Laplacianの固有関数
概要
Laplacianの固有関数（eigenfunctions of the Laplacian）とは、境界条件のもとで $-\Delta e=\lambda e$ をみたす $0$ でない関数 $e$ のことで、$\lambda$ を固有値という。空でない有界な開集合 $\Omega$ では、Dirichlet 条件の固有関数から $L^2(\Omega)$ の正規直交基底を選べ、固有値は $0<\lambda_1\le\lambda_2\le\cdots\to\infty$ と並び、固有関数は $\Omega$ の内部で $C^\infty$ 級である。証明は Laplacian の逆をコンパクトな自己共役作用素とみてスペクトル分解に帰着させる。境界が $C^1$ 級なら Neumann 条件でも同様で、定数が固有値 $0$ の固有関数になる。
Laplacianの固有関数（eigenfunctions of the Laplacian）は、境界条件のもとで
$$
-\Delta e=\lambda e
$$
をみたす $0$ でない関数 $e$ であり、$\lambda$ を 固有値 という。区間 $(0,\pi)$ で両端の値を $0$ とすると、固有関数は $\sin nx$、固有値は $n^2$（$n=1,2,\dots$）であり、関数を $\sin nx$ で展開することが Fourier 正弦級数である。弦や膜の固有振動、熱方程式や波動方程式の変数分離で現れる空間の部分は、どれもこの固有値問題である（変数分離法(偏微分方程式)）。
一般の有界な領域では固有関数を式で書くことはできない。それでも、境界の値を $0$ とする条件（Dirichlet 条件）のもとで、固有関数から $L^2(\Omega)$ の正規直交基底を選べ、固有値は $0<\lambda_1\le\lambda_2\le\cdots\to\infty$ と並ぶ。これがこの記事の主定理で、領域には有界性のほかに何も仮定しない。証明は、Laplacian の逆の作用素がコンパクトな自己共役作用素になることを示し、コンパクト作用素 のスペクトル分解に帰着させる。境界が $C^1$ 級なら、法線微分を $0$ とする条件（Neumann 条件）でも同じ構成ができ、そのときは定数が固有値 $0$ の固有関数になる。
設定
$\Omega\subset\mathbb{R}^N$（$N\ge1$）を空でない有界な開集合とし、関数は実数値とする。$\|\cdot\|$ と $(\cdot,\cdot)$ は $L^2(\Omega)$ のノルムと内積である。$H^1_0(\Omega)$ は $C^\infty_c(\Omega)$ の $H^1(\Omega)$ での閉包である（Sobolev空間の基本事項 の定義「零境界値Sobolev空間」）。Poincaréの不等式 の定理「幅が有限な領域でのPoincaréの不等式」により、$\Omega$ の幅で決まる定数 $C_P$ があって
$$
\|u\|\le C_P\|\nabla u\|\qquad(u\in H^1_0(\Omega))\qquad(1)
$$
であり、$\langle u,v\rangle_\nabla:=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,dx$ は $H^1_0(\Omega)$ の内積で、$H^1_0(\Omega)$ はこの内積で Hilbert 空間になる（同じ記事の系「勾配のノルムと Dirichlet 内積」）。
$\lambda\in\mathbb{R}$ とする。$0$ でない $e\in H^1_0(\Omega)$ が
$$
\int_\Omega\nabla e\cdot\nabla\varphi\,dx=\lambda\int_\Omega e\,\varphi\,dx\qquad(\varphi\in H^1_0(\Omega))\qquad(2)
$$
をみたすとき、$e$ を Dirichlet 条件の Laplacian の 固有関数、$\lambda$ をその 固有値 という。
- を $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ に限ると、超関数の意味の $-\Delta e=\lambda e$ である。$e\in H^1_0(\Omega)$ が「境界で $0$」の弱い言い表しになっている。境界が $C^1$ 級なら、$e$ のトレースが $0$ であることと同じである（トレース作用素）。(2) で $\varphi=e$ とおくと $\lambda=\|\nabla e\|^2/\|e\|^2$ であり、(1) から $\lambda\ge C_P^{-2}>0$ である。
逆の作用素
$f\in L^2(\Omega)$ について、
$$
\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla\varphi\,dx=\int_\Omega f\varphi\,dx\qquad(\varphi\in H^1_0(\Omega))\qquad(3)
$$
をみたす $u\in H^1_0(\Omega)$ がただ 1 つある。$Tf:=u$ とおくと、$T\colon L^2(\Omega)\to L^2(\Omega)$ は有界・コンパクト・自己共役で、$f\ne0$ なら $(Tf,f)>0$ である。とくに $T$ は単射である。
存在と一意性：$\varphi\mapsto\int_\Omega f\varphi\,dx$ は、(1) と Cauchy–Schwarz の不等式から $\bigl\lvert\int f\varphi\bigr\rvert\le\|f\|\,\|\varphi\|\le C_P\|f\|\,\|\nabla\varphi\|$ をみたし、Hilbert 空間 $(H^1_0(\Omega),\langle\cdot,\cdot\rangle_\nabla)$ の上の有界線形汎関数である。Rieszの表現定理 の定理「Rieszの表現定理」により (3) をみたす $u$ がただ 1 つある。一意性から $T$ は線形である。
有界性：(3) で $\varphi=u$ とおくと $\|\nabla u\|^2=(f,u)\le C_P\|f\|\,\|\nabla u\|$ なので $\|\nabla u\|\le C_P\|f\|$、(1) から $\|Tf\|\le C_P^2\|f\|$ である。
コンパクト性：$T$ は、上の評価で有界な写像 $L^2(\Omega)\to H^1_0(\Omega)$ と、包含写像 $H^1_0(\Omega)\hookrightarrow L^2(\Omega)$ の合成である。後者は Rellich–Kondrachovの定理 の定理「Rellichの定理（有界領域の零境界値Sobolev空間）」によりコンパクトなので、$T$ はコンパクトである（コンパクト作用素 の定理「コンパクト作用素の全体は閉じたイデアル」）。
自己共役性と正値性：$u=Tf$、$v=Tg$ とする。$v$ についての (3) で $\varphi=u$ とおき、$u$ についての (3) で $\varphi=v$ とおくと
$$
(Tf,g)=(u,g)=\int_\Omega\nabla v\cdot\nabla u\,dx=(f,v)=(f,Tg)
$$
である。$g=f$ とおくと $(Tf,f)=\|\nabla u\|^2\ge0$ である。$(Tf,f)=0$ なら $\nabla u=0$ で、(1) から $u=0$ である。すると (3) から $\int_\Omega f\varphi\,dx=0$（$\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$）となり、$f=0$ である（$C^\infty_c(\Omega)$ は $L^2(\Omega)$ で稠密）。$\square$
$e\in H^1_0(\Omega)$ が (2) の固有関数であることと、$Te=\lambda^{-1}e$ であることは同値である。実際、(2) は (3) で $f=\lambda e$ としたものなので $T(\lambda e)=e$ であり、逆に $Te=\mu e$（$\mu\ne0$）なら $e=\mu^{-1}Te\in H^1_0(\Omega)$ が (2) を $\lambda=\mu^{-1}$ でみたす。
主定理：固有関数による正規直交基底
$\Omega\subset\mathbb{R}^N$ を空でない有界な開集合とする。$L^2(\Omega)$ の正規直交基底 $(e_n)_{n\ge1}$ と実数列 $(\lambda_n)_{n\ge1}$ で、次をみたすものがある。
- $e_n\in H^1_0(\Omega)\cap C^\infty(\Omega)$ で、$e_n$ は固有値 $\lambda_n$ の固有関数であり、$\Omega$ の各点で $-\Delta e_n=\lambda_ne_n$ が成り立つ。
- $0<\lambda_1\le\lambda_2\le\cdots$、$\lambda_n\to\infty$ である。
- Dirichlet 条件の固有値は $\lambda_n$ のどれかに等しく、各固有値の固有関数の空間は有限次元で、その次元は $\lambda_n$ の列にその値が現れる回数に等しい。
lem-ef-inverse の $T$ に コンパクト作用素 の定理「自己共役コンパクト作用素のスペクトル分解」を使う（実 Hilbert 空間の場合は Bre11 Theorem 6.11、p. 167 でもある）。$0$ でない固有値の固有空間は有限次元で互いに直交し、それらの正規直交基底を並べた系 $(e_j)$ について $L^2(\Omega)=\ker T\oplus\overline{\operatorname{span}}\{e_j\}$ である。$T$ は単射なので $\ker T=0$ で、$(e_j)$ は $L^2(\Omega)$ の正規直交基底である。
$L^2(\Omega)$ は無限次元である（$\Omega$ は空でない開集合なので互いに交わらない開球を無限個含み、そのおのおのに台をもつ $0$ でない $C^\infty_c$ 関数は 1 次独立）。各固有空間は有限次元なので、相異なる固有値は無限個あり、固有値を重複度だけ並べた列は無限列である。$Te_j=\mu_je_j$ とすると $\mu_j=(Te_j,e_j)>0$ で、コンパクト作用素 の定理「コンパクト作用素のスペクトル」により、どの $\delta>0$ についても $\mu_j\ge\delta$ となる $j$ は有限個である。よって $\mu_j$ を大きい順に並べ直せ（同じ値は続けて並べる）、並べ直したものを $\mu_1\ge\mu_2\ge\cdots>0$、$\mu_n\to0$ とできる。$\lambda_n:=\mu_n^{-1}$ とおけば 2 が成り立ち、lem-ef-inverse のあとの注意により $e_n$ は固有値 $\lambda_n$ の固有関数である。
3：固有値 $\lambda$ の固有関数 $e$ は $Te=\lambda^{-1}e$ をみたす。$e$ を基底で展開すると $\sum_n(\lambda^{-1}-\lambda_n^{-1})(e,e_n)e_n=0$ なので、$\lambda_n\ne\lambda$ の $n$ について $(e,e_n)=0$ である。$e\ne0$ だから $\lambda$ はある $\lambda_n$ に等しく、$e$ は $\lambda_n=\lambda$ となる（有限個の）$e_n$ の 1 次結合である。
滑らかさ：(2) を $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$ に限ると、$e_n$ は定数係数の 2 階の楕円型作用素 $-\Delta-\lambda_n$ について超関数の意味で $(-\Delta-\lambda_n)e_n=0$ をみたす。楕円型正則性 の系「定数係数の楕円型作用素の解の $C^\infty$ 正則性」により $e_n$ は（ほとんど至る所等しい関数を選び直せば）$\Omega$ で $C^\infty$ 級で、$-\Delta e_n=\lambda_ne_n$ は各点で成り立つ。$\square$
$\Omega$ の境界の滑らかさは使っていない。境界で $e_n$ が $0$ になることは $e_n\in H^1_0(\Omega)$ という意味でだけ成り立ち、$\overline\Omega$ の上での滑らかさは境界の滑らかさを必要とする。$\Omega$ が $C^\infty$ 級なら、$-\Delta e_n+e_n=(\lambda_n+1)e_n$ に Bre11 Theorem 9.25（p. 298）を繰り返し使うと $e_n\in C^\infty(\overline\Omega)$ が従う（この記事では証明しない）。
展開と最小固有値
以下 $(e_n)$、$(\lambda_n)$ は thm-ef-dirichlet のものとし、$u\in L^2(\Omega)$ の展開係数を $c_n:=(u,e_n)$ と書く。正規直交基底なので $u=\sum_nc_ne_n$（$L^2$ で収束）、$\|u\|^2=\sum_nc_n^2$ である（Parsevalの等式）。
- $(e_n/\sqrt{\lambda_n})_{n\ge1}$ は内積 $\langle\cdot,\cdot\rangle_\nabla$ についての $H^1_0(\Omega)$ の正規直交基底である。
- $u\in H^1_0(\Omega)$ なら $\|\nabla u\|^2=\sum_n\lambda_nc_n^2$ である。逆に $u\in L^2(\Omega)$ で $\sum_n\lambda_nc_n^2<\infty$ なら $u\in H^1_0(\Omega)$ である。
- $H^1(\Omega)$ の内積 $\int(\nabla u\cdot\nabla v+uv)$ についての $H^1_0(\Omega)$ の正規直交基底は $\bigl(e_n/\sqrt{\lambda_n+1}\bigr)_{n\ge1}$ である。
1：(2) で $e=e_n$、$\varphi=e_m$ とおくと $\langle e_n,e_m\rangle_\nabla=\lambda_n(e_n,e_m)=\lambda_n\delta_{nm}$ なので、$(e_n/\sqrt{\lambda_n})$ は正規直交系である。$u\in H^1_0(\Omega)$ がすべての $e_n$ と $\langle\cdot,\cdot\rangle_\nabla$ について直交すれば、(2) から $0=\langle e_n,u\rangle_\nabla=\lambda_n(e_n,u)$ で、$(e_n)$ は $L^2$ の基底なので $u=0$ である。直交補空間が $0$ の正規直交系は基底である。
2：$u\in H^1_0(\Omega)$ の 1 の基底についての係数は $\langle u,e_n\rangle_\nabla/\sqrt{\lambda_n}=\sqrt{\lambda_n}\,c_n$（(2) による）なので、Parseval の等式から $\|\nabla u\|^2=\sum_n\lambda_nc_n^2$ である。逆に $\sum\lambda_nc_n^2<\infty$ なら $\sum_n\sqrt{\lambda_n}c_n\cdot e_n/\sqrt{\lambda_n}=\sum_nc_ne_n$ は Hilbert 空間 $H^1_0(\Omega)$ で収束し、その極限 $w$ は (1) により $L^2$ でも同じ部分和の極限なので $w=u$ である。
3：1 と同じ計算で $\int(\nabla e_n\cdot\nabla e_m+e_ne_m)=(\lambda_n+1)\delta_{nm}$ であり、完全性も 1 と同じ議論による。$\square$
$$
\lambda_1=\min\Bigl\{\frac{\|\nabla u\|^2}{\|u\|^2}\Bigm|u\in H^1_0(\Omega),\ u\ne0\Bigr\}
$$
であり、最小値をとる $u$ はちょうど固有値 $\lambda_1$ の固有関数である。
cor-ef-h10 の 2 から $\|\nabla u\|^2=\sum_n\lambda_nc_n^2\ge\lambda_1\sum_nc_n^2=\lambda_1\|u\|^2$ で、$u=e_1$ で等号が成り立つ。等号は $\lambda_n>\lambda_1$ のすべての $n$ で $c_n=0$ のとき、すなわち $u$ が $\lambda_n=\lambda_1$ となる有限個の $e_n$ の 1 次結合のときに限る。$\square$
右辺の商は Rayleigh商 であり、$\lambda_k$ も $k-1$ 個の直交条件のもとでの最小値として得られる（同じ記事の定理「正の固有値の max-min 原理」を $T$ に使えばよい）。
Neumann 条件の固有関数
$N\ge2$ とし、$\Omega$ を $C^1$ 級の有界な開集合（Greenの公式 の定義「$C^1$ 級の有界な開集合」）とする。$0$ でない $f\in H^1(\Omega)$ が
$$
\int_\Omega\nabla f\cdot\nabla v\,dx=\mu\int_\Omega fv\,dx\qquad(v\in H^1(\Omega))\qquad(4)
$$
をみたすとき、$f$ を Neumann 条件の Laplacian の固有関数、$\mu$ をその固有値という。試験関数を $H^1(\Omega)$ 全体にとることで $\partial f/\partial n=0$ が自然境界条件として課される（Neumann問題 の命題「古典解と弱解の関係」）。
$\Omega$ を $C^1$ 級の有界な開集合とする。$L^2(\Omega)$ の正規直交基底 $(f_n)_{n\ge0}$ と、$0\le\mu_0\le\mu_1\le\cdots$、$\mu_n\to\infty$ で、$f_n\in H^1(\Omega)\cap C^\infty(\Omega)$ が固有値 $\mu_n$ の固有関数であるものがある。$\mu_0=0$ で、固有値 $0$ の固有関数は $\Omega$ の各連結成分の上で定数となる関数（$0$ を除く）である。とくに $\Omega$ が連結なら $\mu_1>0$ である。
$S\colon L^2(\Omega)\to L^2(\Omega)$ を、$f$ に Neumann問題 の定理「(P) の弱解の存在と一意性」の弱解 $u$（$(u,v)_{H^1}=(f,v)$、$v\in H^1(\Omega)$）を対応させる作用素とする。$\|u\|_{H^1}\le\|f\|$ で、$C^1$ 級の有界な開集合では包含写像 $H^1(\Omega)\hookrightarrow L^2(\Omega)$ がコンパクトなので（Bre11 Theorem 9.16、p. 285。この記事では証明しない）、$S$ はコンパクトである。prf-ef-inverse と同じ計算で $(Sf,g)=(Sf,Sg)_{H^1}=(f,Sg)$ なので $S$ は自己共役である。$Sf=0$ なら、すべての $v\in H^1(\Omega)$ について $(f,v)=(Sf,v)_{H^1}=0$ で、$H^1(\Omega)\supset C^\infty_c(\Omega)$ は $L^2(\Omega)$ で稠密だから $f=0$ である。よって $f\ne0$ なら $(Sf,f)=\|Sf\|_{H^1}^2>0$ である。prf-ef-dirichlet と同じ議論で、$S$ の固有ベクトルからなる $L^2$ の正規直交基底 $(f_n)$ と $\tau_0\ge\tau_1\ge\cdots>0$、$\tau_n\to0$ がとれる。
$Sf_n=\tau_nf_n$ は、$f_n=\tau_n^{-1}Sf_n\in H^1(\Omega)$ が $(f_n,v)_{H^1}=\tau_n^{-1}(f_n,v)$、すなわち (4) を $\mu_n:=\tau_n^{-1}-1$ でみたすことと同値である。$v=f_n$ とおくと $\mu_n=\|\nabla f_n\|^2/\|f_n\|^2\ge0$ である。$\mu=0$ の固有関数は $\nabla f=0$ をみたすので、弱微分 の定理「弱勾配が $0$ なら定数」により各連結成分の上で定数であり、逆にそのような関数は (4) を $\mu=0$ でみたす。定数関数 $1$ は固有値 $0$ の固有関数なので $\mu_0=0$ である。連結なら固有値 $0$ の固有空間は 1 次元なので、重複度を込めて並べた列で $\mu_1>0$ である。滑らかさは prf-ef-dirichlet と同じである。$\square$
例
- $\Omega=(0,\pi)$ の Dirichlet 条件：$e_n(x)=\sqrt{2/\pi}\,\sin nx$、$\lambda_n=n^2$（$n\ge1$）である。$e_n\in H^1_0$ で、部分積分（端点で $e_n=0$）から (2) が成り立つ。逆に、$H^1_0(0,\pi)$ の関数は $[0,\pi]$ で連続で端点で $0$ をとり（Bre11 Theorem 8.12、p. 217）、固有関数は $(0,\pi)$ で $-e''=\lambda e$（$\lambda>0$）をみたす滑らかな関数なので $A\sin\sqrt\lambda\,x+B\cos\sqrt\lambda\,x$ の形である。端点の条件から $B=0$ で $\sqrt\lambda$ は正の整数になるので、固有値は $n^2$ だけで、どれも単純である。区間 $(0,1)$ に縮めた形は Bre11 Theorem 8.22 の証明のあとの例（p. 232）にある。
- $\Omega=(0,\pi)$ の Neumann 条件：$\cos nx$（$n\ge0$）は $-u''=n^2u$、$u'(0)=u'(\pi)=0$ をみたし、部分積分で (4) の 1 次元版が成り立つので、固有値 $n^2$ の固有関数である。$n=0$ が定数関数である。
- $\Omega=(0,\pi)^2$ の Dirichlet 条件：$\sin jx_1\,\sin kx_2$（$j,k\ge1$）は固有値 $j^2+k^2$ の固有関数で、互いに直交する。固有値 $5$ には $(j,k)=(1,2),(2,1)$ の 2 つがあり、固有値は単純とは限らない。
仮定を外すと成り立たなくなること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\Omega$ の有界性 | $\Omega=\mathbb{R}^N$ | 固有関数が 1 つもなく、$L^2$ の基底がとれない |
| 境界条件（$H^1_0$ に属すること） | $\Omega=(0,\pi)$、試験関数を $C^\infty_c(\Omega)$ に限り $e\in H^1(\Omega)$ とする | 任意の $\lambda>0$ が固有値になり、$\lambda_n\to\infty$ と並ぶ離散的な列にならない |
| 作用素の対称性 | $\Omega=(0,\pi)$、$-\Delta$ を $Lu=-u''+u'$ に替える（Dirichlet 条件） | 相異なる 2 つの固有関数はどれも直交せず、固有関数からなる正規直交基底がない |
1 行目：$e\in H^1(\mathbb{R}^N)$ が (2)（$\varphi\in C^\infty_c(\mathbb{R}^N)$）をみたせば、超関数として $(-\Delta-\lambda)e=0$ で、Fourier 変換すると $(\lvert\xi\rvert^2-\lambda)\hat e=0$ である（Fourier変換）。$\hat e\in L^2$ で、$\{\lvert\xi\rvert^2=\lambda\}$ は測度 $0$ なので $\hat e=0$ となり（Plancherelの定理）、$e=0$ である。
2 行目：$\lambda>0$ について $e(x)=\sin(\sqrt\lambda\,x)$ は $(0,\pi)$ の上で滑らかで $H^1(0,\pi)$ に属し、$-e''=\lambda e$ なので、部分積分（$\varphi$ は端点の近くで $0$）で $\int e'\varphi'=\lambda\int e\varphi$ である。
3 行目：$u=e^{x/2}w$ とおくと $-u''+u'=e^{x/2}\bigl(-w''+\tfrac14w\bigr)$ なので、$Lu=\lambda u$、$u(0)=u(\pi)=0$ は $-w''=(\lambda-\tfrac14)w$、$w(0)=w(\pi)=0$ と同値で、固有値は $n^2+\tfrac14$、固有関数は $e^{x/2}\sin nx$ の定数倍だけである。$j\ne k$ について、$\sin jx\sin kx=\frac12\bigl(\cos(j-k)x-\cos(j+k)x\bigr)$ と $\int_0^\pi e^x\cos mx\,dx=\frac{(-1)^me^\pi-1}{1+m^2}$ から、$s:=(-1)^{j+k}$ として
$$
\int_0^\pi e^{x}\sin jx\,\sin kx\,dx=\frac{se^\pi-1}2\Bigl(\frac1{1+(j-k)^2}-\frac1{1+(j+k)^2}\Bigr)\ne0
$$
である（$se^\pi\ne1$、$(j+k)^2>(j-k)^2$）。よって固有関数からなる正規直交系は 1 つの元しかもてない。対応する双線形形式 $\int(u'\varphi'+u'\varphi)$ は対称でない。
関連項目
参考文献
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