大沢–竹腰の拡張定理

$T(z',z_n):=(z',z_n/R)$ とおく。$v$ を $\Omega$ の連続な多重劣調和 exhaustion 関数とすると、$v\circ T^{-1}$ は $T(\Omega)$ の連続な多重劣調和 exhaustion 関数である（多重劣調和関数 の定理「正則写像による引き戻し」）。よって $T(\Omega)$ は有界な擬凸領域で、$T(\Omega)\subset\{|z_n|< 1\}$ である。$\tilde\varphi:=\varphi\circ T^{-1}$ も多重劣調和で恒等的に $-\infty$ ではない。$T$ は $H$ の上で恒等写像なので $T(\Omega)'=\Omega'$、$\tilde\varphi(z',0)=\varphi(z',0)$ である。thm-ot-main により $f$ の拡張 $\tilde F\in\mathcal O(T(\Omega))$ で $\int_{T(\Omega)}|\tilde F|^2e^{-\tilde\varphi}d\lambda\le4\pi\int_{\Omega'}|f|^2e^{-\varphi(z',0)}d\lambda'$ となるものがある。$F:=\tilde F\circ T$ は $f$ の拡張で、$T$ の実 Jacobian は $R^{-2}$ なので
$$ \int_\Omega|F|^2e^{-\varphi}d\lambda=R^2\int_{T(\Omega)}|\tilde F|^2e^{-\tilde\varphi}d\lambda\le4\pi R^2\int_{\Omega'}|f|^2e^{-\varphi(z',0)}d\lambda' $$
である。$\square$

$N:=\int_{\Omega'}|f|^2e^{-\varphi(z',0)}d\lambda'$ とおく。
段階 1：領域の近似。 擬凸領域 の定理「滑らかな強多重劣調和 exhaustion 関数」（$K$ を 1 点、$\omega=\Omega$ として使う）により、$\Omega$ 上の $C^\infty$ 級の強多重劣調和な exhaustion 関数 $\rho$ がある。Sardの定理 により $\rho$ の臨界値は測度 $0$ なので、$\rho$ の正則値の増加列 $c_1< c_2< \cdots\to\infty$ がとれる。$\Omega_j:=\{\rho< c_j\}$ とおくと、$\overline{\Omega_j}\subset\{\rho\le c_j\}$ は $\Omega$ のコンパクト部分集合で、$\Omega$ の各コンパクト集合はある $\Omega_j$ に含まれる。$\Omega_j$ の連結成分 $D$ は (S) の領域の条件を満たす。実際、$\{\rho< c_j\}$ の連結成分は $\{\rho< c_j\}$ の中で閉じているので、$c'< c_j$ について $D\cap\{\rho\le c'\}=\overline D\cap\{\rho\le c'\}$ はコンパクトである。$D$ 上の $v:=1/(c_j-\rho)$ は $C^\infty$ 級で、Levi 形式が
$$ \sum_{k,l}v_{k\bar l}t_k\bar t_l=\frac{\sum_{k,l}\rho_{k\bar l}t_k\bar t_l}{(c_j-\rho)^2}+\frac{2\bigl|\sum_k\rho_kt_k\bigr|^2}{(c_j-\rho)^3}\ge0 $$
なので多重劣調和であり（多重劣調和関数 の定理「$C^2$ 級の関数の多重劣調和性の判定」）、$a>0$ について $\{v< a\}=D\cap\{\rho< c_j-1/a\}$ の閉包は $D$ に含まれるコンパクト集合である。よって $D$ は擬凸である。
段階 2：重みの近似。 $\varphi_\varepsilon$ を 多重劣調和関数 の定理「多重劣調和関数の平滑化」の軟化とする。$\overline{\Omega_j}$ から $\mathbb C^n\setminus\Omega$ までの距離より小さい正の数の減少列 $t_j\to0$ をとり、$\Phi_j:=\varphi_{t_j}+|z|^2/j$ を $\overline{\Omega_j}$ の近傍で考える。同定理により、$\Phi_j$ は $C^\infty$ 級の強多重劣調和関数で（Levi 形式は $|t|^2/j$ 以上）、$\Phi_j\ge\varphi$ であり、$k\ge j$ なら $\Omega_j$ の上で $\Phi_k\le\Phi_j$、各点で $\Phi_j\to\varphi$ である。
段階 3：各 $\Omega_j$ で解く。 $\overline{\Omega_j}\cap H$ は $\Omega\cap H$ のコンパクト部分集合なので、$f$ はその $H$ における近傍で正則である。$\Omega_j$ の各連結成分 $D$ に (S) を $\Phi=\Phi_j$、$g=f$ で使い、得た $G$ を並べて $F_j\in\mathcal O(\Omega_j)$ とおく。$F_j$ は $f|_{\Omega_j'}$ の拡張で、連結成分は互いに交わらないので、$\Phi_j\ge\varphi$ から
$$ \int_{\Omega_j}|F_j|^2e^{-\Phi_j}d\lambda\le C\int_{\Omega_j'}|f|^2e^{-\Phi_j(z',0)}d\lambda'\le CN $$
である。
段階 4：極限。 $i\le j$ なら $\Omega_i$ の上で $\Phi_j\le\Phi_i$ なので、
$$ \int_{\Omega_i}|F_j|^2e^{-\Phi_i}d\lambda\le\int_{\Omega_j}|F_j|^2e^{-\Phi_j}d\lambda\le CN $$
である。$\Phi_i$ は $\overline{\Omega_i}$ の上で連続なので有界で、$\int_{\Omega_i}|F_j|^2d\lambda\le e^{\max\Phi_i}CN$ となる。Bergman空間 の定理「Bergman の不等式」により、$(F_j)_{j\ge i}$ は $\Omega_i$ の各コンパクト集合の上で一様に有界である。Montelの定理 を $\Omega_1,\Omega_2,\ldots$ の上で順に使って部分列をとり、対角線論法で、$\Omega$ の各コンパクト集合の上で一様収束する部分列 $(F_{j_m})$ を得る。極限 $F$ は $\Omega$ 上の正則関数で、$F(z',0)=\lim_mF_{j_m}(z',0)=f(z')$ である。$i\le k$ を固定すると、$j_m\ge k$ について $\int_{\Omega_i}|F_{j_m}|^2e^{-\Phi_k}d\lambda\le\int_{\Omega_k}|F_{j_m}|^2e^{-\Phi_k}d\lambda\le CN$ なので、Fatouの補題 により $\int_{\Omega_i}|F|^2e^{-\Phi_k}d\lambda\le CN$ である。$k\to\infty$ とすると $e^{-\Phi_k}$ は $e^{-\varphi}$ に単調に増加して収束するので、単調収束定理 により $\int_{\Omega_i}|F|^2e^{-\varphi}d\lambda\le CN$ となる。さらに $i\to\infty$ として、$\int_\Omega|F|^2e^{-\varphi}d\lambda\le CN$ を得る。$\square$

$\mathbb C^m\times\mathbb C^m$ の座標を $u:=(z+\zeta)/\sqrt2$、$v:=(z-\zeta)/\sqrt2$ に取り替える。これはユニタリ変換なので Lebesgue 測度を保つ。$k=0,1,\ldots,m$ について $S_k:=\{v_{k+1}=\cdots=v_m=0\}$ とおき、$(u,v_1,\ldots,v_k)$ を座標として $S_k=\mathbb C^{m+k}$ とみなす（これは $S_k$ の上の Euclid 計量の正規直交座標である）。$D_k:=(B_r\times B_r)\cap S_k$ は有界な凸開集合なので連結で、擬凸である（擬凸領域 の命題「凸領域と平面の領域」）。$D_{k-1}$ は $D_k$ と超平面 $\{v_k=0\}$ の交わりで、$D_k$ の上では $|v_k|\le(|z_k|+|\zeta_k|)/\sqrt2< \sqrt2\,r$ である。$D_0$ は対角 $\{(z,z)\mid z\in B_r\}$ で、その上では $u=\sqrt2z$ である。
重み $\Psi(z,\zeta):=2\nu_1w(z)+2\nu_2w(\zeta)$ は $B_r\times B_r$ 上の多重劣調和関数で、その $D_k$ への制限も多重劣調和である（多重劣調和関数 の命題「和・最大値・上限・合成・減少極限」と定理「正則写像による引き戻し」）。$w(z_0)>-\infty$ となる $z_0$ をとると $(z_0,z_0)\in D_0\subset D_k$ で $\Psi(z_0,z_0)>-\infty$ なので、制限は恒等的に $-\infty$ ではない。
$f_0(u):=f(u/\sqrt2)$ を $D_0$ 上の正則関数とする。$u=\sqrt2z$ の実 Jacobian は $2^m$ なので
$$ \int_{D_0}|f_0|^2e^{-\Psi}d\lambda(u)=2^m\int_{B_r}|f|^2e^{-2(\nu_1+\nu_2)w}d\lambda< \infty $$
である。$k=1,\ldots,m$ について順に、$S_k=\mathbb C^{m+k}$ の領域 $D_k$、超平面 $\{v_k=0\}$、重み $\Psi|_{D_k}$、関数 $f_{k-1}\in\mathcal O(D_{k-1})$ に、$v_k$ を最後の座標とみて prop-ot-width を $R=\sqrt2\,r$ で使う（$m+k\ge2$ である）。$f_{k-1}$ の拡張 $f_k\in\mathcal O(D_k)$ で
$$ \int_{D_k}|f_k|^2e^{-\Psi}d\lambda\le8\pi r^2\int_{D_{k-1}}|f_{k-1}|^2e^{-\Psi}d\lambda $$
となるものが得られる。$F(z,\zeta):=f_m(u,v)$ とおくと、$F$ は $B_r\times B_r$ 上の正則関数で、$D_0$ まで順に制限すると $f_0$ に戻るので $F(z,z)=f_0(\sqrt2z)=f(z)$ である。評価を $m$ 回つなぐと $(8\pi r^2)^m\cdot2^m=(16\pi r^2)^m$ が定数になる。$\square$

$g\in A^2(\Omega')$、$\|g\|_{\Omega'}\le1$ とする。thm-ot-main を $\varphi=0$ で使うと、$g$ の拡張 $G\in\mathcal O(\Omega)$ で $\|G\|_\Omega^2\le4\pi$ となるものがある。$G\ne0$ なら $G/\|G\|_\Omega$ に Bergman 核の性質を使って $|g(a')|^2=|G(a',0)|^2\le K_\Omega((a',0),(a',0))\,\|G\|_\Omega^2\le4\pi K_\Omega((a',0),(a',0))$ であり、$G=0$ なら $g(a')=0$ である。$g$ について上限をとればよい。$\square$