Wittベクトル
概要
Wittベクトル（Witt vector）とは、可換環の元の無限列にWitt多項式を介して通常とは異なる環構造を入れる構成である。大Wittベクトルと素数を固定した $p$ 典型Wittベクトルがあり、後者のghost写像は演算を成分ごとの演算へ移す。$p$ 捩れのない環ではghost写像は単射だが、標数 $p$ では一般に単射でない。$\mathbb{F}_p$ 上の $p$ 典型Witt環は $p$ 進整数環 $\mathbb{Z}_p$ を与える。
二種類のWittベクトル
Wittベクトルは、環の元の無限列に、成分ごとの演算とは異なる環構造を入れる構成である。代表的なものに、すべての正整数で添字づけられる大Wittベクトルと、素数 $p$ を固定して $p$ の冪だけを取り出す $p$ 典型Wittベクトルがある。本記事では両者を区別して
$$
W_{\mathrm{big}}(R),\qquad W_p(R)
$$
と書く。
「Witt環」という語は二次形式の同値類から作る環にも使われる。その環は本記事のWittベクトル環とは別物である。
大Wittベクトル
$R$ を単位元をもつ可換環とする。集合
$$
1+tR[\![t]\!]
$$
は形式的冪級数の通常の積に関して可換群になる。この群を大Wittベクトルの加法群とみなす。したがって、大Witt環での零元は冪級数 $1$ であり、Witt加法は冪級数の積である。
$R$ 上の大Wittベクトルとは $1+tR[\![t]\!]$ の元である。各元は一意的に
$$
f(t)=\prod_{n\geq 1}(1-a_nt^n)^{-1},\qquad a_n\in R
$$
と表される。この $(a_1,a_2,\ldots)$ を大Witt座標という。
無限積は $t$ 進位相で解釈する。すなわち、$t^N$ の係数を求めるときは $n\leq N$ の因子しか関係しない。
任意の $f(t)\in1+tR[\![t]\!]$ に対し、大Witt座標 $(a_n)_{n\geq1}$ が一意に存在する。
$f(t)=1+c_1t+c_2t^2+\cdots$ とする。まず $a_1=c_1$ とおけば、$f(t)(1-a_1t)$ の $t$ の係数は $0$ になる。一般に $a_1,\ldots,a_{n-1}$ を選び
$$
f(t)\prod_{i=1}^{n-1}(1-a_it^i)=1+b_nt^n+O(t^{n+1})
$$
となったとする。$a_n=b_n$ とおけば、さらに $(1-a_nt^n)$ を掛けた級数の $t^n$ の係数も $0$ になる。帰納的に得られる列は、各 $N$ について
$$
f(t)\prod_{i=1}^{N}(1-a_it^i)\equiv1\pmod {t^{N+1}}
$$
を満たすので、所望の無限積表示を与える。
別の列 $(a'_n)$ も同じ表示を与えるとする。$a_i=a'_i$ が $i< n$ で成り立つとき、両表示に $\prod_{i< n}(1-a_it^i)$ を掛けて $t^n$ の係数を比べれば $a_n=a'_n$ である。帰納法により全成分が一致する。
大Witt環の乗法は、Teichmüller型の元
$$
\langle a\rangle:=(1-at)^{-1}
$$
に対して
$$
\langle a\rangle\ast\langle b\rangle=\langle ab\rangle
$$
となり、Witt加法に関して分配的になるように定められる。この規則を任意のEuler積へ拡張すると、大Wittベクトルは関手的な可換環 $W_{\mathrm{big}}(R)$ になる。構成の完全な積公式と整係数性については Haz08 §9--§10 を参照されたい。
$f,g\in1+tR[\![t]\!]$ に対し、大Witt環での和は冪級数の積 $fg$ である。一方、大Witt環での積 $f\ast g$ は冪級数の通常の積ではない。この二つを混同してはならない。
p典型Witt多項式
以下、素数 $p$ を一つ固定する。$n\geq0$ に対して
$$
w_n(X_0,\ldots,X_n)
:=X_0^{p^n}+pX_1^{p^{n-1}}+\cdots+p^nX_n
$$
を第 $n$ Witt多項式という。最初の二つは
$$
w_0=X_0,\qquad w_1=X_0^p+pX_1
$$
である。
$R$ 上の $p$ 典型Wittベクトルの集合を
$$
W_p(R):=R^{\mathbb N}=\{(x_0,x_1,x_2,\ldots)\mid x_i\in R\}
$$
とする。写像
$$
\operatorname{gh}\colon W_p(R)\longrightarrow R^{\mathbb N},
\qquad
(x_i)_{i\geq0}\longmapsto
\bigl(w_n(x_0,\ldots,x_n)\bigr)_{n\geq0}
$$
をghost写像、その第 $n$ 成分をghost成分という。
Wittの整係数性定理によれば、整数係数多項式
$$
S_n,P_n\in
\mathbb Z[X_0,\ldots,X_n,Y_0,\ldots,Y_n]
$$
が一意に存在し、すべての $n$ について
$$
w_n(S_0,\ldots,S_n)=w_n(X_0,\ldots,X_n)+w_n(Y_0,\ldots,Y_n),
$$
$$
w_n(P_0,\ldots,P_n)=w_n(X_0,\ldots,X_n)w_n(Y_0,\ldots,Y_n)
$$
を満たす。これらの多項式で $R^{\mathbb N}$ の和と積を定めると可換環になり、ghost写像は環準同型になる。この存在定理は Ser79 第 II 章 §6、または Haz08 §5 で証明されている。
重要なのは、$R$ が標数 $p$ の環であっても $S_n,P_n$ をまず整数係数多項式として作り、それから $R$ で評価することである。$R$ の中で $p$ で割って演算を定めるのではない。
最初の二成分
第 $0$ 成分と第 $1$ 成分は具体的に計算できる。$x=(x_0,x_1,\ldots)$、$y=(y_0,y_1,\ldots)$ とすると
$$
(x+y)_0=x_0+y_0,
$$
$$
(x+y)_1=x_1+y_1-
\frac{(x_0+y_0)^p-x_0^p-y_0^p}{p},
$$
また
$$
(xy)_0=x_0y_0,
$$
$$
(xy)_1=x_0^py_1+y_0^px_1+px_1y_1
$$
である。分数を含む表示に見えるが、商は整数係数多項式である。
多項式
$$
C_p(X,Y):=\frac{(X+Y)^p-X^p-Y^p}{p}
$$
は整数係数をもち、上の第 $1$ 成分の加法・乗法公式はghost成分をそれぞれ加法・乗法に移す。
二項定理により
$$
(X+Y)^p-X^p-Y^p
=\sum_{i=1}^{p-1}\binom piX^iY^{p-i}.
$$
$p$ は素数なので $1\leq i\leq p-1$ に対して $p\mid\binom pi$ である。したがって $C_p\in\mathbb Z[X,Y]$ である。
$s_0=x_0+y_0$、$s_1=x_1+y_1-C_p(x_0,y_0)$ とおくと
$$
w_1(s_0,s_1)
=(x_0+y_0)^p+p(x_1+y_1)-pC_p(x_0,y_0)
$$
$$
=x_0^p+px_1+y_0^p+py_1
=w_1(x_0,x_1)+w_1(y_0,y_1).
$$
また $q_0=x_0y_0$、$q_1=x_0^py_1+y_0^px_1+px_1y_1$ とおけば
$$
w_1(q_0,q_1)
=x_0^py_0^p+p(x_0^py_1+y_0^px_1+px_1y_1)
$$
$$
=(x_0^p+px_1)(y_0^p+py_1)
=w_1(x_0,x_1)w_1(y_0,y_1).
$$
第 $0$ 成分については定義から直ちに成り立つ。
この公式はWitt加法が成分ごとの加法でないことを可視化する。例えば $p=2$、$R=\mathbb F_2$ では
$$
(1,0,0,\ldots)+(1,0,0,\ldots)
=(0,1,0,\ldots)
$$
となる。右辺の第 $2$ 成分以降が $0$ であることは $W_2(\mathbb F_2)\cong\mathbb Z_2$ の標準同型からも分かるが、各成分のWitt多項式から直接確かめることもできる。少なくとも最初の二成分だけでも、繰り上がりが第 $1$ Witt座標へ移る様子が見える。
ghost写像が見せるものと隠すもの
ghost写像の利点は、複雑なWitt演算を成分ごとの通常の演算へ移すことである。ただし、ghost写像は一般には単射でも全射でもない。
$R$ の加法群に $p$ 捩れがない、すなわち $pr=0$ ならば $r=0$ であるとする。このとき
$$
\operatorname{gh}\colon W_p(R)\longrightarrow R^{\mathbb N}
$$
は単射である。
$x=(x_i)$ と $y=(y_i)$ のghost成分がすべて等しいとする。$w_0(x_0)=w_0(y_0)$ より $x_0=y_0$ である。$x_i=y_i$ が $i< n$ で成り立つと仮定する。第 $n$ ghost成分の差を取ると、$i< n$ に対応する項はすべて相殺され、
$$
0=w_n(x_0,\ldots,x_n)-w_n(y_0,\ldots,y_n)
=p^n(x_n-y_n)
$$
を得る。$p$ 捩れがないという仮定を $n$ 回用いれば $x_n=y_n$ である。帰納法により $x=y$ が従う。
$R=\mathbb F_p$ とする。$R$ では $p=0$ なので
$$
w_n(x_0,\ldots,x_n)=x_0^{p^n}
$$
である。したがって非零Wittベクトル
$$
(0,1,0,0,\ldots)
$$
の全ghost成分は $0$ である。これは「ghost成分が一致すればWittベクトルも一致する」という含意が、$p$ 捩れを許す環では破れる反例である。
この反例のため、ghost成分上で公式を確認しただけでは、任意の環上のWittベクトルの等式を直ちに結論できない。普遍的な等式を証明するときは、まず整数係数多項式環のような $p$ 捩れのない環でghost写像の単射性を使い、その後に任意の環へ特殊化する方法が有効である。
Teichmüller写像とVerschiebung
$a\in R$ に対して
$$
[a]:=(a,0,0,\ldots)\in W_p(R)
$$
とおく。写像 $[\,\cdot\,]\colon R\to W_p(R)$ をTeichmüller写像という。
Teichmüller写像は一般に加法的ではないが、乗法的であり
$$
[ab]=[a][b],\qquad[1]=1
$$
を満たす。
任意の可換環 $R$ と $a,b\in R$ に対して $[ab]=[a][b]$ である。
まず普遍環 $A=\mathbb Z[X,Y]$ で考える。$A$ には $p$ 捩れがないので、ghost写像は単射である。各 $n$ について
$$
\operatorname{gh}_n([X][Y])
=X^{p^n}Y^{p^n}
=(XY)^{p^n}
=\operatorname{gh}_n([XY])
$$
だから、単射性より $[X][Y]=[XY]$ である。この等式の各座標は整数係数多項式の等式である。環準同型 $A\to R$、$X\mapsto a$、$Y\mapsto b$ で特殊化すれば $[a][b]=[ab]$ を得る。$[1]=1$ も同様である。
Verschiebung は加法写像
$$
V\colon W_p(R)\longrightarrow W_p(R),
\qquad
V(x_0,x_1,x_2,\ldots)=(0,x_0,x_1,\ldots)
$$
である。
$x\in W_p(R)$ に対して
$$
\operatorname{gh}_0(Vx)=0,\qquad
\operatorname{gh}_n(Vx)=p\operatorname{gh}_{n-1}(x)\quad(n\geq1)
$$
である。
$Vx=(0,x_0,x_1,\ldots)$ をWitt多項式へ代入すると
$$
\operatorname{gh}_n(Vx)
=p x_0^{p^{n-1}}+p^2x_1^{p^{n-2}}+\cdots+p^nx_{n-1}
$$
$$
=p\bigl(x_0^{p^{n-1}}+px_1^{p^{n-2}}+\cdots+p^{n-1}x_{n-1}\bigr)
=p\operatorname{gh}_{n-1}(x).
$$
$n=0$ では第 $0$ 座標が $0$ なので主張を得る。
切断Wittベクトルとp進整数
最初の $n$ 成分だけを残した集合 $R^n$ に、同じ普遍多項式で演算を入れた環を
$$
W_{p,n}(R)
$$
と書き、長さ $n$ の切断 $p$ 典型Witt環という。末尾を切り落とす写像
$$
W_{p,n+1}(R)\longrightarrow W_{p,n}(R)
$$
は環準同型であり、
$$
W_p(R)\cong\varprojlim_n W_{p,n}(R)
$$
である。
基本例は
$$
W_p(\mathbb F_p)\cong\mathbb Z_p,
\qquad
W_{p,n}(\mathbb F_p)\cong\mathbb Z/p^n\mathbb Z
$$
である。より一般に完全体 $k$ が標数 $p$ なら、$W_p(k)$ は剰余体 $k$ をもつ標数 $0$ の完備離散付値環を与える。この構成は混標数の局所体、結晶コホモロジー、de Rham--Witt複体で基礎的である。これらの構造定理は Ser79 第 II 章 §6 と Haz08 §6 を参照されたい。
$W_p(\mathbb F_p)\cong\mathbb Z_p$ のもとで、Teichmüller元 $[a]$ は $a$ の乗法的な代表元に対応する。Witt座標は通常の $p$ 進展開の桁と似ているが、一般の完全体では各桁をTeichmüller代表から取る。したがってWitt加法の補正項は、標数 $p$ の係数環から標数 $0$ へ持ち上げる際の繰り上がりを符号化している。
第1に、ghost写像は任意の環で同型になるわけではない。例えば $\mathbb F_p$ 上では上の反例のとおり単射でない。第2に、$W_p(R)$ の台集合は $R^{\mathbb N}$ だが、その環構造は直積環の成分ごとの環構造ではない。Witt多項式を介する補正項が本質である。
関連項目
参考文献
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