Tate加群

$x_\nu$ は $\ell^\nu x_\nu = 0$ を満たすので、$\mathbb{Z}/\ell^\nu\mathbb{Z}$ の元 $a_\nu$ による積 $a_\nu x_\nu$ は代表元の取り方によらない。$(a_\nu x_\nu)_\nu$ が $T_\ell(M)$ に属することを見る。$a_{\nu+1}$ の代表元 $\tilde a \in \mathbb{Z}$ を取ると、$\tilde a$ は $a_\nu$ の代表元でもあるから
$$ \ell\,(a_{\nu+1} x_{\nu+1}) = \tilde a\,(\ell x_{\nu+1}) = \tilde a\, x_\nu = a_\nu x_\nu . $$
加群の公理は各成分で成り立つので $T_\ell(M)$ でも成り立つ。整数 $n$ の像は $(n \bmod \ell^\nu)_\nu$ だから、その作用は $n$ 倍である。

$\ell^{-\nu}$ の位数は $\ell^\nu$ だから $f(\ell^{-\nu}) \in M[\ell^\nu]$ であり、$\ell f(\ell^{-(\nu+1)}) = f(\ell^{-\nu})$ だから、右辺は $T_\ell(M)$ の元である。写像が準同型であることは明らか。
単射。$\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell$ は $\ell$ 準素だから、その元はある $\nu$ について $\ell^{-\nu}\mathbb{Z}_\ell/\mathbb{Z}_\ell$ に属し、この群は $\ell^{-\nu}$ で生成される。よって $f(\ell^{-\nu})$（$\nu \ge 1$）がすべて $0$ なら $f = 0$ である。
全射。$x \in T_\ell(M)$ を取る。位数 $\ell^\nu$ の巡回群 $C_\nu := \ell^{-\nu}\mathbb{Z}_\ell/\mathbb{Z}_\ell$ から $M$ への準同型 $f_\nu$ を $f_\nu(\ell^{-\nu}) := x_\nu$ で定める。$\ell^\nu x_\nu = 0$ だから well-defined である。$C_\nu \subset C_{\nu+1}$ で $\ell^{-\nu} = \ell \cdot \ell^{-(\nu+1)}$ だから
$$ f_{\nu+1}(\ell^{-\nu}) = \ell\, x_{\nu+1} = x_\nu = f_\nu(\ell^{-\nu}) $$
となり、$f_{\nu+1}$ は $f_\nu$ の延長である。$\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell = \bigcup_\nu C_\nu$ だから、これらを合わせて $f$ が定まり、$f(\ell^{-\nu}) = x_\nu$ である。

1. 各 $\nu$ で $0 \to M'[\ell^\nu] \to M[\ell^\nu] \to M''[\ell^\nu]$ は完全である（$M' \to M$ が単射で、$M$ の元が $M''$ で $0$ に写れば $M'$ から来るが、その元は $M'$ でも $\ell^\nu$ で消えるから）。逆極限は成分ごとの条件で定まるので、核と単射性は成分ごとに計算でき、極限をとっても完全性が保たれる。
2. $(M_1 \oplus M_2)[\ell^\nu] = M_1[\ell^\nu] \oplus M_2[\ell^\nu]$ で、遷移の $\ell$ 倍も成分ごとだから。

1. $x = \ell^\nu y$（$y \in T$）なら $x_\nu = \ell^\nu y_\nu = 0$ である。逆に $x_\nu = 0$ とし、$y_\mu := x_{\mu+\nu}$（$\mu \ge 1$）と置く。$\ell^\mu y_\mu = \ell^\mu x_{\mu+\nu} = x_\nu = 0$ だから $y_\mu \in M[\ell^\mu]$ であり、$\ell y_{\mu+1} = \ell x_{\mu+\nu+1} = x_{\mu+\nu} = y_\mu$ だから $y \in T$ である。さらに $(\ell^\nu y)_\mu = \ell^\nu x_{\mu+\nu} = x_\mu$ だから $x = \ell^\nu y$ である。
2. $\mathbb{Z}_\ell$ の $0$ でない元は $\ell^m u$（$u$ は単元）と書けるので、$\ell^m x = 0$ から $x = 0$ を導けばよい。$\ell^m x = 0$ は、すべての $\nu$ について $\ell^m x_{\nu+m} = 0$ を意味する。一方 $x_\nu = \ell^m x_{\nu+m}$ だから $x_\nu = 0$ である。
3. $\nu = 1$ の場合の 1 により、$x \mapsto x_1$ の核は $\ell T$ である。

well-defined であること。$\ell^{-\nu}x$ は $\ell^{-(\nu+k)}(\ell^k x)$ とも書け、このとき $\theta$ の値は $(\ell^k x)_{\nu+k} = \ell^k x_{\nu+k} = x_\nu$ で変わらない。同じ元の二つの表示 $\ell^{-\nu}x = \ell^{-\mu}y$ は、この書き換えで分母をそろえると $\ell^{-\lambda}x' = \ell^{-\lambda}y'$ となり、$T$ が捩れを持たないので $x' = y'$ である。よって値は表示によらない。分母をそろえれば和は分子の和になるので、$\theta$ は準同型である。（$\nu = 0$ の表示 $x$ は $\ell^{-1}(\ell x)$ と書き直してから $\theta$ を当てる。値は $(\ell x)_1 = 0$ である。）
核。$\theta(\ell^{-\nu}x) = 0$ は $x_\nu = 0$ であり、prop-tate-module-torsion-free の 1 により $x \in \ell^\nu T$、すなわち $\ell^{-\nu}x \in T$ と同値である。
像は $D$ に含まれる。像 $I$ の元 $x_\nu$ は $\ell^\nu x_\nu = 0$ を満たすので $I \subset M(\ell)$ である。また $\theta(\ell^{-\nu}x) = \ell\,\theta(\ell^{-(\nu+1)}x)$ だから $\ell I = I$ であり、$\ell$ 準素な群 $I$ は可除である。$D$ の最大性により $I \subset D$ である。
像は $D$ を含む。$a \in D$ を取り、$\ell^\nu a = 0$ とする。$D$ は可除だから、$y_\nu := a$ から始めて $\ell y_{\mu+1} = y_\mu$ を満たす $y_{\mu+1} \in D$（$\mu \ge \nu$）を順に選べる。$\mu < \nu$ に対しては $y_\mu := \ell^{\nu-\mu} a$ と置く。$\ell^\mu y_\mu = \ell^\nu a = 0$（$\mu \ge \nu$ でも $\ell^\mu y_\mu = \ell^\nu y_\nu = 0$）だから $y = (y_\mu) \in T$ であり、$\theta(\ell^{-\nu}y) = y_\nu = a$ である。
2. 左完全性（prop-tate-module-left-exact）により $T_\ell(D) \to T_\ell(M)$ は単射である。$x \in T$ の各成分 $x_\nu = \theta(\ell^{-\nu}x)$ は $D$ に属するので、$x$ は $T_\ell(D)$ から来る。
3. 1 により $T$ から $D$ が構成でき、2 により $D$ から $T$ が構成できる。

$\ell \cdot \ell^{-(\nu+1)} = \ell^{-\nu}$ だから $e \in T_\ell(\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell)$ である。$a \in \mathbb{Z}_\ell$ について $(ae)_\nu$ は $a\ell^{-\nu}$ の類である。
単射。$ae = 0$ なら、すべての $\nu$ で $a\ell^{-\nu} \in \mathbb{Z}_\ell$、すなわち $a \in \bigcap_\nu \ell^\nu\mathbb{Z}_\ell = 0$ である。
全射。$x \in T_\ell(\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell)$ を取る。$x_\nu$ は $\ell^{-\nu}\mathbb{Z}_\ell/\mathbb{Z}_\ell$ に属するので、$x_\nu = b_\nu \ell^{-\nu}$ となる $b_\nu \in \mathbb{Z}_\ell/\ell^\nu\mathbb{Z}_\ell = \mathbb{Z}/\ell^\nu\mathbb{Z}$ がただ一つある。$\ell x_{\nu+1} = b_{\nu+1}\ell^{-\nu}$ が $x_\nu = b_\nu\ell^{-\nu}$ に等しいので、$b_{\nu+1} \equiv b_\nu \pmod{\ell^\nu}$ である。よって $b := (b_\nu) \in \mathbb{Z}_\ell$ が定まり、$x = be$ である。

$j \ge 0$ について、写像 $M[\ell^{j+1}] \to M[\ell]$、$x \mapsto \ell^j x$ は準同型で、その核は $M[\ell^j]$ である。よって $M[\ell^{j+1}]/M[\ell^j]$ は $M[\ell]$ の部分群と同型であり、$|M[\ell^{j+1}]| \le |M[\ell^j]| \cdot |M[\ell]|$ である。$j = 0, \ldots, \nu-1$ についてこれを掛け合わせればよい。$M(\ell)$ は有限集合 $M[\ell^\nu]$ の可算個の和集合である。

$D[\ell]$ の基底 $e_1, \ldots, e_d$ を取る。$D$ は可除だから、thm-tate-module-divisible-part の証明の「像は $D$ を含む」の段（$\nu = 1$）により、$y^{(i)}_1 = e_i$ となる $y^{(i)} \in T_\ell(D)$ がある。prop-tate-module-hom により、$f_i(\ell^{-1}) = e_i$ を満たす準同型 $f_i \colon \mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell \to D$ がある。$f := (f_1, \ldots, f_d) \colon (\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell)^d \to D$、$f(t_1, \ldots, t_d) := \sum_i f_i(t_i)$ と置く。
まず、$\ell$ 準素な群 $K$ で $K[\ell] = 0$ なら $K = 0$ であることに注意する。実際 $0 \ne y \in K$ なら、$\ell^b y = 0$ となる最小の $b \ge 1$ について $\ell^{b-1}y$ は $K[\ell]$ の $0$ でない元である。
単射。$K := \ker f$ は $\ell$ 準素である。$((\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell)^d)[\ell]$ の元は $(c_1\ell^{-1}, \ldots, c_d\ell^{-1})$（$c_i \in \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}$）であり、$f$ はこれを $\sum_i c_i e_i$ に写す。$e_i$ は一次独立だから $K[\ell] = 0$、よって $K = 0$ である。
全射。像 $E$ は可除群の像だから可除で、$D[\ell]$ を含む。$\nu$ についての帰納法で $D[\ell^\nu] \subset E$ を示す。$\nu = 1$ は済んでいる。$x \in D[\ell^{\nu+1}]$ なら $\ell x \in D[\ell^\nu] \subset E$ であり、$E$ は可除だから $\ell x = \ell e$ となる $e \in E$ がある。すると $x - e \in D[\ell] \subset E$ だから $x \in E$ である。$D = \bigcup_\nu D[\ell^\nu]$ だから $E = D$ である。

1. $D[\ell] \subset M[\ell]$ は有限だから、lem-tate-module-divisible-finite-socle により $D \cong (\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell)^d$ である。thm-tate-module-divisible-part の 2、prop-tate-module-left-exact の 2、lem-tate-module-pruefer により
$$ T_\ell(M) \cong T_\ell(D) \cong T_\ell(\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell)^d \cong \mathbb{Z}_\ell^{\,d} $$
である。これらの同型はすべて $\mathbb{Z}_\ell$ 線形である（成分ごとに定まる準同型だから）。
2. $D[\ell] \subset M[\ell]$ から $d \le \dim M[\ell]$ である。$x \in T_\ell(M)$ の成分 $x_1$ は $D$ に属する（thm-tate-module-divisible-part の 2）ので、像は $D[\ell]$ に含まれる。逆に $a \in D[\ell]$ は、同じ定理の証明の「像は $D$ を含む」の段により、ある $y \in T_\ell(M)$ の成分 $y_1$ である。

$B$ の元を $b_1, b_2, \ldots$ と並べ、$A_0 := A$、$A_k := A_{k-1} + \mathbb{Z} b_k$ と置く。$g_0 := g$ から始め、$g_{k-1} \colon A_{k-1} \to E$ を $g_k \colon A_k \to E$ に延長すればよい（すべての $g_k$ を合わせたものが求める延長である）。
$\{\, t \in \mathbb{Z} \mid t b_k \in A_{k-1} \,\}$ は $\mathbb{Z}$ のイデアルなので $n\mathbb{Z}$（$n \ge 0$）と書ける。$n \ge 1$ なら、$E$ は可除だから $n c = g_{k-1}(n b_k)$ となる $c \in E$ を選ぶ。$n = 0$ なら $c := 0$ とする。$g_k(a + t b_k) := g_{k-1}(a) + t c$（$a \in A_{k-1}$、$t \in \mathbb{Z}$）と定める。
well-defined であることを確かめる。$a + t b_k = a' + t' b_k$ なら $(t - t') b_k = a' - a \in A_{k-1}$ だから $t - t' = sn$（$s \in \mathbb{Z}$）と書ける。$n = 0$ なら $t = t'$、$a = a'$ である。$n \ge 1$ なら
$$ g_{k-1}(a' - a) = g_{k-1}(s n b_k) = s\, g_{k-1}(n b_k) = s n c = (t - t') c $$
だから $g_{k-1}(a) + tc = g_{k-1}(a') + t'c$ である。$g_k$ が準同型で $g_{k-1}$ を延長することは定義から明らかである。

1. lem-tate-module-order-bound により $M(\ell)$ は可算である。$D$ は可除だから、lem-tate-module-extension により恒等写像 $D \to D$ は準同型 $\pi \colon M(\ell) \to D$ に延長できる。$R := \ker \pi$ と置くと、$\pi$ は $D$ 上で恒等だから $M(\ell) = D \oplus R$ である。
$R$ が有限であることを示す。$R$ の可除な部分群は $M(\ell)$ の可除な部分群だから $D$ に含まれ、$D \cap R = 0$ より $0$ である。よって $R_{\mathrm{div}} = 0$ であり（$R$ は $\ell$ 準素なので $R(\ell) = R$）、thm-tate-module-divisible-part の 1 により $\theta$ の像は $0$、すなわち $T_\ell(R)$ の元の成分はすべて $0$ である。
$\nu, k \ge 1$ に対し $J_{\nu,k} := \ell^{k} R[\ell^{\nu+k}] \subset R[\ell^\nu]$ と置く。$J_{\nu,k+1} = \ell^k\bigl(\ell R[\ell^{\nu+k+1}]\bigr) \subset J_{\nu,k}$ であり、$R[\ell^\nu]$ は有限（lem-tate-module-order-bound）だから、この減少列は停まる。その値を $J_\nu$ とする。$k$ を十分大きく取ると $J_\nu = J_{\nu,k+1}$、$J_{\nu+1} = J_{\nu+1,k}$ が同時に成り立ち、
$$ \ell J_{\nu+1} = \ell \cdot \ell^k R[\ell^{\nu+1+k}] = \ell^{k+1} R[\ell^{\nu+(k+1)}] = J_\nu $$
である。したがって $a \in J_1$ から出発して $\ell a_{\nu+1} = a_\nu$ を満たす $a_{\nu+1} \in J_{\nu+1}$ を順に選べ、$(a_\nu)$ は $T_\ell(R)$ の元で、その第 1 成分は $a$ である。上で見たとおり成分は $0$ だから、$J_1 = 0$ である。
一方 $J_{1,k} = \ell^k R[\ell^{k+1}] = \ell^k R \cap R[\ell]$ である（$\ell^k y \in R[\ell]$ は $y \in R[\ell^{k+1}]$ と同値だから）。よってある $k$ で $\ell^k R \cap R[\ell] = 0$ となり、$\ell$ 準素な群 $\ell^k R$ は $(\ell^k R)[\ell] = 0$ を満たすので $\ell^k R = 0$ である（lem-tate-module-divisible-finite-socle の証明の注意）。すなわち $R = R[\ell^k]$ であり、これは有限である。
2. (ii)：$[M(\ell) : D] = |R|$ は有限である。$H$ を有限指数の部分群とすると、$M(\ell)/H$ は有限な $\ell$ 準素群だから、ある $m$ で $\ell^m M(\ell) \subset H$ となる。$D$ は可除だから $D = \ell^m D \subset \ell^m M(\ell) \subset H$ である。(iii)：1 の $k$（$\ell^k R = 0$）について、$j \ge k$ なら $\ell^j M(\ell) = \ell^j D \oplus \ell^j R = D$ である。$j$ について減少する列だから、共通部分も $D$ である。
3. (a) ⇒ (b)：$M[\ell] = M(\ell)[\ell]$ は $((\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell)^n)[\ell] \cong (\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^n$ の部分群と同型で、有限である。(b) ⇒ (a)：$n := \dim_{\mathbb{F}_\ell} M[\ell]$ とし、同型 $\iota \colon M[\ell] \xrightarrow{\sim} ((\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell)^n)[\ell]$ を取る。$(\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell)^n$ は可除で $M(\ell)$ は可算だから、lem-tate-module-extension により $\iota$ は $h \colon M(\ell) \to (\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell)^n$ に延長できる。$\ker h$ は $\ell$ 準素で、$(\ker h)[\ell] = \ker \iota = 0$ だから $\ker h = 0$ である。

$M[\ell^\nu] = D[\ell^\nu] \oplus R[\ell^\nu]$ であり、$D \cong (\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell)^d$（thm-tate-module-free）だから $|D[\ell^\nu]| = \ell^{d\nu}$ である。$\ell^k R = 0$ なら $\nu \ge k$ で $R[\ell^\nu] = R$ である。最後の主張：$\dim M[\ell] = d + \dim R[\ell]$ であり、$R[\ell] = 0$ は $R = 0$（lem-tate-module-divisible-finite-socle の証明の注意）、すなわち $M(\ell) = D$ と同値である。

左側の完全性は、極限が成分ごとの条件で定まることから従う。全射性を示す。$(c_\nu) \in \varprojlim C_\nu$ を取り、$c_1$ の持ち上げ $b_1 \in B_1$ を選ぶ。$c_\nu$ の持ち上げ $b_\nu$ で遷移と両立するものが選べたとする。$c_{\nu+1}$ の持ち上げ $b'$ を一つ取ると、$b'$ の $B_\nu$ への像と $b_\nu$ の差は $C_\nu$ で $0$ に写るので $A_\nu$ に属する。遷移 $A_{\nu+1} \to A_\nu$ は全射だから、この差は $a \in A_{\nu+1}$ の像である。$b_{\nu+1} := b' - a$ は $c_{\nu+1}$ の持ち上げで、その像は $b_\nu$ である。こうして得た $(b_\nu)$ が $(c_\nu)$ の持ち上げである。

$n = \ell^\nu$ と $i = 0$ に Kummer 完全列の帰結を当て、$H^0(X, G_m) = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)^\times$、$H^1(X, G_m) \cong \operatorname{Pic}(X)$ を用いると、完全列
$$ 0 \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)^\times / \ell^\nu \to H^1(X, \mu_{\ell^\nu}) \to \operatorname{Pic}(X)[\ell^\nu] \to 0 $$
を得る。層の射 $(x \mapsto x^\ell,\ x \mapsto x^\ell,\ \mathrm{id})$ は、$n = \ell^{\nu+1}$ の Kummer 完全列から $n = \ell^\nu$ の Kummer 完全列への射である（左の四角はどちらの道でも $x \mapsto x^\ell$、右の四角はどちらの道でも $y \mapsto y^{\ell^{\nu+1}}$）。コホモロジーの長完全列の自然性により、上の短完全列の間に誘導される写像は、左端では自然な射影（右の $G_m$ の縦が恒等だから）、中央では $H^i(X,\mathbb{Z}_\ell(1))$ の定義の遷移、右端では $\ell$ 倍（中央の $G_m$ の縦が $\ell$ 乗だから）である。右端の逆系はちょうど $T_\ell(\operatorname{Pic} X)$ を定める逆系である。左端の遷移は全射だから、lem-tate-module-ml により主張の完全列を得る。$\ell$ 可除なら左端の各項は $0$ である。

$n = \ell^\nu$、$i = 1$ に Kummer 完全列の帰結を当てると $0 \to \operatorname{Pic}(X)/\ell^\nu \to H^2(X, \mu_{\ell^\nu}) \to \operatorname{Br}'(X)[\ell^\nu] \to 0$ を得る。prop-tate-module-picard の証明と同じ理由で、遷移は左端で自然な射影、右端で $\ell$ 倍である。(H1) と $\otimes \mathbb{Z}/\ell^\nu$ の右完全性から $P/\ell^\nu \to \operatorname{Pic}(X)/\ell^\nu \to \operatorname{NS}(X)/\ell^\nu \to 0$ は完全で、$P$ は可除だから $P/\ell^\nu = 0$、よって $\operatorname{Pic}(X)/\ell^\nu \cong \operatorname{NS}(X)/\ell^\nu$（遷移と両立）である。有限生成アーベル群 $N$ について $\varprojlim_\nu N/\ell^\nu N \cong N \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_\ell$ であり（構造定理により $N$ を $\mathbb{Z}$ と有限巡回群の直和に分けて、各因子で確かめられる）、その階数は $N$ の階数に等しい。lem-tate-module-ml により 1 の完全列を得る。
$n = \ell$ の場合の完全列から $\operatorname{Br}'(X)[\ell]$ は $H^2(X, \mu_\ell)$ の商であり、(H2) により有限である。thm-tate-module-free により $T_\ell(\operatorname{Br}' X) \cong \mathbb{Z}_\ell^{\,d}$（$d$ は有限）である。自由加群への全射は分裂するので 1 の列は分裂し、$H^2(X, \mathbb{Z}_\ell(1)) \cong (\operatorname{NS}(X) \otimes \mathbb{Z}_\ell) \oplus \mathbb{Z}_\ell^{\,d}$ は有限生成で、$r = \rho + d$ である。thm-tate-module-free の 1 により $\operatorname{Br}'(X)(\ell)_{\mathrm{div}} \cong (\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell)^{d}$、prop-tate-module-structure の 1 により商は有限である。