導集合

1：$\emptyset\setminus\{x\}=\emptyset$ はどの集合とも交わらないので $\emptyset'=\emptyset$ である。$A\subset B$ なら $A\setminus\{x\}\subset B\setminus\{x\}$ なので、$x$ を含む開集合が $A\setminus\{x\}$ と交われば $B\setminus\{x\}$ とも交わる。
2：$A,B\subset A\cup B$ なので、1 により $A'\cup B'\subset(A\cup B)'$ である。逆を対偶で示す。$x\notin A'\cup B'$ とすると、$x$ を含む開集合 $U,V$ で、$U\cap(A\setminus\{x\})=\emptyset$、$V\cap(B\setminus\{x\})=\emptyset$ となるものがある。$W:=U\cap V$ は $x$ を含む開集合で、
$$ W\cap\bigl((A\cup B)\setminus\{x\}\bigr)=\bigl(W\cap(A\setminus\{x\})\bigr)\cup\bigl(W\cap(B\setminus\{x\})\bigr)=\emptyset $$
なので、$x\notin(A\cup B)'$ である。
3：各 $i$ について $A_i\subset\bigcup_jA_j$ なので、1 により $A_i'\subset(\bigcup_jA_j)'$ である。
4：$x\notin\{x\}'$ である。$\{x\}\setminus\{x\}=\emptyset$ だからである。$y\ne x$ については $\{x\}\setminus\{y\}=\{x\}$ なので、$y\in\{x\}'$ は「$y$ を含むどの開集合も $x$ を含む」ことと同値であり、閉包 の記事の命題「触点による特徴づけ」により、これは $y\in\overline{\{x\}}$ と同値である。
5：任意の $B\subset X$ について、$\overline B=B\cup B'$ から $B'\subset\overline B$ である。$B=A'$ とすると $A''\subset\overline{A'}$ を得る。また $A'\subset\overline A$ で、$\overline A$ は閉集合なので、$A'$ を含む最小の閉集合 $\overline{A'}$ は $\overline A$ に含まれる。
6：$x\in U$ とする。$A\cap U\subset A$ なので、1 により $x\in(A\cap U)'$ なら $x\in A'$ である。逆に $x\in A'$ とし、$V$ を $x$ を含む開集合とする。$V\cap U$ も $x$ を含む開集合なので、$A\setminus\{x\}$ の点 $z$ を含む。$z\in U$ なので $z\in(A\cap U)\setminus\{x\}$ であり、$z\in V$ である。よって $x\in(A\cap U)'$ である。$U$ の外の点はどちらの辺にも属さない。
7：$h$ は全単射で、$X$ の開集合を $Y$ の開集合に、$Y$ の開集合を $h^{-1}$ で $X$ の開集合に写す。したがって $y=h(x)$ を含む $Y$ の開集合は、$x$ を含む $X$ の開集合 $U$ の像 $h(U)$ の全体である。$h$ が単射なので $h(U)\cap(h(A)\setminus\{h(x)\})=h\bigl(U\cap(A\setminus\{x\})\bigr)$ であり、左辺が空でないことと右辺の中身が空でないことは同値である。よって $h(x)\in h(A)'$ と $x\in A'$ は同値で、$h(A)'=h(A')$ である。第 $\alpha$ 導集合については $\alpha$ についての超限帰納法による。後続の段は今示した等式、極限の段は、$h$ が単射なので共通部分と像をとる操作が交換すること（$h(\bigcap_\alpha C_\alpha)=\bigcap_\alpha h(C_\alpha)$）による。$\square$

1 ⇔ 2：どの集合 $B$ についても、$B$ が閉集合であることと $B'\subset B$ は同値である（集積点 の記事の命題「閉包は集合と導集合の和」の 3）。これを $B=A'$ に当てればよい。
1 ⇒ 3：$A=\{x\}$ とすればよい。$\{x\}'=\overline{\{x\}}\setminus\{x\}$ は prop-derived-basic の 4 である。
3 ⇒ 1：$A\subset X$ とし、$x\in\overline{A'}$ をとって $x\in A'$ を示す。$U$ を $x$ を含む開集合とし、$U$ が $A\setminus\{x\}$ の点を含むことを示せばよい。
$W:=U\setminus\{x\}'$ とおく。3 により $\{x\}'$ は閉集合なので $W$ は開集合であり、$x\notin\{x\}'$（prop-derived-basic の 4）なので $x\in W$ である。$x\in\overline{A'}$ なので、$W$ は $A'$ の点 $y$ を含む。

• $y=x$ の場合：$x\in A'$ なので、$U$ は $A\setminus\{x\}$ の点を含む。
• $y\ne x$ の場合：$W$ は $y$ を含む開集合で $y\in A'$ なので、$W$ は $A\setminus\{y\}$ の点を含む。そのような点のうちに $x$ と異なるもの $z$ があれば、$z\in W\subset U$ かつ $z\in A\setminus\{x\}$ である。そうでないとすると $W\cap(A\setminus\{y\})=\{x\}$ である。このとき $y$ を含む任意の開集合 $V$ について、$V\cap W$ は $y$ を含む開集合なので $A\setminus\{y\}$ の点を含み、その点は $W\cap(A\setminus\{y\})=\{x\}$ に属するから $x$ である。よって $y$ を含むどの開集合も $x$ を含み、$y\ne x$ なので $y\in\{x\}'$（prop-derived-basic の 4）である。これは $y\in W=U\setminus\{x\}'$ に反する。
  どの場合も $U$ は $A\setminus\{x\}$ の点を含むので、$x\in A'$ である。よって $\overline{A'}\subset A'$ であり、$A'$ は閉集合である。
  最後の主張：$T_1$ 空間では $\overline{\{x\}}=\{x\}$ なので $\{x\}'=\emptyset$ であり、3 が成り立つ。$\square$

1：「$F^{(\alpha)}$ は閉集合で、すべての $\gamma\le\alpha$ について $F^{(\alpha)}\subset F^{(\gamma)}$」を $\alpha$ についての超限帰納法で示す（超限帰納法 の記事の命題「三段階形式」）。$\alpha=0$ では $F$ が閉集合であることによる。$\alpha$ で成り立てば、$F^{(\alpha+1)}=(F^{(\alpha)})'$ は thm-derived-closed-criterion により閉集合であり、$F^{(\alpha)}$ が閉集合なので $(F^{(\alpha)})'\subset F^{(\alpha)}$ である。よって $\gamma\le\alpha$ について $F^{(\alpha+1)}\subset F^{(\alpha)}\subset F^{(\gamma)}$ である。極限順序数 $\mu$ では、$F^{(\mu)}=\bigcap_{\alpha< \mu}F^{(\alpha)}$ は閉集合の共通部分なので閉集合であり、各 $\gamma< \mu$ について $F^{(\mu)}\subset F^{(\gamma)}$ である。
2：存在を背理法で示す。すべての順序数 $\alpha$ について $F^{(\alpha+1)}\ne F^{(\alpha)}$ とすると、1 により $D_\alpha:=F^{(\alpha)}\setminus F^{(\alpha+1)}$ は $F$ の空でない部分集合である。$\alpha< \beta$ なら $D_\beta\subset F^{(\beta)}\subset F^{(\alpha+1)}$ なので $D_\alpha\cap D_\beta=\emptyset$、とくに $D_\alpha\ne D_\beta$ である。よって $\alpha\mapsto D_\alpha$ は順序数全体から $F$ の冪集合 $\mathcal{P}(F)$ への単射になる。その像は $\mathcal{P}(F)$ の部分集合なので集合であり、その各元 $D$ に $D=D_\alpha$ となるただ 1 つの $\alpha$ を対応させると、置換公理により順序数全体が集合になる。これは 順序数 の記事の命題「Burali-Forti の逆理」に反する。
$F^{(\lambda+1)}=F^{(\lambda)}$ とし、$\beta\ge\lambda$ について $F^{(\beta)}=F^{(\lambda)}$ を $\beta$ についての超限帰納法で示す。$\beta=\lambda$ では明らかである。$F^{(\beta)}=F^{(\lambda)}$ なら $F^{(\beta+1)}=(F^{(\lambda)})'=F^{(\lambda+1)}=F^{(\lambda)}$ である。極限順序数 $\mu>\lambda$ では、1 により $\alpha< \mu$ のどの $F^{(\alpha)}$ も $F^{(\lambda)}$ を含み、$\alpha=\lambda$ のとき $F^{(\lambda)}$ そのものなので、共通部分は $F^{(\lambda)}$ である。
3：$F^{(\lambda)}$ は 1 により閉集合で、$(F^{(\lambda)})'=F^{(\lambda)}$ なので孤立点をもたない。よって完全集合である。次に $P\subset F$、$P\subset P'$ とし、$P\subset F^{(\alpha)}$ をすべての $\alpha$ について超限帰納法で示す。$\alpha=0$ は仮定である。$P\subset F^{(\alpha)}$ なら、prop-derived-basic の 1 により $P\subset P'\subset(F^{(\alpha)})'=F^{(\alpha+1)}$ である。極限の段では共通部分に含まれる。とくに $P\subset F^{(\lambda)}$ である。
4：$\{B_0,B_1,B_2,\dots\}$ を $X$ の高々可算な開基とし、$\lambda$ を $F^{(\lambda+1)}=F^{(\lambda)}$ となる最小の順序数とする。
$\lambda$ は可算。$\alpha< \lambda$ なら $F^{(\alpha+1)}\ne F^{(\alpha)}$ なので、点 $x\in F^{(\alpha)}\setminus F^{(\alpha+1)}$ がある。$X\setminus F^{(\alpha+1)}$ は $x$ を含む開集合なので、$x\in B_k\subset X\setminus F^{(\alpha+1)}$ となる $k$ がある。そこで
$$ k(\alpha):=\min\{k\mid B_k\cap F^{(\alpha+1)}=\emptyset,\ B_k\cap F^{(\alpha)}\ne\emptyset\} $$
と定める。$\alpha< \beta< \lambda$ で $k(\alpha)=k(\beta)=k$ とすると、$B_k\cap F^{(\beta)}\ne\emptyset$ だが、$F^{(\beta)}\subset F^{(\alpha+1)}$ かつ $B_k\cap F^{(\alpha+1)}=\emptyset$ なので矛盾する。よって $\alpha\mapsto k(\alpha)$ は $\lambda$ から自然数全体への単射であり、$\lambda$ は可算順序数である。
$F\setminus F^{(\lambda)}$ は高々可算。$x\in F\setminus F^{(\lambda)}$ とし、$x\notin F^{(\gamma)}$ となる最小の順序数 $\gamma$ をとる。$x\in F=F^{(0)}$ なので $\gamma\ne0$ であり、$\gamma$ が極限順序数なら $x\notin\bigcap_{\alpha< \gamma}F^{(\alpha)}$ から $x\notin F^{(\alpha)}$ となる $\alpha< \gamma$ があって最小性に反する。よって $\gamma=\beta+1$ と書け、$x\in F^{(\beta)}\setminus(F^{(\beta)})'$、すなわち $x$ は $F^{(\beta)}$ の孤立点である。この $\beta$ を $\beta(x)$ と書く。孤立点なので $U\cap F^{(\beta)}=\{x\}$ となる開集合 $U\ni x$ があり、$x\in B_k\subset U$ となる $k$ について $B_k\cap F^{(\beta)}=\{x\}$ である。そこで
$$ k(x):=\min\{k\mid B_k\cap F^{(\beta(x))}=\{x\}\} $$
と定める。$k(x)=k(y)=k$ とし、$x$ と $y$ の役割を入れ替えてもよいので $\beta(x)\le\beta(y)$ とする。1 により $y\in F^{(\beta(y))}\subset F^{(\beta(x))}$ であり、$y\in B_k$ なので、$y\in B_k\cap F^{(\beta(x))}=\{x\}$、すなわち $y=x$ である。よって $x\mapsto k(x)$ は単射であり、$F\setminus F^{(\lambda)}$ は高々可算である。$\square$

thm-derived-stabilize の 3、4 により、$F=F^{(\lambda)}\sqcup(F\setminus F^{(\lambda)})$ は完全集合と高々可算集合への分解である。孤立点 の記事の定理「Cantor–Bendixson の定理」の 2 により、このような分解はただ一通りで、完全集合の側は凝縮点全体の集合 $P$ である。よって $F^{(\lambda)}=P$ である。$\square$

配置。$C\subset[0,1]$ なら $h_m(C)\subset[2^{-m},\tfrac54\cdot2^{-m}]$ である。開区間 $U_m:=(\tfrac34\cdot2^{-m},\tfrac32\cdot2^{-m})$（$m\ge1$）は互いに交わらず（$U_{m+1}$ の右端 $\tfrac34\cdot2^{-m}$ は $U_m$ の左端に等しい）、$0$ を含まず、$[2^{-m},\tfrac54\cdot2^{-m}]\subset U_m$ である。$S_n\subset[0,1]$ は $n$ についての帰納法で分かる（$S_{n+1}\subset\{0\}\cup\bigcup_m[2^{-m},\tfrac54\cdot2^{-m}]\subset[0,\tfrac58]$）。同様に $S_\omega\subset[0,1]$ である。
以下、$S$ は $S_{n+1}$ または $S_\omega$ を表し、$S=\{0\}\cup\bigcup_mC_m$、$C_m:=h_m(T_m)$（$T_m$ は $S_n$ または $S_m$）と書く。$C_m\subset U_m$ なので $S\cap U_m=C_m$ である。
段ごとに調べると、$S$ の第 $\alpha$ 導集合は「$0$ を含むかどうか」と各 $U_m$ の中の部分 $h_m(T_m^{(\alpha)})$ で決まり、そこから $S_n$ と $S_\omega$ の各段が計算できる。