Leray–Hirschの定理(一般の係数環)

複体の写像 $g\colon A\to A'$ の写像錐を $\operatorname{Cone}(g)^n=A'^n\oplus A^{n+1}$、微分 $(y,x)\mapsto(dy+g(x),-dx)$ とする。$g$ が擬同型であることと $\operatorname{Cone}(g)$ が非輪状であることは同値である（擬同型 の命題「錐判定」）。$G^{p,q}:=C'^{p,q}\oplus C^{p,q+1}$ とおき、$$d_v(y,x):=\bigl(d_vy+f(x),\,-d_vx\bigr),\qquad d_h(y,x):=\bigl(d_hy,\,-d_hx\bigr)$$と定める。$f$ は $d_h$ と可換なので、$(d_hd_v+d_vd_h)(y,x)=\bigl((d_hd_v+d_vd_h)y+d_hf(x)-f(d_hx),\ (d_hd_v+d_vd_h)x\bigr)=0$ であり、$G$ は二重複体である。$G$ の第 $p$ 列は列の写像 $f$ の写像錐なので、仮定により非輪状である。$G$ は $q\ge-1$ の位置にあるので、非輪状組み立て補題 の定理「列が完全な二重複体」の 1 により $\operatorname{Tot}G$ は非輪状である。一方、$\operatorname{Tot}(G)^n=\operatorname{Tot}(C')^n\oplus\operatorname{Tot}(C)^{n+1}$ で、微分は $(y,x)\mapsto(Dy+f(x),-Dx)$ なので、$\operatorname{Tot}G$ は $\operatorname{Tot}f$ の写像錐そのものである。よって $\operatorname{Tot}f$ は擬同型である。行については、行と列を入れ替えた二重複体（全複体は変わらない。二重複体 の注意「転置」）に当てればよい。$\square$

$H^m(F)$ の基底 $\mathfrak B_m$（有限集合）をとり、各 $e\in\mathfrak B_m$ を代表する余輪体 $\beta_e\in C^m(F)$ を選ぶ。次の 2 つの二重複体を考える。

• $A^{q,m}:=C^q(U)\otimes_RH^m(F)$、$d_h:=\delta\otimes1$、$d_v:=0$。
• $T^{q,m}:=\operatorname{Hom}_R(C_q(U)\otimes_RC_m(F),R)$、$(d_ht)(x\otimes y):=t(\partial x\otimes y)$、$(d_vt)(x\otimes y):=(-1)^qt(x\otimes\partial y)$（$t\in T^{q,m}$）。

$x\otimes y$ での値を比べると $d_hd_vt$ は $(-1)^qt(\partial x\otimes\partial y)$、$d_vd_ht$ は $(-1)^{q+1}t(\partial x\otimes\partial y)$ なので、$T$ は二重複体である。$\operatorname{Tot}T$ は、鎖複体のテンソル積 $C(U)\otimes C(F)$（微分 $\partial(x\otimes y)=\partial x\otimes y+(-1)^qx\otimes\partial y$。Künnethの公式 の定義「鎖複体のテンソル積」）の双対 $\operatorname{Hom}_R(C(U)\otimes C(F),R)$（微分 $t\mapsto t\circ\partial$）そのものである。

$\theta(a\otimes e)(x\otimes y):=a(x)\,\beta_e(y)$（$e\in\mathfrak B_m$ について線形に延ばす）で $\theta\colon A^{q,m}\to T^{q,m}$ を定める。$d_h\theta(a\otimes e)=\theta(\delta a\otimes e)$ であり、$d_v\theta(a\otimes e)(x\otimes y)=(-1)^qa(x)(\delta\beta_e)(y)=0$ なので、$\theta$ は二重複体の写像である。

列ごとの擬同型：$q$ を固定する。$C_q(U)$ は特異 $q$ 単体の集合 $\Sigma_q$ を基底とする自由加群なので、$t\mapsto(t(\sigma\otimes-))_{\sigma\in\Sigma_q}$ は複体の同型 $(T^{q,\bullet},d_v)\cong\prod_{\sigma\in\Sigma_q}\bigl(C^\bullet(F),(-1)^q\delta\bigr)$ を与え、そのコホモロジーは $\prod_\sigma H^\bullet(F)$ である。$A$ の第 $q$ 列は微分が $0$ で、$\theta$ がコホモロジーに誘導する写像は $a\otimes e\mapsto(a(\sigma)e)_\sigma$、すなわち $\bigl(\prod_\sigma R\bigr)\otimes_RR^{\mathfrak B_m}\to\prod_\sigma R^{\mathfrak B_m}$ である。$\mathfrak B_m$ は有限集合なので、これは同型である（有限直和は直積と可換）。lem-lhg-columns により $\operatorname{Tot}\theta$ は擬同型である。

Alexander–Whitney 写像：Eilenberg–Zilberの定理 の定理「Eilenberg–Zilber の定理」の 2 により、同記事の Alexander–Whitney 写像 $\operatorname{AW}\colon C(U\times F)\to C(U)\otimes C(F)$ は鎖ホモトピー同値である。$\operatorname{Hom}_R(-,R)$ は鎖ホモトピーを余鎖ホモトピーに移すので、双対 $\operatorname{AW}^\vee\colon\operatorname{Tot}T\to C^\bullet(U\times F)$ は余鎖ホモトピー同値であり、擬同型である（擬同型 の命題「鎖ホモトピー同値は擬同型」）。特異 $n$ 単体 $\sigma=(\sigma_1,\sigma_2)$ について、$\operatorname{AW}(\sigma)$ の項のうち $C_q(U)\otimes C_{n-q}(F)$ に入るものだけが残り、$$\operatorname{AW}^\vee\theta(a\otimes e)(\sigma)=a(\sigma_1|[e_0,\dots,e_q])\,\beta_e(\sigma_2|[e_q,\dots,e_n])=(\mathrm{pr}_U^\sharp a\smile\mathrm{pr}_F^\sharp\beta_e)(\sigma)$$である。

結論：$\operatorname{Tot}A$ の微分は $\delta\otimes1$ で、$H^m(F)$ は有限生成自由なので、$H^n(\operatorname{Tot}A)=\bigoplus_{q+m=n}H^q(U)\otimes H^m(F)$ である。擬同型の合成 $\operatorname{AW}^\vee\circ\operatorname{Tot}\theta$ がコホモロジーに誘導する同型は、上の式により $[a]\otimes e\mapsto\mathrm{pr}_U^*[a]\smile\mathrm{pr}_F^*e=\mu([a]\otimes e)$ である。$\square$

$U=\emptyset$ または $R=0$ なら両辺は $0$ なので、そうでないとする。$H^*(F)$ の斉次な基底 $(b_i)_{i\in I}$ をとり、$d_i:=\deg b_i$、$I_q:=\{i:d_i=q\}$、$J_q:=\{j:k_j=q\}$ とおく。lem-lhg-kunneth により、$m_{ij}\in H^{k_j-d_i}(U)$（$d_i>k_j$ なら $m_{ij}=0$）がただ一通りに定まって、$c_j=\sum_i\mathrm{pr}_U^*m_{ij}\smile\mathrm{pr}_F^*b_i$ となる。

ファイバーへの制限：$\mathrm{pr}_F\circ i_x=\mathrm{id}_F$ であり、$\mathrm{pr}_U\circ i_x$ は 1 点 $x$ を通る定値写像である。$H^0(U)$ は $U$ の弧状連結成分の上の $R$ 値関数の全体と同じであり（特異コホモロジー の命題「0 次コホモロジーと弧状連結成分」）、$i_x^*\mathrm{pr}_U^*m$ は、$\deg m>0$ なら $0$、$\deg m=0$ なら $m(x)\cdot1$（$m(x)$ は $x$ を含む成分での値）である。よって $i_x^*c_j=\sum_{i\in I_{k_j}}m_{ij}(x)\,b_i$ である。$(i_x^*c_j)_{j\in J_q}$ と $(b_i)_{i\in I_q}$ はどちらも有限生成自由加群 $H^q(F)$ の基底なので、$I_q$ と $J_q$ は同じ個数の有限集合で、行列 $M_q(x):=(m_{ij}(x))_{i\in I_q,\,j\in J_q}$ は可逆である。逆行列の成分 $n_{ji}(x)$ も $x$ の弧状連結成分だけで決まるので、$n_{ji}\in H^0(U)$ が定まる。$0$ 次の類のカップ積は関数の各点ごとの積なので、$H^0(U)$ を成分とする行列として $(m_{ij})$ と $(n_{ji})$ は互いに逆である。

三角の構造：次数 $n$ を固定し、$0\le q\le n$ について $P_q:=\bigoplus_{j\in J_q}H^{n-q}(U)$、$Q_q:=\bigoplus_{i\in I_q}H^{n-q}(U)$（有限直和）とおく。$\Lambda\colon\bigoplus_qP_q\to\bigoplus_qQ_q$ を $\Lambda(a)_i:=\sum_ja_j\smile m_{ij}$ で定めると、$\mathrm{pr}_U^*$ が環準同型でカップ積が結合的なので$$\sum_j\mathrm{pr}_U^*a_j\smile c_j=\sum_i\mathrm{pr}_U^*\Lambda(a)_i\smile\mathrm{pr}_F^*b_i=\mu\Bigl(\sum_i\Lambda(a)_i\otimes b_i\Bigr)$$である。$(y_i)_i\mapsto\sum_iy_i\otimes b_i$ は $\bigoplus_qQ_q$ から $\mu$ の定義域の次数 $n$ の部分への同型で、$\mu$ は同型なので、$\Lambda$ が全単射であることを示せばよい。$d_i>k_j$ なら $m_{ij}=0$ なので $\Lambda(P_q)\subset\bigoplus_{q'\le q}Q_{q'}$ であり、$\Lambda$ の $P_q\to Q_q$ の成分は行列 $(m_{ij})_{i\in I_q,\,j\in J_q}$ を掛ける写像で、行列 $(n_{ji})$ を掛ける写像がその逆である。$\Lambda$ は対角のブロックが可逆な有限個のブロックの三角行列なので、$q$ の大きい方から順に解けて、全単射である。$\square$

1：小さい単体の面は小さいので、小さい単体が生成する部分複体 $C^{\mathcal V}_\bullet(X)\subset C_\bullet(X)$ があり、$C^\bullet_{\mathcal V}(X)$ はその双対である。切除定理(特異ホモロジー) の定理「小さい単体の鎖への変形」（整数係数の鎖で述べられているが、$R$ とのテンソル積をとっても同じ式が成り立つ）により、包含 $C^{\mathcal V}_\bullet(X)\to C_\bullet(X)$ は鎖ホモトピー同値である。その双対 $r$ は余鎖ホモトピー同値なので、擬同型である。2：小さい単体の前の面と後ろの面は同じ $V_i$ に入るので、カップ積の式は小さい単体の上だけで意味をもち、Leibniz 則の計算もそのまま通る。$\mathcal W$ に小さい単体 $\tau$ について $g\circ\tau$ は $\mathcal V$ に小さい。$\square$

$V_\iota$ の特異単体は $V_{i_0}$ に入るので小さい。小さい特異 $q$ 単体 $\sigma$ ごとに、$\sigma$ の像を含む $V_a$ の添字 $a=a_\sigma$ を 1 つ選ぶ。$p\ge1$ について $h\colon A^{p,q}_{\mathcal V}(X)\to A^{p-1,q}_{\mathcal V}(X)$ を $(hb)_{i_0\cdots i_{p-1}}(\sigma):=b_{a_\sigma i_0\cdots i_{p-1}}(\sigma)$ で、$h\colon A^{0,q}_{\mathcal V}(X)\to C^q_{\mathcal V}(X)$ を $(hb)(\sigma):=b_{a_\sigma}(\sigma)$ で定める（$\sigma$ の像は $V_{a_\sigma}\cap V_{i_0\cdots i_{p-1}}$ に入る）。$p\ge1$ では$$(d_hhb+hd_hb)_{i_0\cdots i_p}(\sigma)=\sum_{t=0}^p(-1)^tb_{a_\sigma i_0\cdots\widehat{i_t}\cdots i_p}(\sigma)+b_{i_0\cdots i_p}(\sigma)-\sum_{t=0}^p(-1)^tb_{a_\sigma i_0\cdots\widehat{i_t}\cdots i_p}(\sigma)=b_{i_0\cdots i_p}(\sigma)$$である。同じ計算で、$A^{0,q}_{\mathcal V}(X)$ の上で $\varepsilon h+hd_h=\mathrm{id}$、$C^q_{\mathcal V}(X)$ の上で $h\varepsilon=\mathrm{id}$ となる。よって列は可縮であり、完全である。とくに $\varepsilon$ の像は $d_h\colon A^{0,q}\to A^{1,q}$ の核で、その上の $d_v$ は $\delta$ である。後半は、非輪状組み立て補題 の系「列のコホモロジーが0次に集中する二重複体」を転置して行について読んだもの（同記事の系の証明の後の段落）による。$\square$

分裂原理 の命題「射影化の局所自明性」により、$\pi$ はファイバー $\mathbb{CP}^{n-1}$ のファイバー束である。ファイバー $P_b:=\pi^{-1}(b)$ は $\mathbb{CP}^{n-1}$ と同相なので、複素射影空間 の命題「コホモロジー群と制限」の 1 により、$H_q(P_b;\mathbb Z)$ は $q=0,2,\dots,2n-2$ で $\mathbb Z$、ほかの次数で $0$ である。Ext の項が消えるので、普遍係数定理 の定理「特異コホモロジーの普遍係数定理」により、類を $H_{2j}(P_b;\mathbb Z)$ の生成元 $z_j$ での値に送る写像は同型 $H^{2j}(P_b;\mathbb Z)\to\mathbb Z$、$H^{2j}(P_b;R)\to R$ を与え、係数の写像 $\mathbb Z\to R$ と両立する。奇数次では $H^*(P_b;R)=0$ である。仮定により $x_b^{\,j}$ は $H^{2j}(P_b;\mathbb Z)$ の生成元なので $z_j$ での値は $\pm1$ であり、係数の写像はカップ積と可換なので、その像 $(x_R)_b^{\,j}$ は $z_j$ で $\pm1$ をとり、$H^{2j}(P_b;R)\cong R$ の基底である。よって $H^*(P_b;R)$ は各次数で有限生成自由で、$1,x_R,\dots,x_R^{\,n-1}$ はファイバーの基底を与える。thm-lhg-main を当てればよい。$j=0$ の項 $\pi^*a\smile1=\pi^*a$（$a\in H^*(B;R)$）を見ると、$\pi^*$ は単射である。$\square$