Hodge対称性

同義語：ホッジ対称性Hodge symmetry

概要

前提知識: Hodge分解, Dolbeaultコホモロジー, ∂∂̄-補題, Kähler多様体, Dolbeaultラプラシアン

Hodge対称性（Hodge symmetry）とは、コンパクト Kähler 多様体 $X$ の Dolbeault コホモロジーの間に、複素共役から来る標準的な共役線形同型
$$ \sigma\colon H^{p,q}_{\bar\partial}(X)\xrightarrow{\ \cong\ }H^{q,p}_{\bar\partial}(X) $$
があることをいう。Dolbeault の定理（Dolbeaultの定理）で層コホモロジーに移すと $H^q(X,\Omega^p_X)$ と $H^p(X,\Omega^q_X)$ が共役線形に同型ということであり、とくに Hodge 数（Hodge数）について
$$ h^{p,q}(X)=h^{q,p}(X) $$
が成り立つ。de Rham コホモロジーの側では、Hodge 分解 $H^k(X,\mathbb C)=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}(X)$（Hodge分解）の成分が複素共役で $\overline{H^{p,q}(X)}=H^{q,p}(X)$ と移り合うことに当たる。
Hodge 対称性は、奇数次の Betti 数が偶数であることや、$H^p(X,\mathcal O_X)$ が正則 $p$ 形式の共役で表されることなど、コンパクト Kähler 多様体の位相と複素構造に強い制約を与える。また、Hodge 構造（Hodge構造）の定義で分解に課される条件は、この対称性を抽象化したものである。Kähler でないコンパクト複素多様体では Dolbeault コホモロジーの次元の対称性は一般に破れ、Hopf 曲面では $h^{1,0}=0$ だが $h^{0,1}\ge1$ である（ex-hsym-hopf）。
この記事では、Hodge 対称性を $\partial\bar\partial$-補題（∂∂̄-補題）から計量を使わずに導き、正則形式による $H^p(X,\mathcal O_X)$ の記述と、任意のコンパクト複素多様体で成り立つ 1 次の不等式 $2c\le b_1\le c+h^{0,1}$ を証明する。

2 つの水準

$X$ を複素次元 $n$ のコンパクト複素多様体とし、$\mathcal A^{p,q}(X)$ を $C^\infty$ 級の $(p,q)$ 形式の空間とする。複素共役 $\alpha\mapsto\bar\alpha$ は $\mathcal A^{p,q}(X)$ から $\mathcal A^{q,p}(X)$ への共役線形な全単射で、$\overline{d\alpha}=d\bar\alpha$、$\overline{\partial\alpha}=\bar\partial\bar\alpha$ をみたす。Hodge 対称性には、どのコホモロジーについて述べるかで 2 つの水準がある。

Hodge 対称性の 2 つの水準

（de Rham の水準）$H^k(X,\mathbb C)=H^k_{dR}(X;\mathbb R)\otimes_{\mathbb R}\mathbb C$ の複素共役について、Hodge分解の定義「Hodge 成分」の部分空間 $H^{p,q}(X)$（型 $(p,q)$ の $d$ 閉形式で代表される類の全体）が $\overline{H^{p,q}(X)}=H^{q,p}(X)$ をみたすこと。
（Dolbeault の水準）共役線形な同型 $H^{p,q}_{\bar\partial}(X)\cong H^{q,p}_{\bar\partial}(X)$ があること。とくに $h^{p,q}(X)=h^{q,p}(X)$（$h^{p,q}(X):=\dim_{\mathbb C}H^{p,q}_{\bar\partial}(X)$）であること。

1 はどのコンパクト複素多様体でも定義から成り立つ。型 $(p,q)$ の $d$ 閉形式の共役は型 $(q,p)$ の $d$ 閉形式だからである（Hodge分解の証明の後の段落が同じことを述べている）。ただし Kähler でなければ $H^{p,q}(X)$ たちは $H^k(X,\mathbb C)$ を張るとは限らず、Dolbeault コホモロジーとも一致しない。内容のある主張は 2 の方であり、以下「Hodge 対称性」は主に 2 を指す。

素朴な共役は定義されない

Dolbeault コホモロジーの類 $[\alpha]$ に $[\bar\alpha]$ を対応させる写像は、一般には意味をもたない。$\bar\partial$ 閉な形式の共役は $\partial$ 閉だが、$\bar\partial$ 閉とは限らないからである。

楕円曲線上の $\bar\partial f$

$E:=\mathbb C/(\mathbb Z+i\mathbb Z)$、$f(x+iy):=\cos(2\pi x)$ とおく。$\alpha:=\bar\partial f$ は $\bar\partial$ 閉な $(0,1)$ 形式で、Dolbeault 類は $0$ である。一方 $f$ は実数値なので $\bar\alpha=\partial f$ であり、
$$ \bar\partial\bar\alpha=\bar\partial\partial f=-\partial\bar\partial f=\pi^2\cos(2\pi x)\,dz\wedge d\bar z\neq0 $$
である（$\partial\bar\partial f=\frac14(f_{xx}+f_{yy})\,dz\wedge d\bar z$）。したがって $\bar\alpha$ は $\bar\partial$ 閉でなく、Dolbeault 類を定めない。

この例が示すように、Dolbeault 類の共役を考えるには、類の中から $d$ 閉な代表を選び、その選び方によらないことを確かめる必要がある。それを保証するのが $\partial\bar\partial$-補題である。

主定理

Hodge 対称性

$X$ を $\partial\bar\partial$-補題をみたすコンパクト複素多様体（∂∂̄-補題の定義「$\partial\bar\partial$-補題が成り立つ多様体」）とする。とくに $X$ がコンパクト Kähler 多様体ならよい。

$H^{p,q}_{\bar\partial}(X)$ の各類は $d$ 閉な代表をもつ。
共役線形な写像 $\sigma\colon H^{p,q}_{\bar\partial}(X)\to H^{q,p}_{\bar\partial}(X)$ で、$d$ 閉なすべての $\alpha\in\mathcal A^{p,q}(X)$ について
$$ \sigma[\alpha]=[\bar\alpha] $$
をみたすものがただ 1 つある。
$\sigma\circ\sigma=\mathrm{id}$ であり、$\sigma$ は全単射である。とくに $h^{p,q}(X)=h^{q,p}(X)$ である。
$\sigma$ は、∂∂̄-補題の定理「Bott–Chern コホモロジーとの比較」の同型 $H^{p,q}_{\bar\partial}(X)\cong H^{p,q}(X)\subset H^{p+q}(X,\mathbb C)$ を通して、de Rham コホモロジーの複素共役に一致する。

主定理の証明

Bott–Chern コホモロジー $H^{p,q}_{BC}(X)$ と自然な写像 $\iota_{\bar\partial}\colon H^{p,q}_{BC}(X)\to H^{p,q}_{\bar\partial}(X)$、$\iota_{dR}\colon H^{p,q}_{BC}(X)\to H^{p+q}(X,\mathbb C)$ を ∂∂̄-補題の記事の定義「Bott–Chern コホモロジー」のとおりとする。同記事の定理「Bott–Chern コホモロジーとの比較」により、$X$ が $\partial\bar\partial$-補題をみたせば $\iota_{\bar\partial}$ は同型で、$\iota_{dR}$ は単射である。
1．$\iota_{\bar\partial}$ が全射であることの言い換えである。
2．Bott–Chern コホモロジーの上では、複素共役 $\kappa\colon H^{p,q}_{BC}(X)\to H^{q,p}_{BC}(X)$、$[u]\mapsto[\bar u]$ が定義される（$\overline{\partial\bar\partial v}=\partial\bar\partial(-\bar v)$ なので、$\partial\bar\partial$ 完全な形式の共役は $\partial\bar\partial$ 完全）。そこで
$$ \sigma:=\iota_{\bar\partial}\circ\kappa\circ\iota_{\bar\partial}^{-1} $$
とおく。$\sigma$ は共役線形である。$d$ 閉な $\alpha\in\mathcal A^{p,q}(X)$ については $\iota_{\bar\partial}^{-1}[\alpha]=[\alpha]_{BC}$ なので、$\sigma[\alpha]=\iota_{\bar\partial}[\bar\alpha]_{BC}=[\bar\alpha]$ である。一意性は 1 による：条件 $\sigma[\alpha]=[\bar\alpha]$ は $d$ 閉な代表をもつすべての類、すなわちすべての類で $\sigma$ の値を決める。
3．$\kappa\circ\kappa=\mathrm{id}$ から $\sigma\circ\sigma=\iota_{\bar\partial}\kappa\kappa\iota_{\bar\partial}^{-1}=\mathrm{id}$ である。よって $\sigma$ は全単射で、逆写像は（$H^{q,p}_{\bar\partial}$ から $H^{p,q}_{\bar\partial}$ への同じ形の写像である）$\sigma$ 自身である。共役線形な全単射は複素次元を保つので $h^{p,q}=h^{q,p}$ である。
4．$d$ 閉な $\alpha\in\mathcal A^{p,q}(X)$ について、$[\alpha]\in H^{p,q}_{\bar\partial}(X)$ に対応する de Rham 類は $[\alpha]_{dR}$、$\sigma[\alpha]=[\bar\alpha]$ に対応する de Rham 類は $[\bar\alpha]_{dR}=\overline{[\alpha]_{dR}}$ である。1 によりすべての類がこの形なので、主張が従う。$\square$

証明が使ったのは、Bott–Chern コホモロジーには共役が自然にあり、$\partial\bar\partial$-補題のもとで Bott–Chern コホモロジーと Dolbeault コホモロジーが一致する、という 2 点だけである。したがって $\sigma$ は計量を選ばずに定まる。Kähler 計量を選ぶと、$\sigma$ は調和形式の共役として具体的に書ける。

調和形式による記述

$X$ をコンパクト Kähler 多様体、$h$ を Kähler 計量とし、$\mathcal H^{p,q}(X)$ を $h$ に関する Dolbeault 調和形式の空間とする。$\eta\in\mathcal H^{p,q}(X)$ ならば $\bar\eta\in\mathcal H^{q,p}(X)$ であり、$\sigma[\eta]=[\bar\eta]$ である。すなわち、調和形式の空間の上では $\sigma$ は単に複素共役である。

Kählerの恒等式の定理「Laplace 作用素の関係」により $\Delta=2\Delta_{\bar\partial}$ で、$\Delta$ は複素共役と可換である。よって $\Delta_{\bar\partial}\eta=0$ なら $\Delta\bar\eta=\overline{\Delta\eta}=0$、すなわち $\bar\eta\in\mathcal H^{q,p}(X)$ である。また、コンパクト多様体上で $\Delta\eta=0$ なら $d\eta=0$ である（Laplace–de Rham作用素の定理「閉多様体上の調和形式の特徴づけ」）。$\eta$ は $d$ 閉なので、thm-hsym-main の 2 により $\sigma[\eta]=[\bar\eta]$ である。$\square$

Hodge分解の証明の（d）は、この系の形（調和形式の共役）で de Rham の水準の対称性を示している。主定理は、その対応が Kähler 計量の選び方によらないことを保証する。定理は Dem12 Ch. VI Theorem (8.5)（p. 311、Hodge symmetry）と Corollary (8.7)（p. 312）、Wel08 Ch. V Theorem 5.1 (5.2)（p. 197）にある。

正則形式と $H^p(X,\mathcal O_X)$

$(p,0)$ 形式の Dolbeault コホモロジーには割る部分がない（$\mathcal A^{p,-1}(X)=0$）ので、$H^{p,0}_{\bar\partial}(X)$ は正則 $p$ 形式の空間 $\Omega^p(X):=\{\eta\in\mathcal A^{p,0}(X)\mid\bar\partial\eta=0\}$ そのものである。Hodge 対称性を $(p,0)$ と $(0,p)$ に当てると、構造層のコホモロジーが正則形式で具体的に書ける。

正則形式による $H^{0,p}$ の記述

$X$ をコンパクト Kähler 多様体とし、$0\le p\le n$ とする。

写像 $\Omega^p(X)\to H^{0,p}_{\bar\partial}(X)$、$\eta\mapsto[\bar\eta]$ は共役線形な同型である。
$H^{0,p}_{\bar\partial}(X)$ の各類は、反正則な $p$ 形式（正則 $p$ 形式の共役）をただ 1 つ含む。それは、どの Kähler 計量についても、その類の Dolbeault 調和形式である。
したがって Dolbeault の定理と合わせて $H^p(X,\mathcal O_X)\cong\overline{\Omega^p(X)}$ であり、$h^{0,p}(X)=h^{p,0}(X)=\dim\Omega^p(X)$ である。

1．$\eta\in\Omega^p(X)$ は $d$ 閉である（Kählerの恒等式の系「コンパクト Kähler 多様体上の正則形式と Kähler 形式の冪」の 1）。よって thm-hsym-main の 2 により、$H^{p,0}_{\bar\partial}(X)=\Omega^p(X)$ の元 $[\eta]=\eta$ について $\sigma(\eta)=[\bar\eta]$ である。すなわち、問題の写像は $\sigma\colon H^{p,0}_{\bar\partial}(X)\to H^{0,p}_{\bar\partial}(X)$ そのものであり、同定理の 3 により共役線形な同型である。
2．存在は 1 の全射性である。一意性：反正則な $\bar\eta$、$\bar\eta'$ が同じ類に属せば、1 の単射性から $\eta=\eta'$ である。最後に、Kähler 計量 $h$ を選ぶと $\eta$ は $\Delta_{\bar\partial}$ 調和である（$(p,0)$ 形式の上で $\Delta_{\bar\partial}=\bar\partial^*\bar\partial$。Dolbeaultラプラシアンの命題「非負性と調和形式の特徴づけ」の後の段落）。cor-hsym-harmonic により $\bar\eta$ も調和であり、各類の調和形式はただ 1 つ（同記事の主定理の 3）なので、それが $\bar\eta$ である。
3．Dolbeault の定理 $H^p(X,\mathcal O_X)\cong H^{0,p}_{\bar\partial}(X)$ と 1 による。$\square$

$p=1$ では、$H^1(X,\mathcal O_X)$ は正則 1 形式の共役で張られる。この記述は、$X$ の Picard 多様体と Albanese 多様体（Dem12 Ch. VI §9、pp. 313–316）の構成の出発点である。

例

複素トーラス．$X=\mathbb C^n/\Lambda$ では、正則 $p$ 形式は定数係数の $\sum_Ic_I\,dz_I$（$|I|=p$）であり、1 により $H^{0,p}_{\bar\partial}(X)$ は定数係数の $\sum_Jc_J\,d\bar z_J$ の類で張られる。これは平坦な計量の Dolbeault 調和形式が定数係数の形式であること（Dolbeaultラプラシアンの例「複素トーラス」）と一致し、$h^{0,p}=h^{p,0}=\binom np$ である。
コンパクト Riemann 面．種数 $g$ の連結なコンパクト Riemann 面 $C$ では $H^1(C,\mathcal O_C)\cong\overline{\Omega^1(C)}$ で、$h^{0,1}=h^{1,0}=g$ である。
射影空間．$\mathbb P^n$ では $h^{p,0}=0$（$p\ge1$。Hodge分解の例「複素射影空間の Hodge 数」）なので、$\mathbb P^n$ 上には $0$ でない正則 $p$ 形式（$p\ge1$）がなく、3 により $H^p(\mathbb P^n,\mathcal O)=0$（$p\ge1$）である。

1 次の不等式と Hopf 曲面

Kähler でない多様体では Hodge 対称性がどう破れるかを、1 次のコホモロジーで調べる。次の不等式は任意のコンパクト複素多様体で成り立ち、計量も調和形式も使わない。

1 次の Betti 数の評価

$X$ を連結なコンパクト複素多様体、$b_1:=\dim_{\mathbb C}H^1_{dR}(X;\mathbb C)$ とし、$c$ を $d$ 閉な正則 1 形式のなす空間 $\Omega^1_{\mathrm{cl}}(X):=\{\eta\in\Omega^1(X)\mid d\eta=0\}$ の次元とする。このとき
$$ 2c\le b_1\le c+h^{0,1} $$
である。とくに $c\le h^{0,1}$ である。

$2c\le b_1$．写像 $\Phi\colon\Omega^1_{\mathrm{cl}}(X)\oplus\overline{\Omega^1_{\mathrm{cl}}(X)}\to H^1_{dR}(X;\mathbb C)$、$(\eta,\bar\theta)\mapsto[\eta+\bar\theta]$ が単射であることを示す（$\bar\theta$ は $d$ 閉な反正則 1 形式で、$\eta+\bar\theta$ は $d$ 閉）。$\eta+\bar\theta=df$ とすると、型を比べて $\partial f=\eta$、$\bar\partial f=\bar\theta$ である。$\eta$ は正則なので $\bar\partial\partial f=\bar\partial\eta=0$、すなわち $\partial\bar\partial f=0$ である。∂∂̄-補題の系「実 $(1,1)$ 形式の $\partial\bar\partial$-補題」の一意性の証明（座標の上で調和関数になり、最大値原理が使える）は $\partial\bar\partial\varphi=0$ しか使わない。$\partial\bar\partial\bar f=-\overline{\partial\bar\partial f}=0$ なので $f$ の実部と虚部はどちらも $\partial\bar\partial$ で消え、したがって定数であり、$f$ は定数である（BHPV04 Ch. IV Lemma (2.2)、p. 138）。よって $\eta=\bar\theta=0$ で、$\Phi$ は単射である。定義域の次元は $2c$ である。
$b_1\le c+h^{0,1}$．写像 $\Psi\colon H^1_{dR}(X;\mathbb C)\to H^{0,1}_{\bar\partial}(X)$、$[\alpha]\mapsto[\alpha^{0,1}]$ を考える（$\alpha^{0,1}$ は $\alpha$ の $(0,1)$ 成分）。$d\alpha=0$ の $(0,2)$ 成分は $\bar\partial\alpha^{0,1}=0$ なので $\alpha^{0,1}$ は Dolbeault 類を定め、$\alpha=df$ なら $\alpha^{0,1}=\bar\partial f$ なので $\Psi$ は矛盾なく定まる。$\Psi[\alpha]=0$、すなわち $\alpha^{0,1}=\bar\partial f$ とすると、$\alpha':=\alpha-df$ は $d$ 閉で $(0,1)$ 成分が $0$、つまり $(1,0)$ 形式である。$d\alpha'=0$ の $(1,1)$ 成分は $\bar\partial\alpha'=0$ なので、$\alpha'$ は $d$ 閉な正則 1 形式である。よって $\ker\Psi$ は $\Omega^1_{\mathrm{cl}}(X)$ の像に含まれ、$b_1=\dim\ker\Psi+\dim\operatorname{im}\Psi\le c+h^{0,1}$ である。
2 つの不等式から $2c\le c+h^{0,1}$、すなわち $c\le h^{0,1}$ を得る。$\square$

コンパクト Kähler 多様体ではすべての正則形式が $d$ 閉なので $c=h^{1,0}$ であり、不等式は $2h^{1,0}\le b_1\le h^{1,0}+h^{0,1}$ となる。Hodge 対称性 $h^{0,1}=h^{1,0}$ のもとで両端が一致し、$b_1=2h^{1,0}$ を得る（Hodge分解の命題「Hodge 数の関係」と同じ結論）。コンパクト複素曲面では正則 1 形式はつねに $d$ 閉で、同じ不等式が BHPV04 Ch. IV Lemma (2.6)（p. 139）の証明にある（補題の主張はそこから従う $2h^{1,0}\le h^{0,1}+h^{1,0}\le2h^{0,1}$）。

反例：Hopf 曲面

$X:=(\mathbb C^2\setminus\{0\})/\langle z\mapsto2z\rangle$ を Hopf 曲面とする。Hodge分解の例「反例：Hopf 曲面」で示されているとおり、$X$ はコンパクト複素曲面で $S^3\times S^1$ に微分同相であり、$b_1=1$、$\Omega^1(X)=0$ である。したがって $c=h^{1,0}=0$ で、prop-hsym-first-betti により
$$ h^{0,1}\ge b_1-c=1>0=h^{1,0} $$
である。

満たす性質：コンパクト複素多様体であり、de Rham の水準の対称性 $\overline{H^{1,0}(X)}=H^{0,1}(X)$ は（両辺が $0$ として）成り立つ。
満たさない性質：Dolbeault の水準の Hodge 対称性 $h^{1,0}=h^{0,1}$。
破る含意：「コンパクト複素多様体ならば $h^{p,q}=h^{q,p}$」。thm-hsym-main の対偶により、$X$ は $\partial\bar\partial$-補題をみたさず、とくに Kähler でない。

実際には $h^{0,1}(X)=1$ である。コンパクト複素曲面では $b_1=h^{1,0}+h^{0,1}$ が成り立ち、$b_1$ が奇数なら $h^{1,0}=h^{0,1}-1$ となる（BHPV04 Ch. IV Theorem (2.7)、p. 139。この記事では証明しない）。さらにコンパクト複素曲面が Kähler であることと $b_1$ が偶数であることは同値である（同書 Ch. IV Theorem (3.1)、p. 144。この記事では証明しない）。3 次元以上では、正則 1 形式が $d$ 閉とは限らない。岩澤多様体（∂∂̄-補題の例「岩澤多様体」）は一次独立な正則 1 形式 $dx$、$dy$、$\theta=dz-x\,dy$ をもつので $h^{1,0}\ge3$ である。$d\theta=-dx\wedge dy\neq0$ なので、正則 1 形式の中に $d$ 閉でないものがあり、$c$ は $h^{1,0}$ より真に小さい。Kähler 多様体ではこのようなことは起こらない。

反例と注意

外す条件	反例	成り立たなくなること
コンパクト	$\mathbb C$	$h^{1,0}=h^{0,1}$
Kähler（$\partial\bar\partial$-補題）	Hopf 曲面（ex-hsym-hopf）	$h^{1,0}=h^{0,1}$
$d$ 閉な代表を選ぶこと	楕円曲線上の $\bar\partial\cos(2\pi x)$（ex-hsym-naive）	$[\alpha]\mapsto[\bar\alpha]$ が Dolbeault 類の写像になる

1 行目：$\mathbb C$ は Kähler だがコンパクトでない。$z^m\,dz$（$m\ge0$）は一次独立な正則 1 形式なので $H^{1,0}_{\bar\partial}(\mathbb C)=\Omega^1(\mathbb C)$ は無限次元である。一方 $\mathbb C$ 上では $\bar\partial$ 方程式 $\partial u/\partial\bar z=f$ がつねに解けるので $H^{0,1}_{\bar\partial}(\mathbb C)=0$ である（Dolbeaultコホモロジーの例「複素平面と Stein 多様体での消滅」）。破る含意は「Kähler 多様体ならば $h^{1,0}=h^{0,1}$」で、コンパクト性は Dolbeault コホモロジーの有限次元性と $\partial\bar\partial$-補題の両方に効いている。
注意を 3 つ挙げる。

Serre 双対性との組み合わせ．任意のコンパクト複素多様体で $h^{p,q}=h^{n-p,n-q}$ が成り立つ（Dolbeaultラプラシアンの命題「共役スター作用素と Dolbeault 調和形式」）。Hodge 対称性と合わせると $h^{p,q}=h^{q,p}=h^{n-p,n-q}=h^{n-q,n-p}$ となり、Hodge 数を菱形に並べた図が縦軸・横軸・中心のすべてについて対称になる（Hodge数）。Hopf 曲面では Serre 双対性による中心の対称だけが残る。
Hodge 構造．コンパクト Kähler 多様体 $X$ について、捩れを除いた $H^k(X,\mathbb Z)$ と分解 $H^k(X,\mathbb C)=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}(X)$ の組は重さ $k$ の Hodge 構造である（Hodge構造の例「コンパクト Kähler 多様体のコホモロジー」）。定義に課される条件 $\overline{H^{p,q}}=H^{q,p}$ が Hodge 対称性であり、この条件を欠く分解は Hodge 構造にならない（同記事の例「反例：Hodge 対称性を満たさない分解」）。
位相的な帰結．Hodge 対称性から $b_{2k+1}=2\sum_{p\le k}h^{p,2k+1-p}$ は偶数である（Hodge分解の命題「Hodge 数の関係」）。これはコンパクト複素多様体が Kähler 計量をもつための位相的な障害であり、Hopf 曲面（$b_1=1$）はこれで Kähler でないと分かる最も簡単な例である（Wel08 Ch. V Corollary 5.2、p. 198 と pp. 199–201）。