Castelnuovoの有理性判定法

$s\in H^0(X,\omega_X)$ が $0$ でなければ、$s\otimes s\in H^0(X,\omega_X^{\otimes2})$ も $0$ でない。$X$ は整なので、局所的に $s=f\,e$（$e$ は局所的な生成元）と書くと $s\otimes s=f^2e\otimes e$ で、$f\neq0$ なら $f^2\neq0$ だからである。$p_g\ge1$ なら $P_2\ge1$ である。より精密に、$0$ でない $s_0$ を 1 つ固定すると $s\mapsto s\otimes s_0$ は単射な線形写像 $H^0(\omega_X)\to H^0(\omega_X^{\otimes2})$ なので $p_g\le P_2$ である。$\square$

どちらの条件も $P_2=0$ を含み、そのとき lem-crc-p2-pg により $p_g=0$ なので $p_a=p_g-q=-q$ である。したがって $P_2=0$ のもとで $q=0$ と $p_a=0$ は同値である。$\square$

$X$ を有理曲面とする。$q$ と $P_2$ は双有理不変量（「設定と記号」）なので、$X=\mathbb{P}^2$ の場合に示せばよい。射影空間のコホモロジー（Har77 III, Theorem 5.1, p. 225）から $H^1(\mathbb{P}^2,\mathcal{O})=0$ なので $q(\mathbb{P}^2)=0$ である。$\omega_{\mathbb{P}^2}\cong\mathcal{O}(-3)$（Har77 II, Example 8.20.1, p. 182）なので $\omega_{\mathbb{P}^2}^{\otimes2}\cong\mathcal{O}(-6)$ であり、$H^0(\mathbb{P}^2,\mathcal{O}(-6))=0$ だから $P_2(\mathbb{P}^2)=0$ である。$\square$

$q(X)=P_2(X)=0$ とする。$X$ から極小曲面 $X_0$ への双有理射をとると、$q$ と $P_2$ は双有理不変量なので $q(X_0)=P_2(X_0)=0$ であり、$X_0$ が有理なら $X$ も有理である。そこで $X$ は極小としてよい。$K:=K_X$ と書く。
段 1：Euler 標数．lem-crc-p2-pg により $p_g=0$ なので、$\chi(\mathcal{O}_X)=1-q+p_g=1$ である。
段 2：$-K$ の切断の個数．曲面の Riemann–Roch の定理（曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の定理「曲面の Riemann–Roch の定理」）を $D=-K$ に当てると
$$ \chi(\mathcal{O}_X(-K))=\chi(\mathcal{O}_X)+\tfrac12(-K)\cdot(-K-K)=1+K^2 $$
である。Serre 双対性により $h^2(\mathcal{O}_X(-K))=h^0(\mathcal{O}_X(2K))=P_2=0$ なので、
$$ h^0(\mathcal{O}_X(-K))=1+K^2+h^1(\mathcal{O}_X(-K))\ge1+K^2 $$
である。
段 3：$K$ は nef でない．$K^2\ge0$ の場合、段 2 により $h^0(\mathcal{O}_X(-K))\ge1$ なので、有効因子 $D$ で $-K\sim D$ となるものがある。$D=0$ なら $K\sim0$ で $p_g=h^0(\mathcal{O}_X)=1$ となり $p_g=0$ に反するので、$D\neq0$ である。豊富な因子 $H$ をとると $D\cdot H>0$（代数曲面 の補題「有効因子と豊富な因子の交点数」）なので $K\cdot H=-D\cdot H<0$ である。$H$ を正の倍数に取り替えて非常に豊富としてよく、$H$ は超平面切断として有効因子 $\sum_in_iC_i$（$n_i>0$、$C_i$ は既約曲線）と線形同値である。$\sum_in_i(K\cdot C_i)=K\cdot H<0$ なので、ある $C_i$ で $K\cdot C_i<0$ となり、$K$ は nef でない。$K^2<0$ の場合、nef な因子の自己交点数は $0$ 以上なので（Kleimanの判定法(豊富性) の定理「nef な可逆層の交叉数（Kleiman の定理）」）、$K$ は nef でない。
段 4：結論．$X$ は極小で $K$ は nef でなく、$q=0$ なので、thm-crc-structure により $X$ は $\mathbb{P}^2$ か Hirzebruch 曲面 $\mathbb{F}_e$ である。$\mathbb{F}_e$ は $\mathbb{P}^1$ 上の $\mathbb{P}^1$ 束で、$\mathbb{P}^1$ の開集合 $\mathbb{A}^1$ の上では自明な束 $\mathbb{A}^1\times\mathbb{P}^1$ になるので、$\mathbb{A}^2$ と同型な開集合をもち、有理である（有理多様体 の定理「関数体による特徴づけ」の 3）。よって $X$ は有理である。$\square$

要点：支配的な射で微分形式を引き戻す写像は、標数 $0$ では単射である。$\mathbb{P}^m$ には 1 次微分形式も「2 次微分形式の 2 乗」も $0$ 以外にないので、$X$ でも $h^0(\Omega^1_X)=0$、$P_2(X)=0$ となる。複素数体上では $q=h^0(\Omega^1_X)$ なので、判定法から $X$ は有理である。