正五角形と黄金比

方針：角を $36^\circ$ の倍数で追いかけ、底角が等しい二等辺三角形を見つけて長さ $1$ の線分を増やす。最後に相似な三角形の比から $\varphi$ の 2 次方程式を出す。
段 1（各頂点での角）。正五角形は凸なので、各頂点から出る 2 本の辺と 2 本の対角線は、内角の中に辺・対角線・対角線・辺の順に並ぶ（頂点 $C$ なら半直線 $CB$、$CA$、$CE$、$CD$ の順）。ex-rpg-angles と同じ計算を各頂点で行うと、どの頂点でも内角 $108^\circ$ は 2 本の対角線で $36^\circ$ ずつに 3 等分される。たとえば頂点 $C$ では、$\angle BCA=36^\circ$（三角形 $ABC$ の底角）、$\angle DCE=36^\circ$（三角形 $CDE$ は $CD=DE$ の二等辺三角形で頂角 $\angle CDE=108^\circ$）なので、$\angle ACE=108^\circ-36^\circ-36^\circ=36^\circ$ である。
段 2（三角形 $ACD$）。三角形 $ABC$ と三角形 $AED$ は、$AB=AE$、$BC=ED$、その間の角 $\angle ABC=\angle AED=108^\circ$ が等しいので合同であり、$AC=AD$ である。この長さを $d$ とおく。三角形 $ACD$ は頂角 $\angle CAD=36^\circ$ の二等辺三角形なので、底角は
$$ \angle ACD=\angle ADC=\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ $$
である。
段 3（交点 $F$ と 2 本の長さ $1$）。段 1 より $\angle ACE=36^\circ$、$\angle ACD=72^\circ$ なので、$CE$ は $\angle ACD$ を 2 等分し、三角形 $ACD$ の辺 $AD$ と点 $F$ で交わる。

• 三角形 $FCD$：$\angle FCD=72^\circ-36^\circ=36^\circ$、$\angle FDC=\angle ADC=72^\circ$ なので、$\angle CFD=180^\circ-36^\circ-72^\circ=72^\circ$ である。$\angle CFD=\angle CDF$ なので $CF=CD=1$ である。
• 三角形 $AFC$：$\angle FAC=\angle DAC=36^\circ$、$\angle FCA=\angle ECA=36^\circ$ なので、$AF=CF=1$ である。
  したがって $FD=AD-AF=d-1$ である。
  段 4（相似）。三角形 $ACD$ と三角形 $CFD$ は、角がともに $36^\circ,72^\circ,72^\circ$ なので相似であり（三角形の相似条件）、$A\leftrightarrow C$、$C\leftrightarrow F$、$D\leftrightarrow D$ と対応する。対応する辺の比が等しいので
  $$ \frac{AD}{CD}=\frac{CD}{FD},\qquad\text{すなわち}\qquad \frac d1=\frac{1}{d-1} $$
  である。分母を払うと $d(d-1)=1$、$d^2-d-1=0$ となる。$d>0$ なので $d=\dfrac{1+\sqrt5}2=\varphi$ である。
  段 5（まとめ）。$FD=d-1=\varphi-1=\dfrac1\varphi$（ex-rpg-golden-numbers の (2)）なので、$AD:AF=\varphi:1$、$AF:FD=1:\dfrac1\varphi=\varphi:1$ である。どの対角線も、段 2 の三角形 $ABC$ と合同な三角形（2 辺が $1$ で間の角が $108^\circ$）の底辺なので、長さはすべて $\varphi$ である。もう 1 本の対角線 $CE$ についても、$CE=\varphi$ と $CF=1$（段 3）から $FE=\varphi-1=\dfrac1\varphi$ なので、$CE:CF=CF:FE=\varphi:1$ であり、$CE$ も $F$ で外中比に分かれる。$\square$

段 1（$\cos36^\circ$）。prf-thm-rpg-diagonal の三角形 $AFC$ は $AF=CF=1$、底辺 $AC=\varphi$、底角 $36^\circ$ の二等辺三角形である。頂点 $F$ から底辺 $AC$ に垂線 $FM$ を下ろすと、二等辺三角形なので $M$ は $AC$ の中点で、$AM=\dfrac\varphi2$ である。直角三角形 $AMF$ で
$$ \cos36^\circ=\frac{AM}{AF}=\frac{\varphi/2}{1}=\frac\varphi2 $$
である。
段 2（$\cos72^\circ$）。三角形 $ACD$ は $AC=AD=\varphi$、底辺 $CD=1$、底角 $72^\circ$ の二等辺三角形である。$A$ から $CD$ に垂線 $AN$ を下ろすと $N$ は $CD$ の中点で、直角三角形 $ANC$ で
$$ \cos72^\circ=\frac{CN}{AC}=\frac{1/2}{\varphi}=\frac1{2\varphi}=\frac{\varphi-1}2 $$
である（$\dfrac1\varphi=\varphi-1$）。
段 3（$\sin18^\circ$）。$\sin18^\circ=\cos(90^\circ-18^\circ)=\cos72^\circ$ である。$\square$

方針：手順 2 で作る長さ $OG$ が $2\cos72^\circ$ であることを示し、手順 3 の垂直二等分線が直線 $x=\cos72^\circ$ であることを確かめる。
段 1（手順 1 が作図であること）。$y$ 軸は $O$ を通り $x$ 軸に垂直な直線として、中点 $M$ は垂直二等分線を使って作図できる（定規とコンパスによる作図 の基本の作図）。
段 2（$G$ の座標）。円の半径は
$$ MB=\sqrt{\left(0+\frac12\right)^2+(1-0)^2}=\sqrt{\frac14+1}=\frac{\sqrt5}2 $$
である。$x$ 軸の上で $M$ から右へ $\dfrac{\sqrt5}2$ 進んだ点が $G$ なので、
$$ G=\left(-\frac12+\frac{\sqrt5}2,\ 0\right)=\left(\frac{\sqrt5-1}2,\ 0\right) $$
である。$\dfrac{\sqrt5-1}2=\varphi-1>0$ なので、$G$ は確かに $x$ 軸の正の部分にある。
段 3（$P_1$、$P_4$）。$OG$ の垂直二等分線は、$OG$ の中点を通り $x$ 軸に垂直な直線
$$ x=\frac{\sqrt5-1}4 $$
である。cor-rpg-cos によりこれは $x=\cos72^\circ$ である。単位円 $x^2+y^2=1$ の上で $x=\cos72^\circ$ となる点は $(\cos72^\circ,\pm\sin72^\circ)$ の 2 つで、上側が $P_1$、下側が $(\cos(-72^\circ),\sin(-72^\circ))=(\cos288^\circ,\sin288^\circ)=P_4$ である。
段 4（$P_2$、$P_3$）。単位円の上の 2 点を結ぶ弦の長さは、その 2 点の中心角を $\theta$（$0^\circ\le\theta\le180^\circ$）とすると $2\sin\dfrac\theta2$ であり（ex-rpg-measure と同じ計算）、$\theta$ が大きいほど長い。したがって、単位円の上で $P_1$ からの距離が $P_0P_1$（中心角 $72^\circ$ の弦）に等しい点は、$P_1$ から中心角 $72^\circ$ だけ離れた点、すなわち $P_0$ と $P_2$ の 2 つである。よって手順 4 の円と単位円の交点で $P_0$ でないほうは $P_2$ である。$P_3$ も同じである。$\square$

方針：1 本の対角線が他の 2 本の対角線で 3 つの部分に分かれることを使い、真ん中の部分の長さを求める。
段 1（1 本の対角線の分かれ方）。正五角形を $ABCDE$ とし、対角線 $AD$ を考える。$AD$ は対角線 $CE$ と点 $F$ で、対角線 $BE$ と点 $H$ で交わる。thm-rpg-diagonal の 2（を $s$ 倍したもの）により $AF=s$、$FD=d-s$ である。$H$ の位置は、頂点の名前を逆向きに付けかえると分かる。五角形 $DCBAE$（頂点を逆順にたどったもの）も同じ正五角形なので、これに thm-rpg-diagonal の 2 を当てはめる。$A,B,C,D,E$ の役を $D,C,B,A,E$ がとるので、「対角線 $AD$ と $CE$ の交点」の役は「対角線 $DA$ と $BE$ の交点」、つまり $H$ がとり、$DH=s$ である。よって $AH=AD-DH=d-s$ である。
段 2（真ん中の部分）。$d<2s$（$\varphi<2$）より $AH=d-s< s=AF$ なので、$A$ から順に $H$、$F$ が並ぶ。よって
$$ HF=AF-AH=s-(d-s)=2s-d $$
である。
段 3（正五角形であること）。まず交点の並び方を確かめる。$B,C,D,E,A$ を $A,B,C,D,E$ と呼びなおすと、対角線 $BE$ が $AD$ の役を、$DA$ が $CE$ の役を、$CA$ が $BE$ の役をとる。$BE$ と $AC$ の交点を $K$ とすると、段 1・2 の $AF=s$、$AH=d-s$ にあたるのは $BH=s$、$BK=d-s$ であり、$B$ から近い順に $K$、$H$ が並ぶ。このように、どの対角線の上にも他の対角線との交点が 2 つずつあり、その間の部分（真ん中の部分）が内側の五角形の辺になる。$AD$ の上では $HF$、$BE$ の上では $KH$ なので、内側の五角形の頂点 $H$ の隣の頂点は、$F$（$H$ から見て $D$ の側）と $K$（$H$ から見て $B$ の側）である。頂点の名前を付けかえれば（上のように呼びなおすなど）どの対角線も $AD$ と同じ立場になるので、段 1・2 の計算により 5 辺はすべて $2s-d$ である。内角を調べる。頂点 $H$（$AD$ と $BE$ の交点）での内側の五角形の角は、$H$ から $F$ の向き（$D$ の向き）と $H$ から $K$ の向き（$B$ の向き）がつくる角 $\angle DHB$ である。三角形 $ABH$ で、$\angle HAB=\angle DAB=36^\circ+36^\circ=72^\circ$、$\angle HBA=\angle EBA=36^\circ$（prf-thm-rpg-diagonal の段 1：頂点での $36^\circ$ ずつの 3 等分）なので $\angle AHB=180^\circ-72^\circ-36^\circ=72^\circ$ であり、$\angle DHB=180^\circ-72^\circ=108^\circ$ である。ほかの頂点も名前の付けかえで同じ立場になるので、5 つの内角はすべて $108^\circ$ である。よって内側の五角形は正五角形で、辺の長さは $2s-d$ である。
段 4（内側の対角線）。thm-rpg-diagonal により、正五角形の対角線は辺の $\varphi$ 倍なので、内側の対角線は $\varphi(2s-d)$ である。$d=\varphi s$ と $\varphi^2=\varphi+1$ を使うと
$$ \varphi(2s-d)=\varphi(2s-\varphi s)=(2\varphi-\varphi^2)s=(2\varphi-\varphi-1)s=(\varphi-1)s=d-s $$
である。$\square$

方針：整数の比で書けたとすると、prop-rpg-inner で辺と対角線がともに整数で、もっと小さい正五角形が作れる。これをくり返すと、正の整数がいくらでも小さくなって矛盾する。
段 1（仮定）。$\varphi=\dfrac pq$（$p,q$ は正の整数）と書けたとし、そのような書き方のうち $q$ が最小のものをとる。1 辺 $q$ の正五角形を考えると、その対角線は $\varphi q=p$ である。
段 2（小さな正五角形）。prop-rpg-inner により、内側の正五角形の辺は $2q-p$、対角線は $p-q$ で、どちらも整数である。$\dfrac32<\varphi<2$ より $q< p<2q$ なので、$2q-p$ と $p-q$ は正の整数であり、$2q-p< q$ である（$p>q$ だから）。
段 3（矛盾）。内側の正五角形も正五角形なので、対角線と辺の比は $\varphi$ であり（thm-rpg-diagonal）、
$$ \varphi=\frac{p-q}{2q-p} $$
となる。これは分母 $2q-p$ が $q$ より小さい書き方であり、$q$ の最小性に反する。よって $\varphi$ は整数の比で書けない。$\square$