微分形式

$\omega\in\Lambda^p(V^\ast)$ とし、$\omega':=\sum_{i_1<\cdots< i_p}\omega_{i_1\cdots i_p}\theta^{i_1}\wedge\cdots\wedge\theta^{i_p}$ とおく。行列式の公式により、$j_1<\cdots< j_p$ に対して $(\theta^{i_1}\wedge\cdots\wedge\theta^{i_p})(e_{j_1},\dots,e_{j_p})=\det(\delta^{i_a}_{j_b})$ は $(i_1,\dots,i_p)=(j_1,\dots,j_p)$ のとき $1$、そうでないとき $0$ である（増加列どうしなので、一致しなければある行が零になる）。よって $\omega'(e_{j_1},\dots,e_{j_p})=\omega_{j_1\cdots j_p}=\omega(e_{j_1},\dots,e_{j_p})$ が増加列 $j_1<\cdots< j_p$ について成り立つ。交代性により、両辺は任意の $(e_{j_1},\dots,e_{j_p})$ について一致し（添字に重複があれば両辺 $0$）、多重線形性により $\omega=\omega'$ である。同じ計算は $\sum_{i_1<\cdots< i_p}c_{i_1\cdots i_p}\theta^{i_1}\wedge\cdots\wedge\theta^{i_p}=0$ ならすべての $c_{i_1\cdots i_p}=0$ であることも示すので、上の族は基底である。$1/p!$ つきの表示は、$\theta^{i_1}\wedge\cdots\wedge\theta^{i_p}$ と $\omega_{i_1\cdots i_p}$ がともに添字の置換で $\operatorname{sgn}$ 倍されることから従う。$\square$

$D$ が各変数について $\mathbb{R}$-線形であることは、$X_i(\cdot)$・Lie 括弧・$\omega$ がすべて $\mathbb{R}$-多重線形であることから明らかである。
交代性。隣り合う 2 つの変数 $X_k,X_{k+1}$ を入れ替えたものを $D'$ とすると $D'=-D$ であることを示せば、任意の置換は隣接互換の積なので交代性が従う。$D$ の第 1 の和で $i\neq k,k+1$ の項は、$\omega$ の引数のうち $X_k,X_{k+1}$ が入れ替わるので $\omega$ の交代性により符号が変わる。$i=k$ の項は、$D'$ では $(-1)^{k-1}X_{k+1}(\omega(\dots,X_{k-1},X_k,X_{k+2},\dots))$ となり、これは $D$ の $i=k+1$ の項 $(-1)^{k}X_{k+1}(\omega(\dots,X_{k-1},X_k,X_{k+2},\dots))$ の $-1$ 倍である。$i=k+1$ の項も同様に $D$ の $i=k$ の項の $-1$ 倍になる。第 2 の和で $\{i,j\}\cap\{k,k+1\}=\emptyset$ の項は $\omega$ の引数の入れ替えで符号が変わる。$(i,j)=(k,k+1)$ の項は $[X_{k+1},X_k]=-[X_k,X_{k+1}]$ により符号が変わる。$i< k$、$j=k$ の項は、$D'$ では $(-1)^{i+k}\omega([X_i,X_{k+1}],\dots,\widehat{X_i},\dots,X_{k-1},X_k,X_{k+2},\dots)$ となり、これは $D$ の $(i,k+1)$ の項 $(-1)^{i+k+1}\omega([X_i,X_{k+1}],\dots,\widehat{X_i},\dots,X_{k-1},X_k,X_{k+2},\dots)$ の $-1$ 倍である。残りの場合（$i=k$ で $j>k+1$、$i=k+1$ で $j>k+1$、$i< k$ で $j=k+1$）も同様に、$D$ の対応する項と符号だけが異なる。以上より $D'=-D$ である。
第 1 変数についての $C^\infty(M)$-線形性。$f\in C^\infty(M)$ とし、$X_1$ を $fX_1$ に置き換える。第 1 の和の $i=1$ の項は $(fX_1)(\omega(X_2,\dots))=f\,X_1(\omega(X_2,\dots))$ である。$i\ge2$ の項は $(-1)^{i-1}X_i(f\,\omega(X_1,\dots,\widehat{X_i},\dots))=(-1)^{i-1}\bigl(f\,X_i(\omega(X_1,\dots,\widehat{X_i},\dots))+X_i(f)\,\omega(X_1,\dots,\widehat{X_i},\dots)\bigr)$ である。第 2 の和で $i,j\ge2$ の項は $\omega$ の $C^\infty(M)$-線形性により $f$ 倍される。$i=1$ の項は $[fX_1,X_j]=f[X_1,X_j]-X_j(f)X_1$ により
$$(-1)^{1+j}\omega([fX_1,X_j],X_2,\dots,\widehat{X_j},\dots)=f\,(-1)^{1+j}\omega([X_1,X_j],X_2,\dots,\widehat{X_j},\dots)-(-1)^{1+j}X_j(f)\,\omega(X_1,X_2,\dots,\widehat{X_j},\dots)$$
となる。$f$ 倍された項を集めると $f\,D(X_1,\dots,X_{p+1})$ であり、残りは
$$\sum_{i\ge2}\bigl((-1)^{i-1}-(-1)^{i+1}\bigr)X_i(f)\,\omega(X_1,\dots,\widehat{X_i},\dots,X_{p+1})=0$$
である。よって $D(fX_1,X_2,\dots)=f\,D(X_1,X_2,\dots)$ となり、交代性と合わせて各変数について $C^\infty(M)$-線形である。テンソル場の特徴づけ（def-diff-form-main）により $D$ は滑らかな $(p+1)$-形式 $d\omega$ を定める。$\square$

両辺はともに $U$ 上の $(p+1)$-形式（左辺は prop-diff-form-d-tensorial）なので、座標ベクトル場の組 $(\partial_{j_0},\dots,\partial_{j_p})$ での値が一致することを示せばよい。$d\omega$ の $x\in U$ での値は引数の $x$ での値だけで決まり、また定義式の右辺の $x$ での値はベクトル場の $x$ の近傍での値だけで決まる（関数の微分と Lie 括弧は局所的な作用素である）ので、$\partial_j$ を切り落とし関数により $M$ 全体のベクトル場に延長して定義式に代入してよい。$[\partial_{j},\partial_{k}]=0$ なので定義式の第 2 の和は消え、
$$d\omega(\partial_{j_0},\dots,\partial_{j_p})=\sum_{k=0}^p(-1)^k\partial_{j_k}\bigl(\omega(\partial_{j_0},\dots,\widehat{\partial_{j_k}},\dots,\partial_{j_p})\bigr)=\sum_{k=0}^p(-1)^k\partial_{j_k}\omega_{j_0\cdots\widehat{j_k}\cdots j_p}$$
である。一方、右辺の $(dx^m\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p})(\partial_{j_0},\dots,\partial_{j_p})$ は、第 1 行が $(\delta^m_{j_0},\dots,\delta^m_{j_p})$、第 $a+1$ 行が $(\delta^{i_a}_{j_0},\dots,\delta^{i_a}_{j_p})$ の行列式であり、第 1 行で展開すると $\sum_{k=0}^p(-1)^k\delta^m_{j_k}\,dx^I(\partial_{j_0},\dots,\widehat{\partial_{j_k}},\dots,\partial_{j_p})$ になる。よって
$$\sum_{I,m}\partial_m\omega_I\,(dx^m\wedge dx^I)(\partial_{j_0},\dots,\partial_{j_p})=\sum_{k=0}^p(-1)^k\partial_{j_k}\Bigl(\sum_I\omega_I\,dx^I(\partial_{j_0},\dots,\widehat{\partial_{j_k}},\dots,\partial_{j_p})\Bigr)=\sum_{k=0}^p(-1)^k\partial_{j_k}\omega_{j_0\cdots\widehat{j_k}\cdots j_p}$$
となり（$dx^I(\partial_{\cdots})$ は定数なので微分の外に出せる）、両辺は一致する。反対称化による表示は、$dx^{i_0}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}$ が添字について完全反対称なので係数を反対称化しても和が変わらないこと、および $\omega_{i_1\cdots i_p}$ が完全反対称であることから $(p+1)\,\partial_{[i_0}\omega_{i_1\cdots i_p]}=\sum_k(-1)^k\partial_{i_k}\omega_{i_0\cdots\widehat{i_k}\cdots i_p}$ が成り立つことによる。B 方式では、左辺の定義に $\frac{1}{p+1}$ が、右辺の各 $(p+1)$ 次の外積の評価に $\frac{1}{(p+1)!}$ が、$\omega$ の展開係数と $p$ 次の外積の評価にそれぞれ $p!$ と $\frac{1}{p!}$ がかかり、同じ計算で両辺が一致する。局所性は、$W$ の各点のまわりの座標近傍で右辺が $\omega|_W$ だけから決まることから従う。$\square$

3. 添字に重複があれば $dx^{m_1}\wedge\cdots\wedge dx^{m_k}=0$ なので両辺とも $0$ である。重複がなければ、並べ替えて $dx^{m_1}\wedge\cdots\wedge dx^{m_k}=\pm dx^{I}$（$I$ は増加列）と書け、$d$ が $\mathbb{R}$-線形なので prop-diff-form-local から従う。
4. $d$ と $\wedge$ は局所的な作用素なので、座標近傍 $U$ 上で示せばよく、両辺の $\mathbb{R}$-双線形性により $\omega=f\,dx^I$、$\eta=g\,dx^J$ の場合に帰着する。関数の積の微分 $d(fg)=g\,df+f\,dg$ と (3) により
   $$d(\omega\wedge\eta)=d(fg\,dx^I\wedge dx^J)=(g\,df+f\,dg)\wedge dx^I\wedge dx^J=(df\wedge dx^I)\wedge(g\,dx^J)+f\,dg\wedge dx^I\wedge dx^J.$$
   第 1 項は $d\omega\wedge\eta$ である。第 2 項は、1-形式と $p$-形式の交換則 $dg\wedge dx^I=(-1)^p dx^I\wedge dg$ により $(-1)^p f\,dx^I\wedge dg\wedge dx^J=(-1)^p\omega\wedge d\eta$ である。
5. 局所性により座標近傍 $U$ 上で示せばよい。$\omega=\sum_I\omega_I dx^I$ とすると、prop-diff-form-local と (3) により
   $$d(d\omega)=\sum_I\sum_{m}d\Bigl(\frac{\partial\omega_I}{\partial x^m}\,dx^m\wedge dx^I\Bigr)=\sum_I\sum_{l,m}\frac{\partial^2\omega_I}{\partial x^l\partial x^m}\,dx^l\wedge dx^m\wedge dx^I$$
   である。$\omega_I$ は $C^\infty$ 級なので $\partial_l\partial_m\omega_I=\partial_m\partial_l\omega_I$ であり、一方 $dx^l\wedge dx^m=-dx^m\wedge dx^l$ なので、$(l,m)$ と $(m,l)$ の項が打ち消し合い（$l=m$ の項は $dx^l\wedge dx^l=0$）、和は $0$ である。$\square$

まず $p=0$ の場合。$f\in C^\infty(M)$、$y\in N$、$v\in T_yN$ に対し、合成写像の微分の連鎖律 $d(f\circ F)_y=df_{F(y)}\circ dF_y$ により
$$(F^\ast df)_y(v)=df_{F(y)}(dF_y(v))=d(f\circ F)_y(v)=\bigl(d(F^\ast f)\bigr)_y(v)$$
である。一般の $p$ については、$F^\ast$ が各点で定まる作用素で $d$ が局所的（prop-diff-form-local）なので、$M$ の座標近傍 $U$ と開集合 $F^{-1}(U)\subset N$ の上で示せばよい。$U$ 上で $\omega=\sum_I\omega_I\,dx^I$ と書くと、$F^\ast$ が外積と関数倍を保つことと $p=0$ の場合 $F^\ast(dx^i)=d(x^i\circ F)$ により、$F^{-1}(U)$ 上で
$$F^\ast\omega=\sum_I(\omega_I\circ F)\,d(x^{i_1}\circ F)\wedge\cdots\wedge d(x^{i_p}\circ F)$$
である。prop-diff-form-d-basic の Leibniz 則と $d(d(x^i\circ F))=0$ を繰り返し使うと
$$d(F^\ast\omega)=\sum_I d(\omega_I\circ F)\wedge d(x^{i_1}\circ F)\wedge\cdots\wedge d(x^{i_p}\circ F)=\sum_I F^\ast(d\omega_I)\wedge F^\ast(dx^{i_1})\wedge\cdots\wedge F^\ast(dx^{i_p})=F^\ast\Bigl(\sum_I d\omega_I\wedge dx^I\Bigr)=F^\ast(d\omega)$$
となる（最後に prop-diff-form-local を用いた）。$\square$

A 方式で、ベクトル場 $X_1,\dots,X_{p-1}$ での値を比べる。左辺は $\det(\alpha^i(v_j))$、ただし $v_1=X$、$v_{j+1}=X_j$ である。この行列式を第 1 列で展開すると $\sum_{k}(-1)^{k+1}\alpha^k(X)\det\bigl(\alpha^i(X_j)\bigr)_{i\neq k,\,1\le j\le p-1}$ となり、これは右辺の $(X_1,\dots,X_{p-1})$ での値である。B 方式では左辺の値が $p\cdot\frac{1}{p!}\det(\alpha^i(v_j))=\frac{1}{(p-1)!}\det(\alpha^i(v_j))$、右辺の各項の $(p-1)$ 次外積の値が $\frac{1}{(p-1)!}$ 倍の行列式になるので、同じ展開で一致する。$\square$
def-diff-form-interior-product の局所座標表示は次のように従う。$\omega=\frac{1}{p!}\sum\omega_{i_1\cdots i_p}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}$ に補題を適用すると、$k$ 番目の項は $\frac{1}{p!}\sum(-1)^{k-1}X^{i_k}\omega_{i_1\cdots i_p}dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge\widehat{dx^{i_k}}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}$ であり、$\omega$ の反対称性により $(-1)^{k-1}\omega_{i_1\cdots i_p}=\omega_{i_k i_1\cdots\widehat{i_k}\cdots i_p}$ なので、各 $k$ の項は $\frac{1}{p!}\sum_{m,J}X^m\omega_{mJ}\,dx^{J}$（$J=(j_1,\dots,j_{p-1})$ は任意の添字の並び）に等しい。$p$ 個の項の和は $\frac{1}{(p-1)!}\sum_{m,J}X^m\omega_{mJ}\,dx^{J}$ である。

$\iota_X$ は各点で定まる $C^\infty(M)$-線形な作用素なので、座標近傍上で、$\omega=f\,\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p$、$\eta=g\,\beta^1\wedge\cdots\wedge\beta^q$（$\alpha^i,\beta^j$ は座標 1-形式）の場合に示せば、双線形性により一般の場合が従う。$\omega\wedge\eta=fg\,\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p\wedge\beta^1\wedge\cdots\wedge\beta^q$ に lem-diff-form-interior-decomposable を適用すると、$\alpha^k$ を除く項の和が $(\iota_X\omega)\wedge\eta$、$\beta^l$ を除く項の和が $\sum_l(-1)^{p+l-1}\beta^l(X)\,fg\,\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p\wedge\beta^1\wedge\cdots\wedge\widehat{\beta^l}\wedge\cdots\wedge\beta^q=(-1)^p\omega\wedge(\iota_X\eta)$ である。$\iota_X\iota_X\omega(X_1,\dots,X_{p-2})=c\,\omega(X,X,X_1,\dots)=0$（$c$ は方式に応じた定数）は交代性から従う。$\square$

Leibniz 則により $d(\omega\wedge\eta)=d\omega\wedge\eta+(-1)^p\omega\wedge d\eta=0$ なので $\omega\wedge\eta$ は閉形式である。$\tau_1\in\Omega^{p-1}(M)$、$\tau_2\in\Omega^{q-1}(M)$ に対し、$d\omega=0$、$d\eta=0$ と Leibniz 則から $d(\omega\wedge\tau_2)=(-1)^p\omega\wedge d\tau_2$、$d(\tau_1\wedge\eta)=d\tau_1\wedge\eta$、$d(\tau_1\wedge d\tau_2)=d\tau_1\wedge d\tau_2$ なので
$$(\omega+d\tau_1)\wedge(\eta+d\tau_2)=\omega\wedge\eta+d\bigl((-1)^p\omega\wedge\tau_2+\tau_1\wedge\eta+\tau_1\wedge d\tau_2\bigr)$$
となり、$[(\omega+d\tau_1)\wedge(\eta+d\tau_2)]=[\omega\wedge\eta]$ である。次数つき可換性・結合性・双線形性は $\wedge$ のそれから従う。$\square$

$k$-形式 $\omega$ と $(k+1)$ 次の滑らかな特異チェイン $c$ に対し、チェインに対する Stokes の定理 $\int_c d\omega=\int_{\partial c}\omega$（thm-diff-form-stokes を標準単体に適用したもの。境界の向きの扱いを含む証明は Lee12 Ch. 18 に譲る）により
$$I(d\omega)(c)=\int_c d\omega=\int_{\partial c}\omega=I(\omega)(\partial c)=(\delta I(\omega))(c)$$
である。よって $I\circ d=\delta\circ I$ であり、$I$ は閉形式を余サイクルに、完全形式を余境界に写すので、コホモロジーの準同型を誘導する。$\square$

A 方式では $\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_p}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\alpha^{\sigma(1)}\otimes\cdots\otimes\alpha^{\sigma(p)}$ なので、
$$\langle\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p,\beta^1\wedge\cdots\wedge\beta^p\rangle_A=\sum_{\sigma,\tau\in\mathfrak{S}_p}\operatorname{sgn}(\sigma\tau)\prod_{i=1}^p g^\ast(\alpha^{\sigma(i)},\beta^{\tau(i)})$$
である。$\tau=\sigma\rho$ と置き換えると、各 $\sigma$ について $\sum_\rho\operatorname{sgn}(\rho)\prod_i g^\ast(\alpha^{\sigma(i)},\beta^{\sigma\rho(i)})=\det(g^\ast(\alpha^i,\beta^j))$ となるので、和は $p!\det(g^\ast(\alpha^i,\beta^j))=p!\langle\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p,\beta^1\wedge\cdots\wedge\beta^p\rangle_s$ である。分解可能な元が $\Lambda^p$ を張るので主張が従う。B 方式では $\alpha^1\wedge\cdots\wedge\alpha^p$ が A 方式の $\frac{1}{p!}$ 倍なので $\frac{1}{(p!)^2}\cdot p!=\frac{1}{p!}$ 倍になる。$\square$

$J:=\bigl(\partial y^i/\partial x^j\bigr)$ を座標変換のヤコビ行列とする。計量の成分は $g^x_{ij}=\sum_{k,l}\frac{\partial y^k}{\partial x^i}g^y_{kl}\frac{\partial y^l}{\partial x^j}$ と変換するので $\det(g^x)=(\det J)^2\det(g^y)$、すなわち $\sqrt{\det(g^x)}=|\det J|\sqrt{\det(g^y)}$ である。一方 $dy^i=\sum_j\frac{\partial y^i}{\partial x^j}dx^j$ と行列式の公式（def-diff-form-wedge）から $dy^1\wedge\cdots\wedge dy^n=\det J\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$ である。2 つの座標は同じ向きに適合するので $\det J>0$ であり、
$$\sqrt{\det(g^y)}\,dy^1\wedge\cdots\wedge dy^n=\sqrt{\det(g^y)}\det J\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n=\sqrt{\det(g^x)}\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$$
となる。$\square$

$\eta=\frac{1}{p!}\sum\eta_{I}dx^{I}$ とする（$I=(i_1,\dots,i_p)$ は任意の添字の並び、$\eta_I$ は完全反対称）。$dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p}\wedge dx^{k_1}\wedge\cdots\wedge dx^{k_{n-p}}=\epsilon^{i_1\cdots i_pk_1\cdots k_{n-p}}\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$（$\epsilon^{\cdots}$ は $\epsilon_{\cdots}$ と同じ値）と $dv=\sqrt{\det g}\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$ により、定義の条件は
$$\frac{1}{p!\,(n-p)!}\sum_{I,K}\eta_I(\ast\omega)_K\,\epsilon^{IK}=\frac{\sqrt{\det g}}{p!}\sum_I\eta_I\omega^I$$
となる（右辺は def-diff-form-inner-products の成分表示）。両辺は完全反対称な $\eta_I$ について線形で、係数 $\frac{1}{(n-p)!}\sum_K(\ast\omega)_K\epsilon^{IK}$ と $\sqrt{\det g}\,\omega^I$ はともに $I$ について完全反対称なので、すべての完全反対称な $\eta_I$ について等式が成り立つことは係数が一致すること
$$\frac{1}{(n-p)!}\sum_K(\ast\omega)_K\,\epsilon^{IK}=\sqrt{\det g}\,\omega^I\qquad(\text{すべての }I)$$
と同値である。両辺に $\epsilon_{IL}$（$L=(l_1,\dots,l_{n-p})$）を掛けて $I$ について和をとる。$\epsilon^{IK}\epsilon_{IL}$ が $0$ でないのは $I$ が $K$ の補集合の並べ替えで $L$ が $K$ の並べ替えのときに限り、そのような $I$ は $p!$ 通りあって各々が $K\mapsto L$ の置換の符号を与えるので、$\sum_I\epsilon^{IK}\epsilon_{IL}=p!\,\delta^{K}_{L}$（$\delta^K_L:=\sum_{\sigma}\operatorname{sgn}(\sigma)\delta^{k_1}_{l_{\sigma(1)}}\cdots\delta^{k_{n-p}}_{l_{\sigma(n-p)}}$）である。$(\ast\omega)_K$ が完全反対称なので $\frac{1}{(n-p)!}\sum_K(\ast\omega)_K\delta^K_L=(\ast\omega)_L$ となり、左辺は $p!\,(\ast\omega)_L$ になる。右辺は $\sqrt{\det g}\sum_I\omega^I\epsilon_{IL}$ である。よって $(\ast\omega)_L=\frac{\sqrt{\det g}}{p!}\sum_I\omega^I\epsilon_{IL}$ であり、添字を下げれば第 2 の表示になる。$\square$

$\nabla_{i_0}\omega_{i_1\cdots i_p}-\partial_{i_0}\omega_{i_1\cdots i_p}=-\sum_a\Gamma^k_{i_0i_a}\omega_{i_1\cdots k\cdots i_p}$ の各項は、捩れがないこと $\Gamma^k_{i_0i_a}=\Gamma^k_{i_ai_0}$ により添字 $i_0,i_a$ について対称なので、$i_0,\dots,i_p$ について反対称化すると消える。よって $\nabla_{[i_0}\omega_{i_1\cdots i_p]}=\partial_{[i_0}\omega_{i_1\cdots i_p]}$ であり、prop-diff-form-local の反対称化による表示から主張が従う。$\square$

Leibniz 則により $d(\eta\wedge\ast\omega)=d\eta\wedge\ast\omega+(-1)^{p-1}\eta\wedge d\ast\omega$ である。$\eta\wedge\ast\omega$ はコンパクト台を持つ $(n-1)$-形式なので、thm-diff-form-stokes（境界なし）により $\int_M d(\eta\wedge\ast\omega)=0$ であり、
$$\langle d\eta,\omega\rangle_M=\int_M d\eta\wedge\ast\omega=(-1)^p\int_M\eta\wedge d\ast\omega$$
となる。$d\ast\omega$ は $(n-p+1)$-形式なので fml-diff-form-hodge-identities の 3 により $d\ast\omega=(-1)^{(n-p+1)(p-1)}\ast\ast d\ast\omega$ であり、1 により $\eta\wedge\ast(\ast d\ast\omega)=\langle\eta,\ast d\ast\omega\rangle_s\,dv$ である。よって
$$\langle d\eta,\omega\rangle_M=(-1)^{p+(n-p+1)(p-1)}\int_M\langle\eta,\ast d\ast\omega\rangle_s\,dv=\bigl\langle\eta,(-1)^{p+(n-p+1)(p-1)}\ast d\ast\omega\bigr\rangle_M$$
である。$(n-p+1)(p-1)=np-n-p^2+2p-1$ と $p^2\equiv p\pmod 2$ から $p+(n-p+1)(p-1)\equiv np+n+1\pmod 2$ なので、右辺は $\langle\eta,\delta\omega\rangle_M$ に等しい。$\delta\delta\omega=\pm\ast d\ast\ast d\ast\omega=\pm\ast d\,d\ast\omega=0$ は $\ast\ast=\pm1$ と $d^2=0$ から従う。最後の主張は、$\langle\eta,\delta\omega-\theta\rangle_M=0$ がすべての $\eta$ について成り立てば $\eta=\delta\omega-\theta$ ととって $\delta\omega=\theta$ となることによる。$\square$

両辺は局所的に定まる量なので、$M$ を向きづけられた座標近傍で置き換えてよい。$\theta$ を右辺で定まる $(p-1)$-形式とする。コンパクト台を持つ任意の $\eta\in\Omega^{p-1}(M)$ に対し、prop-diff-form-d-covariant により $(d\eta)_{i_1\cdots i_p}=p\,\nabla_{[i_1}\eta_{i_2\cdots i_p]}$ であり、これを完全反対称な $\omega^{i_1\cdots i_p}$ と縮約すると反対称化を外せるので
$$\langle d\eta,\omega\rangle_s=\frac{1}{p!}\sum(d\eta)_{i_1\cdots i_p}\omega^{i_1\cdots i_p}=\frac{1}{(p-1)!}\sum\nabla_{i_1}\eta_{i_2\cdots i_p}\,\omega^{i_1i_2\cdots i_p}$$
である。$\nabla g=0$ と Leibniz 則により $\nabla_{i_1}\eta_{i_2\cdots i_p}\,\omega^{i_1\cdots i_p}=\nabla_{i_1}\bigl(\eta_{i_2\cdots i_p}\omega^{i_1\cdots i_p}\bigr)-\eta_{i_2\cdots i_p}\nabla_{i_1}\omega^{i_1\cdots i_p}$ であり、第 1 項はコンパクト台を持つベクトル場 $V^{i_1}:=\sum\eta_{i_2\cdots i_p}\omega^{i_1i_2\cdots i_p}$ の発散なので、発散定理 $\int_M\nabla_iV^i\,dv=0$（Lee12 Ch. 16）により積分すると消える。よって
$$\langle d\eta,\omega\rangle_M=-\int_M\frac{1}{(p-1)!}\sum\eta_{i_2\cdots i_p}\nabla_{i_1}\omega^{i_1i_2\cdots i_p}\,dv=\int_M\frac{1}{(p-1)!}\sum\eta_{i_2\cdots i_p}\theta^{i_2\cdots i_p}\,dv=\langle\eta,\theta\rangle_M$$
となる。prop-diff-form-codifferential-adjoint により左辺は $\langle\eta,\delta\omega\rangle_M$ なので、$\langle\eta,\delta\omega-\theta\rangle_M=0$ がコンパクト台を持つすべての $\eta$ について成り立つ。$\eta$ として $\delta\omega-\theta$ に切り落とし関数を掛けたものをとれば、正定値性により各点で $\delta\omega=\theta$ である。$\square$

1. $\Omega^q(M)$ 上で $\ast\delta=(-1)^q d\ast$、$\delta\ast=(-1)^{q+1}\ast d$ が成り立つことをまず示す。$\delta=(-1)^{nq+n+1}\ast d\ast$ と fml-diff-form-hodge-identities の 3（$d\ast\omega$ は $(n-q+1)$-形式）により $\ast\delta=(-1)^{nq+n+1+(n-q+1)(q-1)}d\ast$ であり、指数は $\bmod 2$ で $q$ に等しい（prf-diff-form-codifferential-adjoint の計算）。また $\ast\omega$ は $(n-q)$-形式なので $\delta\ast\omega=(-1)^{n(n-q)+n+1}\ast d\ast\ast\omega=(-1)^{n(n-q)+n+1+q(n-q)}\ast d\omega$ で、指数は $n^2+n+1-q^2\equiv q+1\pmod 2$ である。これらを用いると、$\omega\in\Omega^p(M)$ に対し、$\delta\omega\in\Omega^{p-1}$、$d\omega\in\Omega^{p+1}$ なので
   $$\ast d\delta\omega=(-1)^{p}\delta\ast\delta\omega=(-1)^p\delta\,(-1)^p d\ast\omega=\delta d\ast\omega,\qquad \ast\delta d\omega=(-1)^{p+1}d\ast d\omega=(-1)^{p+1}d\,(-1)^{p+1}\delta\ast\omega=d\delta\ast\omega$$
   となり、足して $\ast\Delta\omega=\Delta\ast\omega$ を得る。
2. prop-diff-form-codifferential-adjoint により $\langle\Delta\omega,\eta\rangle_M=\langle d\delta\omega,\eta\rangle_M+\langle\delta d\omega,\eta\rangle_M=\langle\delta\omega,\delta\eta\rangle_M+\langle d\omega,d\eta\rangle_M$ であり、これは $\omega,\eta$ について対称である。
3. $d\omega=\delta\omega=0$ なら明らかに $\Delta\omega=0$ である。逆に $\Delta\omega=0$ なら、(2) の計算により $0=\langle\Delta\omega,\omega\rangle_M=\|d\omega\|_M^2+\|\delta\omega\|_M^2$ であり、正定値性から $d\omega=0$、$\delta\omega=0$ である。ここで $M$ のコンパクト性（積分の存在と Stokes の定理）が本質的である。$\square$

thm-diff-form-hodge-decomposition を認めて示す。調和形式は prop-diff-form-laplacian の 3 により閉形式なので写像は定義される。全射性：閉形式 $\omega\in\Omega^p(M)$ を Hodge 分解 $\omega=\omega_H+d\eta+\delta\theta$ と書くと、$0=d\omega=d\delta\theta$ なので $0=\langle d\delta\theta,\theta\rangle_M=\langle\delta\theta,\delta\theta\rangle_M$ となり $\delta\theta=0$ である。よって $\omega=\omega_H+d\eta$ であり $[\omega]=[\omega_H]$ である。単射性：調和形式 $\omega_H$ が完全形式 $d\eta$ に等しければ、$\mathbb{H}^p(M)\perp d\Omega^{p-1}(M)$ により $\omega_H=0$ である。$\square$