Azumaya代数

各点での階数が $1$ 以上の有限局所自由加群 $E$ について、$\mathcal{E}nd_{\mathcal{O}_X}(E)$ は Azumaya 代数であり（命題 演算で閉じること ）、その類は $\mathrm{Br}(X)$ の単位元である。$E = \mathcal{O}_X^r$ のときが行列代数 $M_r(\mathcal{O}_X)$ である。

$R$ を可換環、$a, b \in R$ とし、$2ab$ が $R$ の単元であるとする。$1, i, j, ij$ を基底とする自由 $R$ 加群に $i^2 = a$、$j^2 = b$、$ij = -ji$ で積を入れた代数 $(a, b)_R$ は、$R$ 上次数 $2$ の Azumaya 代数である。
実際、$(a, b)_R$ は階数 $4$ の自由加群である（結合性は、例えば $a, b$ を不定元とする普遍的な場合に帰着して確かめられる）。素イデアル $\mathfrak{p}$ での剰余体を $\kappa$ とすると、ファイバーは $\kappa$ 上の四元数代数 $(\bar a, \bar b)_\kappa$ である。$2ab$ が単元なので、$\kappa$ の標数は $2$ でなく、$\bar a, \bar b \ne 0$ である。したがってファイバーは $\kappa$ 上次数 $2$ の中心単純環である（中心単純環 の四元数代数の例）。

$p$ を奇素数とし、$R = \mathbb{Z}_{(p)}$（$\mathbb{Z}$ の $p$ での局所化）とする。$2$ は $R$ の単元なので、例 可換環上の四元数代数 により $A = (-1, -1)_R$ は $R$ 上の Azumaya 代数である。
$A \otimes_R \mathbb{Q} = (-1,-1)_{\mathbb{Q}}$ はノルム形式 $x^2 + y^2 + z^2 + w^2$ が $\mathbb{Q}$ 上で自明でない零点をもたないので斜体であり、その類は $\mathrm{Br}(\mathbb{Q})$ で $0$ でない。$\mathrm{Br}(R) \to \mathrm{Br}(\mathbb{Q})$ は群準同型なので、$[A] \ne 0 \in \mathrm{Br}(R)$ である。
一方、剰余体 $\mathbb{F}_p$ 上の中心単純環はすべて行列代数である（有限な斜体は可換）から、$\mathrm{Br}(\mathbb{F}_p) = 0$ である。よって $\mathrm{Br}(R) \to \mathrm{Br}(\mathbb{F}_p)$ は単射でない。$R$ は Hensel 局所環でないので、定理 Hensel局所環上の分類 の仮定を満たさず、その結論が崩れている。

$R \to R'$ を有限群 $G$ を Galois 群とする有限エタール Galois 拡大とし、$c \colon G \times G \to R'^\times$ を 2 コサイクルとする。$\bigoplus_{\sigma \in G} R' u_\sigma$ に
$$ u_\sigma \lambda = \sigma(\lambda) u_\sigma, \qquad u_\sigma u_\tau = c(\sigma, \tau) u_{\sigma\tau} \qquad (\lambda \in R') $$
で積を入れた代数は、$R$ 上の階数 $|G|^2$ の Azumaya 代数で、$R'$ への係数拡大で行列代数になる（Gro68a §5。本記事では証明しない）。$R$ が体のときは古典的な接合積であり、中心単純環 の巡回代数はその特別な場合である。

$X = \operatorname{Spec} \mathbb{R}$、$A = \mathbb{H}$（Hamilton の四元数）とする。$\mathbb{H}$ は $\mathbb{R}$ 上の中心単純環なので Azumaya 代数である。しかし $X$ は 1 点なので、「Zariski 局所的に行列代数」であることは $\mathbb{H} \cong M_2(\mathbb{R})$ を意味し、これは偽である（$\mathbb{H}$ は斜体で、$M_2(\mathbb{R})$ は零因子をもつ）。
したがって定理 Azumaya代数の特徴づけ の 3 の「エタール被覆」を Zariski 開被覆に置き換えることはできない。実際には、有限エタール全射 $\operatorname{Spec} \mathbb{C} \to \operatorname{Spec} \mathbb{R}$ の上で $\mathbb{H} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \cong M_2(\mathbb{C})$ となる。

$k$ を体、$X = \operatorname{Spec} k[\varepsilon]$（$\varepsilon^2 = 0$）とし、$A := M_r(k)$ を $\varepsilon$ が $0$ として作用する $k[\varepsilon]$ 代数と見る（$r \ge 1$）。$A$ は有限表示であり、$X$ のただ一つの点でのファイバー $A \otimes_{k[\varepsilon]} k = M_r(k)$ は中心単純環である。しかし $\varepsilon A = 0$ なので $A$ は $k[\varepsilon]$ 上平坦でなく、定義の条件 1（局所自由）を満たさない。よって $A$ は Azumaya 代数でない。
また、全射な閉埋め込み $\operatorname{Spec} k \to X$ に沿って引き戻すと $M_r(k)$ になる。したがって特徴づけの 3・4 の被覆を「単なる全射」に弱めることはできず、平坦性が要る。

$k$ を標数 $2$ でない体、$b \in k^\times$、$R = k[t]$ とし、$A := (t, b)_R$（基底 $1, i, j, ij$、$i^2 = t$、$j^2 = b$、$ij = -ji$）とする。$A$ は階数 $4$ の自由加群である。
$t \ne 0$ となる点では、例 可換環上の四元数代数 と同じ理由でファイバーは中心単純である。実際、$A$ は開集合 $\operatorname{Spec} k[t, t^{-1}]$ の上では Azumaya 代数である。しかし原点 $t = 0$ でのファイバー $B = A \otimes k$ では $i^2 = 0$ であり、$i$ と $ij$ の張る部分空間は $0$ でも $B$ 全体でもない両側イデアルである（$j i = -ij$、$j \cdot ij = -b\, i$、$ij \cdot j = b\, i$、$i \cdot ij = 0$ などから確かめられる）。よって定義の条件 2 を原点で満たさず、$A$ は $\operatorname{Spec} k[t]$ 上の Azumaya 代数でない。局所自由性だけでは Azumaya 代数にならない。

$R$ を $0$ でない可換環とし、$A = R \times R$ とする。$A$ は階数 $2$ の自由加群で、各ファイバー $\kappa \times \kappa$ は単純でも中心的でもない。したがって $A$ は Azumaya 代数でない。特徴づけの 2 で見ても、$A \otimes_R A^{\mathrm{op}}$ は可換で、$\mathcal{E}nd_R(A) \cong M_2(R)$ は可換でないので同型でない。$A$ は有限エタール（分離的）な $R$ 代数であり、中心が $R$ より大きいという点だけで Azumaya 代数から外れている。