作用の 核 という。$K$ は $G$ の正規部分群である。$K=\{1\}$ のとき作用は 忠実 であるという。
- 作用が 推移的 であるとは、任意の $x,y\in X$ に対し $g\cdot x=y$ となる $g\in G$ があることをいう。$\lvert X\rvert\ge2$ で、相異なる 2 点の任意の組 $(x_1,x_2)$、$(y_1,y_2)$ に対し $g\cdot x_1=y_1$ かつ $g\cdot x_2=y_2$ となる $g$ があるとき、2 重推移的 という。
- $X$ 上の同値関係 $\sim$ が $G$ 不変 であるとは、$y\sim z$ なら任意の $g$ について $g\cdot y\sim g\cdot z$ となることをいう。対角集合（等号）と $X\times X$（全部を同値とする関係）は $G$ 不変である。
- $\lvert X\rvert\ge2$ で、作用が推移的であり、$G$ 不変な同値関係が等号と $X\times X$ だけのとき、作用は 原始的 であるという。
$K$ が正規なのは、軌道・安定化群定理 の命題「同じ軌道の点の安定化群」により $gG_xg^{-1}=G_{g\cdot x}$ で、$gKg^{-1}=\bigcap_xG_{g\cdot x}=K$ となるからである。$G$ 不変な同値関係の同値類は、$G$ の元で互いに写り合う「かたまり」であり、原始的とは、点の集合を自明でない形のかたまりに分けて $G$ がかたまりごと動く、ということが起こらないことである。
$G$ の $X$ への作用が 2 重推移的なら、原始的である。
推移性：$x\ne y$ なら、$z\ne x$ を 1 つとり（$\lvert X\rvert\ge2$）、組 $(x,z)$ を $(y,w)$（$w\ne y$）に写す元をとればよい。$\sim$ を $G$ 不変な同値関係で等号でないものとし、$x\sim y$、$x\ne y$ とする。$z\ne x$ を任意にとると、2 重推移性から $g\cdot x=x$、$g\cdot y=z$ となる $g$ があり、$G$ 不変性から $x=g\cdot x\sim g\cdot y=z$ である。よってすべての点が $x$ と同値で、$\sim$ は $X\times X$ である。$\square$
$G$ の $X$ への作用が推移的で $\lvert X\rvert\ge2$ とし、$x\in X$ とする。作用が原始的であるための必要十分条件は、$G_x$ が $G$ の極大部分群であること、すなわち $G_x\ne G$ で、$G_x\subseteq H\subseteq G$ を満たす部分群 $H$ が $G_x$ と $G$ に限ることである。
推移的で $\lvert X\rvert\ge2$ なので、$x$ を動かす元があり $G_x\ne G$ である。
原始的とし、$G_x\subseteq H\subseteq G$ とする。$B:=H\cdot x$ とおき、$y\sim z$ を「ある $g$ で $y,z\in g\cdot B$」と定める。$g\cdot B\cap g'\cdot B\ne\emptyset$ なら $gh\cdot x=g'h'\cdot x$（$h,h'\in H$）なので $h'^{-1}g'^{-1}gh\in G_x\subseteq H$、すなわち $g'^{-1}g\in H$ であり、$g\cdot B=g'\cdot(g'^{-1}g)\cdot B=g'\cdot B$ である。よって $\{g\cdot B\}$ は $X$ の分割で（推移性からどの点もどれかに入る）、$\sim$ は $G$ 不変な同値関係である。等号なら $B=\{x\}$ で、$h\in H$ は $x$ を動かさないので $H=G_x$ である。$X\times X$ なら $B=X$ で、$g\in G$ について $g\cdot x=h\cdot x$ となる $h\in H$ があり、$h^{-1}g\in G_x\subseteq H$ から $g\in H$、すなわち $H=G$ である。
逆に $G_x$ が極大とし、$\sim$ を $G$ 不変な同値関係とする。$H:=\{g\in G\mid g\cdot x\sim x\}$ は部分群である（$g,h\in H$ なら $gh\cdot x\sim g\cdot x\sim x$、また $g\cdot x\sim x$ に $g^{-1}$ を施して $x\sim g^{-1}\cdot x$）。$G_x\subseteq H$ である。推移性から $x$ の同値類は $H\cdot x$ に等しい。$H=G_x$ なら $x$ の同値類は $\{x\}$ で、$G$ 不変性と推移性からどの同値類も 1 点、すなわち $\sim$ は等号である。$H=G$ なら同値類は $X$ 全体である。$\square$
$G$ の $X$ への作用が原始的で、核を $K$ とする。$G$ の正規部分群 $N$ は、$N\subseteq K$ を満たすか、$X$ に推移的に作用するかのどちらかである。後者のとき、任意の $x\in X$ について $G=NG_x$ である。
$y\sim z$ を「$z\in N\cdot y$」と定めると、$N$ が部分群なので同値関係であり、$z=n\cdot y$ なら $g\cdot z=(gng^{-1})\cdot(g\cdot y)$ で $gng^{-1}\in N$ なので $G$ 不変である。原始性から、これは等号か $X\times X$ である。等号なら $N$ の元はすべての点を動かさず $N\subseteq K$ であり、$X\times X$ なら $N$ は推移的である。後者のとき、$g\in G$ について $g\cdot x=n\cdot x$ となる $n\in N$ があり、$n^{-1}g\in G_x$ なので $g\in NG_x$ である。$\square$
主定理
群 $G$ が集合 $X$ に原始的に作用し、その核を $K$ とする。ある $x\in X$ について、$G_x$ の可換な正規部分群 $A$ で、その共役 $gAg^{-1}$（$g\in G$）全体が $G$ を生成するものがあるとする。このとき
- $G$ の正規部分群 $N$ は、$N\subseteq K$ か $[G,G]\subseteq N$ のどちらかを満たす。
- さらに $G=[G,G]$ なら、$G/K$ は単純群である。
1：$N\not\subseteq K$ とする。lem-iw-normal により $G=NG_x$ である。$NA$ は部分群である（$N$ は正規）。$g\in G$ を $g=nh$（$n\in N$、$h\in G_x$）と書くと、$A$ は $G_x$ の正規部分群なので
$$
gAg^{-1}=n\,(hAh^{-1})\,n^{-1}=nAn^{-1}
$$
であり、$a\in A$ について $nan^{-1}=(nan^{-1}a^{-1})\,a$ で $nan^{-1}a^{-1}=n\,(an^{-1}a^{-1})\in N$ なので、$gAg^{-1}\subseteq NA$ である。共役 $gAg^{-1}$ 全体は $G$ を生成するので $G=NA$ である。準同型定理 の定理「第2同型定理」により
$$
G/N=NA/N\cong A/(A\cap N)
$$
であり、$A$ は可換なので $G/N$ は可換群である。剰余群が可換になる正規部分群は交換子部分群を含むので（交換子部分群 の命題「アーベル商と交換子部分群」）、$[G,G]\subseteq N$ である。
2：$G/K$ の正規部分群は、$K$ を含む $G$ の正規部分群 $N$ により $N/K$ と書ける。1 により $N=K$ か $N\supseteq[G,G]=G$ なので、$G/K$ の正規部分群は自明群と全体だけである。また推移的で $\lvert X\rvert\ge2$ なので $K\subseteq G_x\ne G$ であり、$G/K$ は自明群でない。よって $G/K$ は単純群である。$\square$
証明の要点は、可換な $A$ と、$N$ による「ずらし」で群全体が $G=NA$ と書けてしまうことである。$N$ が少しでも点を動かすと、原始性が $N$ を推移的にし、$N$ と $A$ だけで群全体に届く。その結果、$N$ で割った商は可換群 $A$ の商になり、交換子がすべて $N$ に落ちる。
群 $G$ が $2$ 点以上の集合 $X$ に 2 重推移的に作用し、ある点の安定化群 $G_x$ の可換な正規部分群の共役全体が $G$ を生成し、$G=[G,G]$ なら、$G$ を作用の核で割った群は単純群である。
lem-iw-2transitive により作用は原始的なので、thm-iw-main の 2 を当てはめればよい。$\square$
例
5 次の交代群 $A_5$ を $X=\{1,2,3,4,5\}$ に自然に作用させる。cor-iw-2transitive の仮定を確かめ、$A_5$ が単純群であることを示す。
2 重推移性．相異なる組 $(a,b)$、$(c,d)$ に対し、$\sigma(a)=c$、$\sigma(b)=d$ となる置換 $\sigma\in S_5$ がある。$\sigma$ が奇置換なら、$c,d$ 以外の 2 点 $e,f$ の互換を掛けた $(e\,f)\sigma$ は偶置換で、やはり $a\mapsto c$、$b\mapsto d$ を満たす。作用は忠実なので核は自明である。
可換な正規部分群．$5$ の安定化群は $\{1,2,3,4\}$ の偶置換の群 $A_4$ である。$V:=\{e,(1\,2)(3\,4),(1\,3)(2\,4),(1\,4)(2\,3)\}$ は可換な部分群で、$\{1,2,3,4\}$ の置換による共役は 2 つの互換の積を 2 つの互換の積に写すので、$V$ は $A_4$ の正規部分群である。
共役による生成．どの $(a\,b)(c\,d)$ も、$1,2,3,4\mapsto a,b,c,d$ となる置換による $(1\,2)(3\,4)$ の共役であり、その置換が奇置換なら $(1\,2)$ を右から掛けて偶置換に直せる（$(1\,2)(3\,4)$ は $(1\,2)$ による共役で変わらない）。よって $V$ の共役全体はすべての $(a\,b)(c\,d)$ を含む。相異なる $a,b,c$ と残りの 2 点 $d,e$ について
$$
(d\,e)(a\,b)\cdot(d\,e)(a\,c)=(a\,b)(a\,c)=(a\,c\,b)
$$
（右の置換から先に施す）なので、それらはすべての 3 サイクルを生成し、3 サイクルは $A_5$ を生成する（交代群 の定理「3 サイクルによる生成」）。
完全群．$x=(a\,b)(d\,e)$、$y=(a\,c)(d\,e)$ はどちらも位数 $2$ なので $[x,y]=xyxy=(xy)^2=(a\,c\,b)^2=(a\,b\,c)$ であり、どの 3 サイクルも交換子である。よって $[A_5,A_5]=A_5$ である。
以上と cor-iw-2transitive から、$A_5$ は単純群である。$n\ge6$ では、点の安定化群 $A_{n-1}$ は単純群なので自明でない可換な正規部分群をもたず、同じ作用には判定法を使えない（$A_n$ の単純性は 交代群 で扱う）。
$k$ を元が $3$ 個以上の体とし、$G:=\{x\mapsto ax+b\mid a\in k^\times,\ b\in k\}$ を $k$ に作用させる。$t_b(x):=x+b$、$m_a(x):=ax$ と書き、平行移動の群を $T:=\{t_b\}$ とする。
- 2 重推移性：$x_1\ne x_2$、$y_1\ne y_2$ について、$a:=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$、$b:=y_1-ax_1$ とすれば $ax_i+b=y_i$ である。作用は忠実である。
- $G_0=\{m_a\}$ は $k^\times$ と同型な可換群で、$A:=G_0$ とおく。
- $t_bm_at_b^{-1}$ は $x\mapsto a(x-b)+b$ なので、$m_a^{-1}\,t_bm_at_b^{-1}=t_{b(a^{-1}-1)}$ である。$a\ne1$ をとり $b$ を動かすと、$A$ の共役はすべての平行移動を生成し、$G=TA$ も生成する。
- $m_at_bm_a^{-1}t_b^{-1}=t_{ab}t_{-b}=t_{(a-1)b}$ なので $T\subseteq[G,G]$ である。$G\to k^\times$、$(x\mapsto ax+b)\mapsto a$ は核 $T$ の準同型なので $[G,G]\subseteq T$、すなわち $[G,G]=T$ である。
thm-iw-main の 1 により、$G$ の正規部分群は $\{1\}$ か、$T$ を含むものに限る。$G$ は完全群でなく（$T\ne G$）、$T$ は自明でない真の正規部分群なので $G$ は単純群でない。$k=\mathbb{F}_3$ のとき $G$ は 3 次の対称群 $S_3$ と同型である。
古典群への応用
古典群 の定理「射影特殊線形群の単純性」は、$G=\mathrm{SL}_n(k)$ を射影空間 $\mathbb{P}^{n-1}(k)$（$k^n$ の 1 次元部分空間の集合）に作用させて cor-iw-2transitive を当てはめる。各仮定は次のように確かめられる（証明はその記事にある）。
| 仮定 | $\mathrm{SL}_n(k)$ の $\mathbb{P}^{n-1}(k)$ への作用での中身 |
|---|---|
| 2 重推移的 | 相異なる 2 直線の組は、行列式 $1$ の行列で相異なる 2 直線の組に写せる |
| 核 | スカラー行列の群、すなわち中心で、$G/K=\mathrm{PSL}_n(k)$ |
| 可換な正規部分群 | 直線 $\langle e_1\rangle$ の安定化群の中の、超平面 $\langle e_2,\dots,e_n\rangle$ の各点を $e_1$ の向きにずらす移換 $v\mapsto v+(c^{\mathsf T}v)e_1$（$c_1=0$）の群（$k^{n-1}$ と同型） |
| 共役による生成 | 移換の共役はすべての基本行列 $I+cE_{ij}$ を含み、それらが $\mathrm{SL}_n(k)$ を生成する |
| 完全群 | $n\ge3$ または $k$ の元が $4$ 個以上なら $\mathrm{SL}_n(k)=[\mathrm{SL}_n(k),\mathrm{SL}_n(k)]$ |
こうして $(n,\lvert k\rvert)\ne(2,2),(2,3)$ なら $\mathrm{PSL}_n(k)$ は単純群である（Tay92 Theorem 4.5、p. 23）。シンプレクティック群・ユニタリ群・直交群の射影版の単純性も、等方的な点への作用と、移換やそれに代わる変換のなす可換な部分群に判定法を当てはめて示される（Tay92 Theorem 8.8（p. 74）、Theorem 10.23（p. 130）、Theorem 11.48（p. 162））。
反例
thm-iw-main の 2（$G/K$ が単純）の仮定を 1 つずつ外す。
| 外す仮定 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $G=[G,G]$ | ex-iw-affine の $G$（$\lvert k\rvert\ge3$） | $G/K$ が単純 |
| $A$ が可換 | $\mathbb{F}_4^2\rtimes\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_4)$ の $\mathbb{F}_4^2$ への作用、$A=G_0$ | $G/K$ が単純 |
| 作用が原始的 | $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_5)$ の $\mathbb{F}_5^2\setminus\{0\}$ への作用、$A=G_{e_1}$ | $G/K$ が単純 |
| 共役 $gAg^{-1}$ が $G$ を生成 | $A_5\times A_5$ の $A_5$ への作用 $(g,h)\cdot x=gxh^{-1}$、$A=\{1\}$ | $G/K$ が単純 |
1 行目：ex-iw-affine で、原始性（2 重推移性）、$A$ の可換性、共役による生成を確かめた。$K=\{1\}$ で、$T$ が真の正規部分群なので $G$ は単純でない。
2 行目：$V=\mathbb{F}_4^2$、$G=\{x\mapsto gx+v\mid g\in\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_4),\ v\in V\}$ とする。$\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_4)$ は $0$ でないベクトル全体に推移的である（$v\ne0$ は行列式 $1$ の基底 $v,w$ に延ばせる）。平行移動で $x$ と $x'$ を $0$ に移してから $y-x$ を $y'-x'$ に写せば、相異なる 2 点の組を任意の組に写せるので、$G$ は 2 重推移的かつ忠実で、$G_0=\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_4)$ は可換でない。平行移動 $t_v$ と $g\in G_0$ について $gt_vg^{-1}t_v^{-1}=t_{gv-v}$ であり、$g=\mathrm{diag}(a,a^{-1})$（$a\ne0,1$）で $gv-v=((a-1)v_1,(a^{-1}-1)v_2)$ は $V$ のすべての元をとるので平行移動はすべて交換子で、$G_0$ も完全群（特殊線形群 の定理「交換子部分群の決定」）なので $G=[G,G]$ である。$t_vgt_v^{-1}g^{-1}=t_{v-gv}$ により $A=G_0$ の共役は $G$ を生成する。平行移動の群は位数 $16$ の正規部分群なので $G$ は単純でない。
3 行目：$\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_5)$ は $0$ でないベクトル $24$ 個に推移的に作用する。$g\cdot(-v)=-(g\cdot v)$ なので、$v\sim\pm v$ は 2 元ずつの類をもつ $G$ 不変な同値関係であり、作用は原始的でない。$G_{e_1}$ は第 1 列が $e_1$ の行列式 $1$ の行列 $\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}$ の全体で可換である。$w=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ による共役は上三角の基本行列を下三角の基本行列に写し、両者は $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_5)$ を生成する（基本変形 の系「体と整数環の場合」）。$\mathbb{F}_5$ の元は $5$ 個なので $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_5)$ は完全群である（特殊線形群 の定理「交換子部分群の決定」）。すべての $0$ でないベクトルを止める行列は $I$ だけで $K=\{1\}$ だが、中心 $\{\pm I\}$ が真の正規部分群なので $G/K$ は単純でない。
4 行目：$1$ の安定化群は対角 $\Delta=\{(g,g)\}$ で、作用は推移的である。$\Delta$ は極大部分群である。実際 $H\supsetneq\Delta$ なら $(a,b)\in H\setminus\Delta$ について $(ab^{-1},1)\in H$ は単位元でなく、$H\cap(A_5\times\{1\})$ は $\Delta$ による共役（第 1 成分の共役）で閉じた自明でない部分群、すなわち $A_5$ の自明でない正規部分群にあたるので、ex-iw-a5 により $A_5\times\{1\}$ 全体であり、$H\supseteq(A_5\times\{1\})\Delta=G$ である。lem-iw-maximal により作用は原始的である。$G$ は完全群 $A_5$ の直積なので完全群である。核は $\{(g,g)\mid g\in Z(A_5)\}=\{1\}$ である（$A_5$ は可換でない単純群なので中心は自明）。$A=\{1\}$ は可換な正規部分群だが、共役は $\{1\}$ しか生成しない。$\Delta\cong A_5$ は自明でない可換な正規部分群をもたないので、$A$ をほかに選ぶこともできない。$A_5\times\{1\}$ は真の正規部分群なので、$G/K=G$ は単純でない。
補足
thm-iw-main は Tay92 Theorem 1.2（p. 3）であり、lem-iw-maximal は同書 Theorem 1.1（p. 3）、lem-iw-2transitive と lem-iw-normal は同書の Exercise 1.13（p. 5）・1.7（p. 4）にあたる。この記事ではこれらの補題を記事の中で証明した。同書 p. 3 は、$A$ を可換群でなく可解群としても同様の定理が成り立つことを注意している（この記事では証明しない）。
関連項目
参考文献
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