準アフィンスキーム

同義語：quasi-affine scheme

概要

準アフィンスキーム（quasi-affine scheme）とは、準コンパクトで、あるアフィンスキームの開部分スキームと同型なスキームのことである。原点を除いた平面 $\mathbb{A}^2_k\setminus\{0\}$ のようにアフィンでないものもあるが、標準的な射 $X\to\operatorname{Spec}\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ が準コンパクトな開埋め込みになることで特徴づけられ、大域切断 $f$ の消えない場所 $X_f$ のうち有限個のアフィンなもので覆えることとも同値である。準アフィンスキームは分離的で、その閉部分スキームと準コンパクトな開部分スキームも準アフィンであり、その上の準連接層はすべて大域切断で生成される。Noether スキームでは、準アフィンであることは構造層が豊富であることと同値である。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: アフィンスキーム, 開部分スキーム, 基本開集合, 準コンパクト, 大域切断

アフィンスキームの開部分スキームはアフィンとは限らない。原点を除いた平面 $\mathbb{A}^2_k\setminus\{0\}$ がその典型で、大域切断の環は $k[x,y]$ のままなのに、スキームとしては $\mathbb{A}^2_k$ より 1 点少ない（開部分スキーム の記事の命題「原点を除いたアフィン空間」）。このように「アフィンスキームの中に準コンパクトな開集合として入っている」スキームを準アフィンスキームという。準アフィンスキームはアフィンではないかもしれないが、点や開集合を大域的な関数で見分けられるという、アフィンスキームの最も大事な性質を保っている。
この記事の主定理は、準アフィン性を $X$ 自身の大域切断だけで言い換える特徴づけである。$X$ が準アフィンであることは、標準的な射 $X\to\operatorname{Spec}\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ が準コンパクトな開埋め込みであること、また大域切断 $f$ の消えない場所 $X_f$ のうち有限個のアフィンなもので $X$ が覆えることと同値である。帰結として、準アフィンスキームは分離的で、その準コンパクトな開部分スキームと閉部分スキームはまた準アフィンであり、その上の準連接層はすべて大域切断で生成される（とくに Noether なら構造層 $\mathcal{O}_X$ が豊富な可逆層である）。

定義

この記事では、スキーム $X$ と $f\in\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ について、$f$ の茎が局所環の単元になる点の集合を $X_f$ と書く（基本開集合 の記事の定義「スキームの上の基本開集合」）。$X_f$ は開集合であり、$X=\operatorname{Spec}B$ なら $X_f=D(f)$ である。

準アフィンスキーム

スキーム $X$ が準アフィン（quasi-affine）であるとは、$X$ が準コンパクトで、あるアフィンスキームの開部分スキームと同型であることをいう。準アフィンなスキームを準アフィンスキーム（quasi-affine scheme）という。

これは Stacks Definition 28.19.1（Tag 01P6、p. 2395）と同じ定義である。アフィンスキーム $\operatorname{Spec}B$ の開集合 $U$ が準コンパクトであることは、$U$ が有限個の基本開集合 $D(b_1),\dots,D(b_n)$ の和集合であることと同じである（基本開集合は開基をなすので）。

標準的な射

環 $A$ とスキーム $X$ について、スキームの射 $X\to\operatorname{Spec}A$ と環準同型 $A\to\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ は、射に大域切断の準同型を対応させることで一対一に対応する（Stacks Lemma 26.6.4、Tag 01I1、p. 2281。$X$ は局所環付き空間であればよい）。$A:=\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ の恒等写像に対応する射
$$ j_X\colon X\longrightarrow\operatorname{Spec}\Gamma(X,\mathcal{O}_X) $$
を $X$ の標準的な射とよぶ。$j_X^\sharp$ の大域切断の準同型は恒等写像なので、基本開集合 の記事の命題「スキームの上の基本開集合の性質」の 3 により、すべての $f\in A$ について
$$ j_X^{-1}(D(f))=X_f $$
である（以下これを逆像の等式とよぶ）。$X$ がアフィンなら $j_X$ は同型である（$X=\operatorname{Spec}B$ なら $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=B$ で、$j_X$ は恒等射）。

準アフィンスキームの例
  1. アフィンスキームは準アフィンである。
  2. アフィンスキーム $\operatorname{Spec}B$ の有限個の基本開集合の和集合 $D(b_1)\cup\cdots\cup D(b_n)$ は準アフィンである。とくに $k$ を体、$n\ge2$ として、原点を除いたアフィン空間 $U=\mathbb{A}^n_k\setminus\{0\}=D(x_1)\cup\cdots\cup D(x_n)$ は準アフィンである。$U$ はアフィンでなく、$\Gamma(U,\mathcal{O}_U)=k[x_1,\dots,x_n]$ である（開部分スキーム の記事の命題「原点を除いたアフィン空間」）。標準的な射 $j_U$ は包含 $U\hookrightarrow\mathbb{A}^n_k$ そのものである。
  3. 射影直線 $\mathbb{P}^1_k$ は準アフィンでない。$\Gamma(\mathbb{P}^1_k,\mathcal{O})=k$ であり（可逆層 の記事の命題「射影直線上の大域切断」で次数 $0$ の場合）、準アフィンなら下の thm-quasi-affine-scheme-characterization により $j\colon\mathbb{P}^1_k\to\operatorname{Spec}k$ は開埋め込みで単射のはずだが、$\mathbb{P}^1_k$ は 2 点以上をもつ。
  4. 原点を 2 重にした直線は分離的でないので準アフィンでない（分離射 の記事の例「反例：原点を 2 重にした直線」と、下の cor-quasi-affine-scheme-properties の 1）。

主定理：大域切断による特徴づけ

準アフィン性の特徴づけ

$X$ をスキーム、$A:=\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$、$j:=j_X\colon X\to\operatorname{Spec}A$ を標準的な射とする。次は同値である。

  1. $X$ は準アフィンである。
  2. $j$ は準コンパクトな開埋め込みである。
  3. 有限個の元 $f_1,\dots,f_n\in A$ があって、$X=X_{f_1}\cup\cdots\cup X_{f_n}$ であり、各 $X_{f_i}$ はアフィンである。
    さらに 3 が成り立つとき、$j$ は各 $X_{f_i}$ を基本開集合 $D(f_i)\subset\operatorname{Spec}A$ の上へ同型に写し、$X$ を開集合 $D(f_1)\cup\cdots\cup D(f_n)$ の上へ同型に写す。
3 から 2 が要点

2 ⇒ 1。 $j$ が準コンパクトなら $X=j^{-1}(\operatorname{Spec}A)$ は準コンパクトであり、$j$ が開埋め込みなら $X$ はアフィンスキーム $\operatorname{Spec}A$ の開部分スキーム $j(X)$ と同型である。
1 ⇒ 3。 $X$ をアフィンスキーム $\operatorname{Spec}B$ の準コンパクトな開部分スキーム $U$ と同一視する。制限写像 $\rho\colon B=\Gamma(\operatorname{Spec}B,\mathcal{O})\to\Gamma(U,\mathcal{O}_U)=A$ は包含 $U\hookrightarrow\operatorname{Spec}B$ の大域切断の準同型なので、基本開集合 の記事の命題「スキームの上の基本開集合の性質」の 3 により、$b\in B$ について $U_{\rho(b)}=U\cap D(b)$ である。基本開集合は開基をなすから、$U$ の各点 $x$ について $x\in D(b)\subset U$ となる $b$ がとれる。$U$ は準コンパクトなので、有限個の $b_1,\dots,b_n$ で $U=D(b_1)\cup\cdots\cup D(b_n)$、$D(b_i)\subset U$ となる。$f_i:=\rho(b_i)$ とおけば $X_{f_i}=U\cap D(b_i)=D(b_i)\cong\operatorname{Spec}B_{b_i}$ はアフィンで、これらが $X$ を覆う。
3 ⇒ 2（と最後の主張）。 $U_i:=X_{f_i}$ とおく。$U_i\cap U_k$ はアフィンスキーム $U_i$ の中で $f_k|_{U_i}$ の消えない場所、すなわち基本開集合 $D(f_k|_{U_i})$ なのでアフィンである。したがって $X$ は有限個のアフィン開集合 $U_1,\dots,U_n$ で覆われ、どの 2 つの共通部分もアフィンである。アフィン射 の記事の補題「主開集合の切断と局所化」により、すべての $g\in A$ について、制限写像が誘導する環準同型
$$ A_g\longrightarrow\Gamma(X_g,\mathcal{O}_X) $$
は同型である。
各 $i$ について、逆像の等式より $j^{-1}(D(f_i))=U_i$ なので、$j$ は射 $j_i\colon U_i\to D(f_i)=\operatorname{Spec}A_{f_i}$ に制限される。$j^\sharp$ の大域切断の準同型は恒等写像で、$j^\sharp$ は制限写像と可換だから、$j_i$ の大域切断の準同型は制限写像が誘導する $A_{f_i}\to\Gamma(U_i,\mathcal{O}_X)$ であり、上で見たとおり同型である。$U_i$ と $D(f_i)$ はどちらもアフィンなので、アフィンスキームの間の射と環準同型の対応（Stacks Lemma 26.6.4、Tag 01I1）により $j_i$ は同型である。
$V:=D(f_1)\cup\cdots\cup D(f_n)$ とおく。$j$ は $X$ を $V$ に写し、$V$ の開被覆 $\{D(f_i)\}$ の各元の上で $j^{-1}(D(f_i))\to D(f_i)$ が同型なので、$j\colon X\to V$ は同型である。よって $j$ は開集合 $V$ への開埋め込みである。準コンパクト性を示す。$W\subset\operatorname{Spec}A$ をアフィン開集合とすると $j^{-1}(W)\cong W\cap V=\bigcup_i(W\cap D(f_i))$ であり、$W\cap D(f_i)$ はアフィンスキーム $W$ の基本開集合 $D(f_i|_W)$ なので準コンパクトである。有限個の準コンパクト集合の和集合として $j^{-1}(W)$ は準コンパクトであり、$j$ は準コンパクトである。$\square$

この定理は Stacks Lemma 28.19.4（Tag 01P9、p. 2396）の 1 ⇔ 2 に、条件 3 を加えたものである。3 ⇒ 2 の議論は、アフィン射 の記事の命題「アフィン性の判定条件」の証明と同じ型であり、そこでは $f_i$ が単位イデアルを生成するので $V$ が $\operatorname{Spec}A$ 全体になる。
読み方。 条件 3 では、被覆に使う開集合が $X$ 上の大域的な関数 $f_i$ の消えない場所であることが本質的である。任意のスキームはアフィン開集合で覆えるが、その開集合が大域切断で切り出せるとは限らない（ex-quasi-affine-scheme-examples の 3 の $\mathbb{P}^1_k$）。準アフィンスキームは「大域的な関数で切り出したアフィン開集合を有限個貼り合わせたもの」であり、そのときの貼り合わせ方は環 $A$ が全部覚えている。

アフィンになる条件

$X$ を準アフィンスキームとする。$X$ がアフィンであることと、標準的な射 $j_X\colon X\to\operatorname{Spec}\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ が全射であることは同値である。

$X$ がアフィンなら $j_X$ は同型である。逆に $j_X$ が全射なら、thm-quasi-affine-scheme-characterization により $j_X$ は全射な開埋め込み、すなわち同型であり、$X\cong\operatorname{Spec}\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ はアフィンである。$\square$

たとえば $U=\mathbb{A}^2_k\setminus\{0\}$ では $j_U$ は包含 $U\hookrightarrow\mathbb{A}^2_k$ で原点に当たらないので、この系からも $U$ がアフィンでないことが分かる。$U$ に足りないのは、$\Gamma(U,\mathcal{O})=k[x,y]$ のスペクトルのうち $D(x)\cup D(y)$ の外にある 1 点だけである。

性質

準アフィンスキームの基本性質

$X$ を準アフィンスキームとする。

  1. $X$ は分離的である。
  2. $X$ の準コンパクトな開部分スキームは準アフィンである。
  3. $X$ の閉部分スキームは準アフィンである。
特徴づけの条件 3 を受け継ぐ

要点：1 と 2 は定義から、3 は特徴づけの条件 3 を閉部分スキームへ制限して示す。

詳細

1：$X$ をアフィンスキーム $Y$ の開部分スキームとみなす。開埋め込みはモノ射なので分離的であり、アフィンスキームは分離的なので、合成 $X\to Y\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ は分離的である（分離射 の記事の命題「モノ射とはめ込みの分離性」「アフィンスキームの射の分離性」「合成・底変換・積で閉じること」）。2：$X$ がアフィンスキーム $Y$ の開部分スキームなら、$X$ の準コンパクトな開部分スキームも $Y$ の準コンパクトな開部分スキームである。3：$Z\subset X$ を閉部分スキーム、$i\colon Z\to X$ を閉埋め込みとし、thm-quasi-affine-scheme-characterization の 3 の $f_1,\dots,f_n\in\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ をとる。$g_k:=i^\sharp(f_k)\in\Gamma(Z,\mathcal{O}_Z)$ とおくと、基本開集合 の記事の命題「スキームの上の基本開集合の性質」の 3 により $Z_{g_k}=i^{-1}(X_{f_k})$ である。これはアフィンスキーム $X_{f_k}$ の閉部分スキームなのでアフィンであり、$Z_{g_1},\dots,Z_{g_n}$ は $Z$ を覆う。よって特徴づけの 3 ⇒ 1 により $Z$ は準アフィンである。$\square$

2 では準コンパクト性を外せない（下の反例の表の 3 行目）。Stacks Lemma 28.28.2（Tag 0BCK、p. 2419）は、準アフィンスキームへの準コンパクトなはめ込みの始域が準アフィンであることを述べており、2 と 3 を合わせた形である。

準連接層は大域切断で生成される

準連接層の大域生成

$X$ を準アフィンスキーム、$\mathcal{F}$ を $X$ 上の準連接層とする。このとき $\mathcal{F}$ は大域切断で生成される。すなわち $M:=\Gamma(X,\mathcal{F})$ とおくと、$(a_m)_{m\in M}\mapsto\sum_ma_m\,m$ で定まる $\mathcal{O}_X^{\oplus M}\to\mathcal{F}$ は全射である。とくに $X$ が Noether なら、構造層 $\mathcal{O}_X$ は豊富である。

順像を経由する

$A:=\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$、$j\colon X\to\operatorname{Spec}A$ を標準的な射とする。thm-quasi-affine-scheme-characterization により $j$ は準コンパクトな開埋め込みであり、開埋め込みは分離的なので準分離でもある。したがって $j_*\mathcal{F}$ は $\operatorname{Spec}A$ 上の準連接層である（準連接層 の記事の命題「準コンパクト準分離な射による順像」）。アフィンスキーム上の準連接層は大域切断から作った加群の層なので（同記事の定理「準連接性の 3 つの特徴づけ」の 3）、$j_*\mathcal{F}\cong\widetilde{M}$ である。ここで $\Gamma(\operatorname{Spec}A,j_*\mathcal{F})=\Gamma(X,\mathcal{F})=M$ を使った。
$\widetilde{M}$ は大域切断で生成される。実際、各素イデアル $\mathfrak{p}$ での茎 $M_{\mathfrak{p}}$ の元は $m/s$（$m\in M$、$s\notin\mathfrak{p}$）の形で、$m$ の芽の $A_{\mathfrak{p}}$ 倍である。$j$ は開埋め込みなので、$j(X)$ への制限について $j^{-1}(j_*\mathcal{F})=\mathcal{F}$ であり、点 $x\in X$ での茎は $\mathcal{F}_x=(j_*\mathcal{F})_{j(x)}=M_{\mathfrak{p}}$（$\mathfrak{p}=j(x)$）、$\mathcal{O}_{X,x}=A_{\mathfrak{p}}$ である。この同一視のもとで $m\in M$ の $\widetilde{M}$ での芽は $\mathcal{F}$ の大域切断 $m$ の芽に一致する。よって各茎 $\mathcal{F}_x$ は大域切断の芽で $\mathcal{O}_{X,x}$ 加群として生成され、$\mathcal{O}_X^{\oplus M}\to\mathcal{F}$ は茎ごとに全射、したがって全射である。
$X$ が Noether のとき、任意の連接層 $\mathcal{F}$ とすべての $n\ge0$ について $\mathcal{F}\otimes\mathcal{O}_X^{n}=\mathcal{F}$ は大域切断で生成されるので、$\mathcal{O}_X$ は 豊富な可逆層 の記事の定義「豊富な可逆層の定義」の意味で豊富である。$\square$

これは Stacks Lemma 28.19.2（Tag 0EHM、p. 2395）の主張 $\widetilde{\Gamma(X,\mathcal{F})}|_X\cong\mathcal{F}$ の言い換えである。逆に、Noether スキーム $X$ の上で $\mathcal{O}_X$ が豊富なら、豊富な可逆層 の記事の定理「アフィン開集合による特徴づけ」（この記事では証明しない）の 3 を $\mathcal{L}=\mathcal{O}_X$ に当てはめると、$\mathcal{O}_X^{n}=\mathcal{O}_X$ の切断 $s_i\in\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$ で $X_{s_i}$ がアフィンで $X$ を覆うものが有限個とれる。これは thm-quasi-affine-scheme-characterization の 3 そのものなので、$X$ は準アフィンである。こうして、Noether スキーム $X$ が準アフィンであることと、$\mathcal{O}_X$ が豊富であることは同値になる。準コンパクトなスキーム一般での同値は Stacks Lemma 28.28.1（Tag 01QE、pp. 2418–2419）にある（豊富性を $X_s$ がアフィンな開集合で覆えることで定義した場合）。

準アフィン射

準アフィン射

スキームの射 $f\colon X\to S$ が準アフィン射（quasi-affine morphism）であるとは、$S$ の任意のアフィン開集合 $V$ について $f^{-1}(V)$ が準アフィンスキームであることをいう。

これは Stacks Definition 29.13.1（Tag 01SK、p. 2447）の定義である。アフィン射 は準アフィン射であり、準コンパクトな開埋め込みも準アフィン射である（アフィン開集合 $V$ の準コンパクトな開集合は準アフィンなので）。たとえば包含 $\mathbb{A}^2_k\setminus\{0\}\hookrightarrow\mathbb{A}^2_k$ は準アフィン射だがアフィン射でない（アフィン射 の記事の例「反例：原点を除いた平面」）。cor-quasi-affine-scheme-properties の 1 と、分離性が底の上で局所的であることから、準アフィン射は分離的かつ準コンパクトである（Stacks Lemma 29.13.2、Tag 01SL、p. 2447）。

反例の表

外す条件反例成り立たなくなること
被覆の開集合が大域切断の消えない場所 $X_f$ であること（thm-quasi-affine-scheme-characterization の 3。アフィン開集合の有限被覆は残す）$\mathbb{P}^1_k$ と $D_+(x_0)$、$D_+(x_1)$$X$ が準アフィンであること
被覆が有限個であること（同じく 3。$X_{f}$ がアフィンで $X$ を覆うことは残す）1 点 $\operatorname{Spec}k$ の可算無限個の非交和 $X$ と、各成分の冪等元 $e_n$$X$ が準アフィンであること
開部分スキームが準コンパクトであること（cor-quasi-affine-scheme-properties の 2）$Y=\operatorname{Spec}k[x_1,x_2,\dots]$ の開集合 $U=D(x_1)\cup D(x_2)\cup\cdots$$U$ が準アフィンであること
反例の確かめ

1 行目。 $D_+(x_0)$、$D_+(x_1)$ はアフィンで $\mathbb{P}^1_k$ を覆う。しかし $\Gamma(\mathbb{P}^1_k,\mathcal{O})=k$ なので、$f\in k$ について $X_f$ は $f\ne0$ なら $\mathbb{P}^1_k$、$f=0$ なら空集合であり、$D_+(x_i)$ は $X_f$ の形にならない。$\mathbb{P}^1_k$ が準アフィンでないことは ex-quasi-affine-scheme-examples の 3 で見た。
2 行目。 $X=\coprod_{n\ge1}\operatorname{Spec}k$ の各成分は開かつ閉なので $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=\prod_{n\ge1}k$ である。$e_n$ を第 $n$ 成分だけ $1$ の元とすると、$e_n$ は第 $n$ 成分の点でだけ単元の芽をもつので $X_{e_n}$ は第 $n$ 成分の 1 点 $\cong\operatorname{Spec}k$ でアフィンであり、これらは $X$ を覆う。しかし $X$ は無限個の点からなる離散空間なので準コンパクトでなく、準アフィンでない。
3 行目。 $U$ は $Y$ の開部分スキームで、$Y$ はアフィンである。$U$ が準コンパクトなら有限個の $D(x_1),\dots,D(x_n)$ で覆われるはずだが、素イデアル $\mathfrak{p}=(x_1,\dots,x_n,x_{n+1}-1,x_{n+2},x_{n+3},\dots)$（$k[x_1,x_2,\dots]$ を割ると $k$ になる極大イデアル）は $x_{n+1}\notin\mathfrak{p}$ なので $U$ に属するが、$x_1,\dots,x_n\in\mathfrak{p}$ なので $D(x_1)\cup\cdots\cup D(x_n)$ に属さない。よって $U$ は準コンパクトでなく、準アフィンでない。

関連項目

参考文献

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