特異基数
概要
特異基数（singular cardinal）とは、共終数が自分自身より小さい無限基数、すなわち自分より短い増加列の上限として到達できる無限基数である。共終数が自身に等しい無限基数は正則基数という。最初の特異基数は $\aleph_\omega=\sup_{n<\omega}\aleph_n$ で、共終数は $\omega$ である。特異基数は極限基数であり、正則基数と違って、小さい集合を少なく集めた合併が $\kappa$ に達し、交わらない閉非有界集合も現れうる。冪については $2^\kappa=(2^{<\kappa})^{\operatorname{cf}(\kappa)}$ が成り立ち、Silver の定理や Shelah の上界など、下の冪による強い制約がある。
特異基数とは
特異基数（singular cardinal）とは、無限基数 $\kappa$ のうち、$\kappa$ より短い増加列で $\kappa$ に到達できるものである。例えば $\aleph_\omega$ は $\aleph_0<\aleph_1<\aleph_2<\cdots$ という長さ $\omega$ の列の上限であり、自分よりずっと小さい $\omega$ 段で届いてしまう。そうでない無限基数、すなわち自分より短い列では届かない基数が正則基数である。
後続基数 $\aleph_1,\aleph_2,\ldots$ はすべて正則なので、特異基数は極限基数の中にしか現れない。特異基数では、「小さい集合を少なく集めれば小さい」「閉非有界集合どうしは交わる」といった正則基数で成り立つ性質が崩れる。一方で冪 $2^\kappa$ は、$\kappa$ より下の冪から強く制約される。この記事では特異基数の構造と、この二つの側面を証明とともに述べる。以下 ZFC を仮定する。
定義
順序数 $\alpha$ の部分集合 $X$ が共終（非有界）であるとは、任意の $\beta<\alpha$ に対して $\beta\leq\gamma$ となる $\gamma\in X$ があることをいう。$\alpha$ の共終な部分集合の順序型の最小値を $\alpha$ の共終数 $\operatorname{cf}(\alpha)$ という。$\operatorname{cf}(\alpha)$ は、狭義単調増加な写像 $f\colon\beta\to\alpha$ で像が共終なものが存在する最小の $\beta$ にも等しい（共終数 の記事の命題「共終写像による特徴付け」）。無限基数 $\kappa$ について常に $\operatorname{cf}(\kappa)\leq\kappa$ である。
無限基数 $\kappa$ が特異であるとは
$$
\operatorname{cf}(\kappa)<\kappa
$$
となることをいう。$\operatorname{cf}(\kappa)=\kappa$ となる無限基数を正則という。
共終数を「共終な部分集合の濃度の最小値」で定める流儀もある（She92 p. 198）。$\kappa$ が基数なら二つの定義は同じ値を与える（どちらも 共終数 の記事の系「共終数と濃度」から分かる）。
言い換えると、$\kappa$ が特異であることは、ある順序数 $\mu<\kappa$ と狭義単調増加列 $(\kappa_i)_{i<\mu}$（各 $\kappa_i<\kappa$）で $\sup_{i<\mu}\kappa_i=\kappa$ となるものがあることと同値である。また、$\kappa$ が特異であることは、濃度 $\kappa$ 未満の集合を $\kappa$ 個未満集めた合併として $\kappa$ が書けることと同値である（共終数 の記事の命題「小さい集合の少ない個数の和」）。$\operatorname{cf}(\kappa)$ は常に正則基数である（同記事の定理「共終数は正則基数である」）ので、特異基数の共終数が再び特異になることはない。
例
$\aleph_\omega=\sup_{n<\omega}\aleph_n$ であり、各 $\aleph_n<\aleph_\omega$ なので、$(\aleph_n)_{n<\omega}$ は長さ $\omega$ の共終列である。$\aleph_\omega$ は有限個の $\aleph_n$ の上限にはならないので $\operatorname{cf}(\aleph_\omega)=\omega$ であり、$\omega<\aleph_\omega$ だから $\aleph_\omega$ は特異である。$\aleph_\omega$ は最小の特異基数である。$\aleph_0$ は正則で、$\aleph_n$（$1\leq n<\omega$）は後続基数なので正則だからである（共終数 の記事の命題「後続基数は正則である」）。
$\aleph_{\omega_1}=\sup_{\alpha<\omega_1}\aleph_\alpha$ は特異で、$\operatorname{cf}(\aleph_{\omega_1})=\omega_1$ である。一般に極限順序数 $\lambda$ について $\operatorname{cf}(\aleph_\lambda)=\operatorname{cf}(\lambda)$ である（共終数 の記事の命題「$\aleph$ 数の共終数」）。$\operatorname{cf}(\omega_1)=\omega_1<\aleph_{\omega_1}$ なので $\aleph_{\omega_1}$ は特異である。同様に $\aleph_{\omega+\omega}$、$\aleph_{\omega^2}$ は共終数 $\omega$ の特異基数である。
$\beth_\omega=\sup_n\beth_n$（$\beth_0=\aleph_0$、$\beth_{n+1}=2^{\beth_n}$）は、強極限基数（$\lambda<\beth_\omega$ なら $2^\lambda<\beth_\omega$）でありながら特異である（強極限基数 の記事の命題「$\beth_\omega$ は特異」）。強極限性は正則性を導かない。
次の例は、「$\kappa=\aleph_\kappa$」という一見大きさを表す条件も正則性を導かないことを示す。
$\kappa_0=\aleph_0$、$\kappa_{n+1}=\aleph_{\kappa_n}$ とおき、$\kappa=\sup_n\kappa_n$ とする。このとき $\kappa=\aleph_\kappa$ であり、$\operatorname{cf}(\kappa)=\omega$ なので $\kappa$ は特異である。
実際、$\kappa_1=\aleph_\omega>\kappa_0$ であり、$\alpha\mapsto\aleph_\alpha$ は狭義単調増加なので帰納法により $\kappa_n<\kappa_{n+1}$ である。よって $\kappa$ は極限順序数で、$\{\kappa_n\}$ は $\kappa$ に共終である。$\aleph_\kappa=\sup_{\alpha<\kappa}\aleph_\alpha$ であり、単調性から上限は共終な部分列 $\alpha=\kappa_n$ でとってよいので
$$
\aleph_\kappa=\sup_n\aleph_{\kappa_n}=\sup_n\kappa_{n+1}=\kappa
$$
である。$\{\kappa_n\}$ は長さ $\omega$ の共終列で、$\kappa>\omega$ なので $\operatorname{cf}(\kappa)=\omega<\kappa$ である。
非可算な正則極限基数（弱到達不能基数）$\kappa$ は必ず $\kappa=\aleph_\kappa$ を満たす。$\kappa=\aleph_\lambda$ と書くと $\lambda$ は極限順序数で、$\kappa=\operatorname{cf}(\kappa)=\operatorname{cf}(\lambda)\leq\lambda\leq\aleph_\lambda=\kappa$ となるからである。ex-sc-fixed-point は、この逆が成り立たないことを示している。
特異基数の構造
特異基数 $\kappa$ には、$\operatorname{cf}(\kappa)$ 段で $\kappa$ に届く「骨組み」の列が取れる。以下で基本となるのは次の定理である。
$\kappa$ を特異基数とし、$\mu=\operatorname{cf}(\kappa)$ とする。
- $\kappa$ は極限基数である。
- 基数の狭義単調増加列 $(\kappa_i)_{i<\mu}$ で、$\mu<\kappa_0$、$\sup_{i<\mu}\kappa_i=\kappa$ を満たし、極限順序数 $i<\mu$ で $\kappa_i=\sup_{j< i}\kappa_j$（連続）となるものが存在する。このとき $\kappa_{i+1}$ は後続基数で正則であり、極限順序数 $i$ に対する $\kappa_i$ は特異基数である。
無限基数は $\aleph_0$ か後続基数か極限基数である。$\aleph_0$ と後続基数は正則なので（共終数 の記事の命題「後続基数は正則である」）、特異基数は極限基数である。
$\kappa$ に共終な狭義単調増加列 $(\alpha_i)_{i<\mu}$ を取る。超限帰納法で
$$ \kappa_0=\mu^+,\qquad \kappa_{i+1}=\bigl(\max(\kappa_i,|\alpha_i|)\bigr)^+,\qquad \kappa_i=\sup_{j< i}\kappa_j\quad(i\text{ は極限順序数}) $$
と定める。各 $\kappa_i<\kappa$ であることを帰納法で示す。$\mu<\kappa$ で $\kappa$ は極限基数なので $\kappa_0=\mu^+<\kappa$ である。$\kappa_i<\kappa$ かつ $|\alpha_i|<\kappa$ なら、同じ理由で $\kappa_{i+1}<\kappa$ である。極限順序数 $i<\mu$ については、$\{\kappa_j:j< i\}$ の濃度は $|i|<\mu=\operatorname{cf}(\kappa)$ なので $\kappa$ で有界であり（共終数 の記事の系「共終数と濃度」）、$\kappa_i<\kappa$ である。
基数の上限は基数なので、各 $\kappa_i$ は基数である。$\kappa_{i+1}>\kappa_i$ であり、極限順序数 $i$ と $j< i$ について $\kappa_i\geq\kappa_{j+1}>\kappa_j$ なので、列は狭義単調増加である。$\kappa_{i+1}$ は $|\alpha_i|$ より大きい基数なので $\kappa_{i+1}>\alpha_i$ であり、$\sup_i\kappa_i\geq\sup_i\alpha_i=\kappa$ となる。
$\kappa_{i+1}$ は後続基数なので正則である。極限順序数 $i<\mu$ について、$(\kappa_j)_{j< i}$ は $\kappa_i$ に共終な長さ $i$ の列なので $\operatorname{cf}(\kappa_i)\leq i<\mu<\kappa_0\leq\kappa_i$ であり、$\kappa_i$ は特異である。$\square$
$\aleph_\omega$ では $\kappa_n=\aleph_{n+1}$ が 2 の性質をもつ列の例である。骨組みを使うと、正則基数で成り立つ閉非有界集合の性質がどう崩れるかが分かる。一般の極限順序数 $\kappa$ についても、$C\subseteq\kappa$ が閉であるとは、極限順序数 $\gamma<\kappa$ について $C\cap\gamma$ が $\gamma$ で非有界なら $\gamma\in C$ となることをいい、閉で非有界な集合を閉非有界集合という。
$\kappa$ を特異基数、$\mu=\operatorname{cf}(\kappa)$ とし、$(\kappa_i)_{i<\mu}$ を thm-sc-structure の列とする。
- $C=\{\kappa_i:i<\mu\}$ は $\kappa$ の閉非有界集合で、$|C|=\mu<\kappa$ である。
- 各 $i<\mu$ について $D_i=\{\gamma<\kappa:\kappa_i\leq\gamma\}$ は閉非有界集合だが、$\bigcap_{i<\mu}D_i=\emptyset$ である。
- $\mu=\omega$ なら、$\{\kappa_{2n}:n<\omega\}$ と $\{\kappa_{2n+1}:n<\omega\}$ は互いに交わらない閉非有界集合である。
- $\mu>\omega$ なら、二つの閉非有界集合は必ず交わる。
非有界であることは thm-sc-structure による。閉であることを示す。極限順序数 $\gamma<\kappa$ で $C\cap\gamma$ が $\gamma$ で非有界とし、$\kappa_i\geq\gamma$ となる最小の $i$ を取る（$C$ は非有界なので存在する）。最小性から $C\cap\gamma=\{\kappa_j:j< i\}$ である。$C\cap\gamma$ は空でないので $i\ne0$ であり、$i=j+1$ なら $C\cap\gamma$ は $\kappa_j<\gamma$ で抑えられて非有界でない。よって $i$ は極限順序数で、連続性より $\kappa_i=\sup_{j< i}\kappa_j=\sup(C\cap\gamma)=\gamma$ となり、$\gamma\in C$ である。
$D_i$ は閉非有界である。$\gamma<\kappa$ なら $\gamma<\kappa_i$ となる $i$ があるので $\gamma\notin D_i$ であり、共通部分は空である。
どちらの集合も非有界である。$\gamma<\kappa$ について、それぞれの集合の $\gamma$ 未満の元は有限個なので、極限順序数 $\gamma$ で非有界になることはなく、閉であることの条件は空虚に満たされる。二つの集合は明らかに交わらない。
$C,D$ を閉非有界集合とし、$\beta<\kappa$ とする。$\beta< c_0< d_0< c_1< d_1<\cdots$ となる $c_n\in C$、$d_n\in D$ を非有界性から順に選び、$\gamma=\sup_nc_n=\sup_nd_n$ とおく。$\{c_n\}$ は可算で $\operatorname{cf}(\kappa)>\omega$ なので $\gamma<\kappa$ である。$\gamma$ は極限順序数で $C\cap\gamma$、$D\cap\gamma$ はどちらも $\gamma$ で非有界なので、$\gamma\in C\cap D$ である。$\square$
非可算な正則基数 $\kappa$ では、$\kappa$ 個未満の閉非有界集合の共通部分はまた閉非有界集合である（定常集合 の記事の補題「club の共通部分」）。2 はこれが特異基数では $\operatorname{cf}(\kappa)$ 個で崩れることを、3 は共終数 $\omega$ の特異基数では二つでも崩れることを示している。
特異基数の冪
正則基数 $\kappa$ の冪 $2^\kappa$ については、単調性（$\lambda\leq\kappa$ なら $2^\lambda\leq2^\kappa$）と $\operatorname{cf}(2^\kappa)>\kappa$（共終数 の記事の定理「König の定理の帰結」）のほかに ZFC から決まる制約がないことが、Easton の強制法によって知られている（Kan12 p. 370）。特異基数では事情が異なり、$2^\kappa$ は $\kappa$ 未満の冪で強く制約される。基数 $\kappa$ に対し
$$
2^{<\kappa}=\sup\{2^\lambda:\lambda<\kappa\text{ は基数}\}
$$
とおく。
$\kappa$ を特異基数とすると
$$
2^\kappa=\bigl(2^{<\kappa}\bigr)^{\operatorname{cf}(\kappa)}
$$
である。
$\mu=\operatorname{cf}(\kappa)$ とし、$\kappa$ に共終な基数の狭義単調増加列 $(\kappa_i)_{i<\mu}$（各 $\kappa_i<\kappa$）を取る（thm-sc-structure）。
$\leq$：$X\subseteq\kappa$ に $(X\cap\kappa_i)_{i<\mu}\in\prod_{i<\mu}\mathcal P(\kappa_i)$ を対応させる。$\kappa=\bigcup_i\kappa_i$ なので $X=\bigcup_i(X\cap\kappa_i)$ であり、この対応は単射である。各 $|\mathcal P(\kappa_i)|=2^{\kappa_i}\leq2^{<\kappa}$ なので
$$
2^\kappa\leq\prod_{i<\mu}2^{\kappa_i}\leq\bigl(2^{<\kappa}\bigr)^\mu .
$$
$\geq$：基数 $\lambda<\kappa$ について $2^\lambda\leq2^\kappa$ なので $2^{<\kappa}\leq2^\kappa$ であり、$\mu\leq\kappa$ と冪の法則（基数 の記事の命題「基数の算術の基本規則」）から
$$
\bigl(2^{<\kappa}\bigr)^\mu\leq\bigl(2^\kappa\bigr)^\mu=2^{\kappa\cdot\mu}=2^\kappa
$$
である。$\square$
正則基数でもこの等式は成り立つが、情報をもたない。例えば $\kappa=\aleph_1$ では $2^{<\aleph_1}=2^{\aleph_0}$ で $(2^{\aleph_0})^{\aleph_1}=2^{\aleph_1}$ となり、右辺は $2^\kappa$ そのものに戻ってしまい、何も言っていない。特異基数では $\operatorname{cf}(\kappa)<\kappa$ なので、右辺は $\kappa$ より小さい指数の冪で $2^\kappa$ を表している。
$\kappa$ を特異基数とする。
- $\kappa$ が強極限基数（すべての $\lambda<\kappa$ について $2^\lambda<\kappa$）なら、$2^\kappa=\kappa^{\operatorname{cf}(\kappa)}$ である。
- ある $\lambda_0<\kappa$ と基数 $\nu$ があって、$\lambda_0\leq\lambda<\kappa$ となるすべての基数 $\lambda$ について $2^\lambda=\nu$ なら、$2^\kappa=\nu$ である。
強極限性より $2^{<\kappa}\leq\kappa$ であり、$\lambda<2^\lambda$ なので $2^{<\kappa}\geq\sup_{\lambda<\kappa}\lambda=\kappa$ である。よって $2^{<\kappa}=\kappa$ で、thm-sc-power から $2^\kappa=\kappa^{\operatorname{cf}(\kappa)}$ である。
仮定から $2^{<\kappa}=\nu$ である。$\mu=\operatorname{cf}(\kappa)<\kappa$ なので、$\max(\lambda_0,\mu)\leq\lambda<\kappa$ となる基数 $\lambda$ が取れる。このとき
$$ \nu^\mu=\bigl(2^\lambda\bigr)^\mu=2^{\lambda\cdot\mu}=2^\lambda=\nu $$
であり、thm-sc-power から $2^\kappa=\nu^\mu=\nu$ である。$\square$
- $2^{\aleph_n}=\aleph_{\omega+5}$（すべての $n<\omega$）なら、cor-sc-power の 2 より $2^{\aleph_\omega}=\aleph_{\omega+5}$ である。
- $\aleph_\omega$ が強極限基数なら、cor-sc-power の 1 より $2^{\aleph_\omega}=\aleph_\omega^{\aleph_0}$ である（She92 p. 199 の式 (3b)）。König の定理の帰結より $\aleph_\omega^{\aleph_0}>\aleph_\omega$ なので、$2^{\aleph_\omega}\geq\aleph_{\omega+1}$ である。
- $\operatorname{cf}(2^{\aleph_0})>\aleph_0$ なので $2^{\aleph_0}\ne\aleph_\omega$ である（共終数 の記事の定理「König の定理の帰結」）。連続体の濃度は共終数 $\omega$ の特異基数になりえない。
特異基数の問題
cor-sc-power の 1 により、特異な強極限基数 $\kappa$ では $2^\kappa=\kappa^{\operatorname{cf}(\kappa)}\geq\kappa^+$ である。特異基数仮説（SCH）は、特異基数の冪が単調性と König の不等式から許される最小の値をとるという主張で、特に特異な強極限基数 $\kappa$ について $2^\kappa=\kappa^+$ を要求する（Kan12 p. 370）。一般連続体仮説のもとでは、特異な強極限基数 $\kappa$ について $2^\kappa=\kappa^+$ が当然成り立つ。しかし ZFC だけからは決まらない（下の Magidor の結果）。次の結果が知られている。この記事では証明しない。
- Silver の定理：$\kappa$ が非可算な共終数をもつ特異基数で、すべての $\lambda<\kappa$ について $2^\lambda=\lambda^+$ なら、$2^\kappa=\kappa^+$ である（Kan12 p. 387、She92 p. 200）。共終数 $\omega$ の特異基数については、下の Magidor の結果のように $2^\kappa=\kappa^+$ が崩れうる。正則基数についても、Easton の定理から例えば $2^{\aleph_0}=\aleph_1$、$2^{\aleph_1}=\aleph_3$ は無矛盾である（Kan12 p. 370）。
- Magidor の結果：超コンパクト基数の存在を仮定すると、$\aleph_\omega$ が強極限基数で $2^{\aleph_\omega}>\aleph_{\omega+1}$ となる強制拡大が作れる（Kan12 p. 387）。$2^{\aleph_\omega}=\aleph_{\omega+2}$ とできることも知られている（She92 p. 200）。
- Shelah の上界：すべての $n$ について $2^{\aleph_n}<\aleph_\omega$ なら、$2^{\aleph_\omega}<\aleph_{\omega_4}$ である（She92 p. 197 の Theorem A）。
正則基数の冪がほぼ自由に選べる（Easton）のに対し、特異基数の冪には Silver や Shelah の定理のような ZFC の定理がある。1974 年の Silver の定理は、冪の単調性と König の不等式以外に知られていなかった ZFC の定理として驚きをもって迎えられた（She92 p. 200）。
正則基数との比較と反例
| 観点 | 正則基数 $\kappa$ | 特異基数 $\kappa$ |
|---|---|---|
| $\kappa$ に届く増加列の長さ | $\kappa$ が必要 | $\operatorname{cf}(\kappa)<\kappa$ で足りる |
| 濃度 $\kappa$ 未満の集合 $\kappa$ 個未満の合併 | 濃度 $\kappa$ 未満 | $\kappa$ になりうる |
| 閉非有界集合の濃度 | 常に $\kappa$ | $\operatorname{cf}(\kappa)$ にできる |
| $2^\kappa$ と $\kappa$ 未満の冪 | ほぼ独立（Easton） | $2^\kappa=(2^{<\kappa})^{\operatorname{cf}(\kappa)}$ |
次の表は、正則性を外したとき（特異基数にしたとき）に成り立たなくなる性質と、その反例である。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 正則性 | $\aleph_\omega=\bigcup_{n<\omega}\aleph_n$ | 濃度 $\kappa$ 未満の集合 $\kappa$ 個未満の合併は濃度 $\kappa$ 未満 |
| 正則性 | prop-sc-clubs の 2 の $D_i$ | $\kappa$ 個未満の閉非有界集合の共通部分は閉非有界 |
| 正則性（共終数 $\omega$） | $\aleph_\omega$ 上の $\{\aleph_{2n+1}\}$ と $\{\aleph_{2n+2}\}$ | 二つの閉非有界集合は交わる |
| 正則性（$\kappa=\aleph_\kappa$ は残す） | ex-sc-fixed-point の $\kappa$ | 弱到達不能性 |
| 正則性（強極限性は残す） | $\beth_\omega$ | 到達不能性 |
$\aleph_\omega$ では各 $\aleph_n$ の濃度は $\aleph_\omega$ 未満で、個数 $\omega$ も $\aleph_\omega$ 未満だが、合併は $\aleph_\omega$ になる。3 行目は prop-sc-clubs の 3 を $\kappa_n=\aleph_{n+1}$ に当てたものである。4・5 行目の $\kappa$ と $\beth_\omega$ は非可算で、それぞれ $\kappa=\aleph_\kappa$、強極限性をもつが、特異なので弱到達不能基数・到達不能基数 にはならない。
関連項目
参考文献
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