右完全関手

2 ⇒ 1：短完全列は特に 2 の形の完全列である。
1 ⇒ 2：$u$ を像 $I=\operatorname{im}u$ を通して $u=\iota\circ p$（$p\colon A\to I$ はエピ射、$\iota\colon I\to B$ はモノ射）と分解する。完全性より $\ker v=I$ で $v$ はエピ射なので、$0\to I\xrightarrow{\iota}B\xrightarrow{v}C\to0$ は短完全列である。また $0\to\ker u\to A\xrightarrow{p}I\to0$ も短完全列である。1 を二つの短完全列に使うと、$F(I)\xrightarrow{F(\iota)}F(B)\xrightarrow{F(v)}F(C)\to0$ は完全で、$F(p)$ はエピ射である。$F(u)=F(\iota)F(p)$ で $F(p)$ がエピ射なので $\operatorname{im}F(u)=\operatorname{im}F(\iota)=\ker F(v)$ となり、2 が従う。
2 ⇔ 3：有限余極限は始対象・二つの対象の余積・余等化子から作れる（左完全関手 の記事の命題（有限極限の判定）を反対圏で読んだもの）。アーベル圏では始対象は零対象、有限余積は有限直和であり、加法関手は零対象と有限直和を保つ（加法圏 の記事の命題（加法関手による双積の保存））。二つの射 $a,b\colon X\to Y$ の余等化子は $a-b$ の余核であり、$F(a-b)=F(a)-F(b)$ である。よって $F$ が有限余極限を保つことは、余核を保つことと同値である。余核 $v\colon B\to C$ を保つことは、$F(A)\to F(B)\to F(C)\to0$ が完全であることにほかならない。$\square$

1 ⇒ 2：$b$ はエピ射なので $h\circ b=0$ なら $h=0$ であり、$b^*$ は単射である。$ba=0$ から $a^*b^*=0$ である。$g\colon X'\to Y$ が $g\circ a=0$ を満たすとする。完全性より $b$ は $a$ の余核なので、$g=h\circ b$ となる $h\colon X''\to Y$ がある。よって $\ker a^*=\operatorname{im}b^*$ である。
2 ⇒ 1：$Y=X''$ とし $\mathrm{id}_{X''}$ に $a^*b^*=0$ を当てると $ba=0$ である。$b^*$ が単射であることは $b$ がエピ射であることを意味する。最後に $c\colon X'\to Y:=\operatorname{coker}a$ を余核の射とすると $ca=0$ なので、2 の完全性から $c=h\circ b$ となる $h$ がある。よって $\ker b\subset\ker c=\operatorname{im}a$ であり、$ba=0$ と合わせて $\ker b=\operatorname{im}a$ である。$\square$

$A\xrightarrow{u}B\xrightarrow{v}C\to0$ を完全列とし、$Y$ を $\mathcal B$ の任意の対象とする。prop-rex-hom の 1 ⇒ 2 を対象 $G(Y)$ に使うと、
$$ 0\to\operatorname{Hom}(C,G(Y))\to\operatorname{Hom}(B,G(Y))\to\operatorname{Hom}(A,G(Y)) $$
は完全である。随伴の全単射は $X$ について自然なので、この列は
$$ 0\to\operatorname{Hom}(F(C),Y)\xrightarrow{F(v)^*}\operatorname{Hom}(F(B),Y)\xrightarrow{F(u)^*}\operatorname{Hom}(F(A),Y) $$
と同型であり、これも完全である。$Y$ は任意なので、prop-rex-hom の 2 ⇒ 1 により $F(A)\to F(B)\to F(C)\to0$ は完全である。prop-rex-equiv により $F$ は右完全である。$\square$

1：$\lambda_r\lambda_{r'}=\lambda_{rr'}$、$\lambda_r+\lambda_{r'}=\lambda_{r+r'}$、$\lambda_1=\mathrm{id}$ であり、$F$ は合成・和・恒等写像を保つので、$F(R)$ は $R$ 加群になる。
2（$\theta$ が定まること）：$m\mapsto\ell_m$ は加法的で $F$ は加法関手なので、$(m,x)\mapsto F(\ell_m)(x)$ は両変数について加法的である。$\ell_{rm}=\ell_m\circ\lambda_r$（$s\mapsto srm$）なので
$$ F(\ell_{rm})(x)=F(\ell_m)\bigl(F(\lambda_r)(x)\bigr)=F(\ell_m)(r\cdot x) $$
であり、$(rm,x)$ と $(m,r\cdot x)$ の値は等しい。よって $\theta_M$ は $M\otimes_RF(R)$ からの準同型として定まる。$R$ 準同型 $h\colon M\to M'$ について $h\circ\ell_m=\ell_{h(m)}$ なので $F(h)\circ\theta_M=\theta_{M'}\circ(h\otimes\mathrm{id})$ であり、$\theta$ は自然である。
2（$M=R$ のとき同型）：$R$ は可換なので $\ell_r=\lambda_r$ であり、$\theta_R(r\otimes x)=r\cdot x$ である。これは テンソル積 の記事の命題（単位・可換・結合の同型）の 1 の同型 $R\otimes_RF(R)\to F(R)$ そのものである。
2（自由加群のとき同型）：$M=R^{(I)}$ とし、$\iota_i\colon R\to R^{(I)}$ を第 $i$ 成分への包含とする。自然性から $\theta_{R^{(I)}}\circ(\iota_i\otimes\mathrm{id})=F(\iota_i)\circ\theta_R$ である。$\iota_i\otimes\mathrm{id}$ たちが誘導する $\bigoplus_i(R\otimes_RF(R))\to R^{(I)}\otimes_RF(R)$ は同型（テンソル積 の記事の命題（直和との可換性））であり、$F(\iota_i)$ たちが誘導する $\bigoplus_iF(R)\to F(R^{(I)})$ も仮定により同型である。よって $\theta_{R^{(I)}}$ は同型 $\bigoplus_i\theta_R$ をこれらの同型で挟んだものであり、同型である。
2（一般の $M$）：自由表示 $R^{(J)}\xrightarrow{a}R^{(I)}\xrightarrow{b}M\to0$ を選ぶ（$M$ の生成系で $R^{(I)}\to M$ を作り、その核の生成系で $R^{(J)}$ を作る）。テンソル積は右完全なので上の行が、$F$ は右完全なので下の行が完全であり（prop-rex-equiv）、$\theta$ の自然性から図式は可換である。
$$ \begin{array}{ccccccc} R^{(J)}\otimes_RF(R)&\xrightarrow{a\otimes1}&R^{(I)}\otimes_RF(R)&\xrightarrow{b\otimes1}&M\otimes_RF(R)&\to&0\\ \downarrow\theta_{R^{(J)}}&&\downarrow\theta_{R^{(I)}}&&\downarrow\theta_M&&\\ F(R^{(J)})&\xrightarrow{F(a)}&F(R^{(I)})&\xrightarrow{F(b)}&F(M)&\to&0 \end{array} $$
全射：$F(b)$ と $\theta_{R^{(I)}}$ は全射なので、$\theta_M\circ(b\otimes1)=F(b)\circ\theta_{R^{(I)}}$ は全射であり、$\theta_M$ も全射である。単射：$\theta_M(w)=0$ とし、$w=(b\otimes1)(v)$ と書く。$F(b)(\theta_{R^{(I)}}(v))=0$ なので、下の行の完全性から $\theta_{R^{(I)}}(v)=F(a)(y)$ となる $y$ があり、$y=\theta_{R^{(J)}}(v')$ と書ける。すると $\theta_{R^{(I)}}(v)=\theta_{R^{(I)}}((a\otimes1)(v'))$ で、$\theta_{R^{(I)}}$ は単射だから $v=(a\otimes1)(v')$ である。よって $w=(b\otimes1)(a\otimes1)(v')=0$ である。
逆：$-\otimes_RN$ が右完全であることは テンソル積 の記事の命題（テンソル積の右完全性）、直和を保つことは同じ記事の命題（直和との可換性）である。$\square$