Levi分解

$\mathfrak{r}:=\operatorname{rad}\mathfrak{g}$ とする。$\mathfrak{r}=0$ なら $\mathfrak{s}=\mathfrak{g}$ でよいので $\mathfrak{r}\neq0$ とし、$\dim\mathfrak{g}$ より小さい次元の Lie 環では定理が成り立つとする。

段 1：$\mathfrak{r}$ に真に含まれる $0$ でないイデアル $\mathfrak{a}$ がある場合． $\bar{\mathfrak{g}}:=\mathfrak{g}/\mathfrak{a}$ の根基は $\mathfrak{r}/\mathfrak{a}$ である（$\mathfrak{r}/\mathfrak{a}$ は可解イデアルで、$\bar{\mathfrak{g}}/(\mathfrak{r}/\mathfrak{a})\cong\mathfrak{g}/\mathfrak{r}$ は半単純なので、$\bar{\mathfrak{g}}$ の可解イデアルの像は $0$ になる）。帰納法の仮定から $\bar{\mathfrak{g}}$ に Levi 部分環があり、その逆像 $\mathfrak{l}$ は $\mathfrak{a}$ を含む部分 Lie 環で、$\mathfrak{l}\cap\mathfrak{r}=\mathfrak{a}$、$\mathfrak{l}+\mathfrak{r}=\mathfrak{g}$ である。$\mathfrak{a}$ は $\mathfrak{l}$ の可解イデアルで $\mathfrak{l}/\mathfrak{a}\cong\mathfrak{g}/\mathfrak{r}$ は半単純なので、同じ理由で $\operatorname{rad}\mathfrak{l}=\mathfrak{a}$ である。$\mathfrak{a}\neq\mathfrak{r}$ より $\dim\mathfrak{l}<\dim\mathfrak{g}$ なので、$\mathfrak{l}=\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{s}$ となる部分 Lie 環 $\mathfrak{s}$ がある。$\mathfrak{s}\cap\mathfrak{r}=\mathfrak{s}\cap\mathfrak{l}\cap\mathfrak{r}=\mathfrak{s}\cap\mathfrak{a}=0$、$\mathfrak{s}+\mathfrak{r}=\mathfrak{s}+\mathfrak{a}+\mathfrak{r}=\mathfrak{l}+\mathfrak{r}=\mathfrak{g}$ なので、$\mathfrak{s}$ は Levi 部分環である。

以下そのようなイデアルはないとする。lem-levi-basic の 3 から $[\mathfrak{r},\mathfrak{r}]$ は $\mathfrak{r}$ と異なるイデアルなので $0$ で、$\mathfrak{r}$ は可換である。$[\mathfrak{g},\mathfrak{r}]$ は $\mathfrak{r}$ に含まれるイデアルなので $0$ か $\mathfrak{r}$ である。

段 2：$[\mathfrak{g},\mathfrak{r}]=0$ の場合． 随伴表現は $\mathfrak{r}$ の上で $0$ なので、$\mathfrak{g}$ は半単純 Lie 環 $\mathfrak{g}/\mathfrak{r}$ の表現で、$\mathfrak{r}$ はその不変部分空間である。Weylの完全可約性定理 から不変な補空間 $\mathfrak{s}$ があり、$[\mathfrak{g},\mathfrak{s}]\subset\mathfrak{s}$ なので $\mathfrak{s}$ は部分 Lie 環で $\mathfrak{g}=\mathfrak{r}\oplus\mathfrak{s}$ である。

段 3：$[\mathfrak{g},\mathfrak{r}]=\mathfrak{r}$ の場合． $E:=\operatorname{End}(\mathfrak{g})$ を $(x\cdot\varphi)(y):=[x,\varphi(y)]-\varphi([x,y])$ で $\mathfrak{g}$ の表現とみる（Weylの完全可約性定理 の記事の $\operatorname{Hom}$ の表現で、両側を随伴表現としたもの）。$C:=\{\varphi\mid\varphi(\mathfrak{g})\subset\mathfrak{r},\ \varphi|_{\mathfrak{r}}\text{ はスカラー倍}\}$、$B:=\{\varphi\in C\mid\varphi|_{\mathfrak{r}}=0\}$、$A:=\{\operatorname{ad}a\mid a\in\mathfrak{r}\}$ とおく。$A\subset B$ は $[a,\mathfrak{g}]\subset\mathfrak{r}$ と $\mathfrak{r}$ の可換性による。$\varphi\in C$、$\varphi|_{\mathfrak{r}}=c\cdot\mathrm{id}$ とすると、(i) $x\in\mathfrak{g}$、$y\in\mathfrak{r}$ について $(x\cdot\varphi)(y)=[x,cy]-c[x,y]=0$ なので $x\cdot\varphi\in B$、(ii) $a\in\mathfrak{r}$ について $\varphi(y)\in\mathfrak{r}$ と可換性から $(a\cdot\varphi)(y)=-\varphi([a,y])=-c[a,y]$、すなわち $a\cdot\varphi=\operatorname{ad}(-ca)\in A$、(iii) $x\cdot\operatorname{ad}a=[\operatorname{ad}x,\operatorname{ad}a]=\operatorname{ad}[x,a]\in A$ である。よって $C\supset B\supset A$ は不変部分空間で、(ii) から $\mathfrak{r}$ は $C/A$ に $0$ で働き、$C/A$ と $B/A$ は $\mathfrak{g}/\mathfrak{r}$ の表現である。$\varphi\mapsto c$ は $C$ から $\mathbb{C}$ への全射（$\mathfrak{r}$ の補空間の上で $0$、$\mathfrak{r}$ の上で恒等写像の $\varphi$ がある）で核は $B$ なので、$B/A$ は $C/A$ の余次元 $1$ の不変部分空間である。完全可約性から不変な補空間である直線があり、半単純 Lie 環は 1 次元の表現に $0$ で働く（同じ記事の補題「1 次元の商への作用」）。その直線の元の代表を $c=1$ となるようにとって $\varphi_0\in C$ とすると、$\varphi_0|_{\mathfrak{r}}=\mathrm{id}$ かつ $\mathfrak{g}\cdot\varphi_0\subset A$ である。$\mathfrak{s}:=\{x\in\mathfrak{g}\mid x\cdot\varphi_0=0\}$ は、$[x,y]\cdot\varphi_0=x\cdot(y\cdot\varphi_0)-y\cdot(x\cdot\varphi_0)$ から部分 Lie 環である。

$\mathfrak{s}\cap\mathfrak{r}=0$：$a\in\mathfrak{s}\cap\mathfrak{r}$ なら (ii) から $0=a\cdot\varphi_0=\operatorname{ad}(-a)$ なので $a$ は中心に入り、$\mathbb{C}a$ は $\mathfrak{r}$ に含まれるイデアルである。$a\neq0$ なら仮定から $\mathbb{C}a=\mathfrak{r}$ で、$[\mathfrak{g},\mathfrak{r}]=0$ となり $[\mathfrak{g},\mathfrak{r}]=\mathfrak{r}\neq0$ に反する。

$\mathfrak{s}+\mathfrak{r}=\mathfrak{g}$：$x\in\mathfrak{g}$ について $x\cdot\varphi_0=\operatorname{ad}a$ となる $a\in\mathfrak{r}$ がある。(ii) から $a\cdot\varphi_0=\operatorname{ad}(-a)$ なので $(x+a)\cdot\varphi_0=0$、すなわち $x+a\in\mathfrak{s}$ で、$x=(x+a)-a\in\mathfrak{s}+\mathfrak{r}$ である。$\square$

$\mathfrak{r}=0$ なら $\mathfrak{s}=\mathfrak{s}'=\mathfrak{g}$ である。$\mathfrak{r}\neq0$ とし、lem-levi-basic の 3 の $0$ でない可換イデアル $\mathfrak{a}\subset\mathfrak{r}$ をとる。

段 1． $\pi_{\mathfrak{a}}\colon\mathfrak{g}\to\bar{\mathfrak{g}}:=\mathfrak{g}/\mathfrak{a}$ とする。prf-levi-main の段 1 と同じく $\operatorname{rad}\bar{\mathfrak{g}}=\mathfrak{r}/\mathfrak{a}$ であり、$\pi_{\mathfrak{a}}(\mathfrak{s})$・$\pi_{\mathfrak{a}}(\mathfrak{s}')$ は $\bar{\mathfrak{g}}$ の Levi 部分環である（$x\in\mathfrak{s}$ で $\pi_{\mathfrak{a}}(x)\in\mathfrak{r}/\mathfrak{a}$ なら $x\in\mathfrak{r}$ なので $x=0$）。$\dim(\mathfrak{r}/\mathfrak{a})<\dim\mathfrak{r}$ なので、帰納法の仮定から $\bar z_1,\dots,\bar z_l\in[\bar{\mathfrak{g}},\mathfrak{r}/\mathfrak{a}]$ で $\pi_{\mathfrak{a}}(\mathfrak{s}')=e^{\operatorname{ad}\bar z_1}\cdots e^{\operatorname{ad}\bar z_l}\pi_{\mathfrak{a}}(\mathfrak{s})$ となるものがある。$[\bar{\mathfrak{g}},\mathfrak{r}/\mathfrak{a}]=\pi_{\mathfrak{a}}([\mathfrak{g},\mathfrak{r}])$ なので $\pi_{\mathfrak{a}}(z_j)=\bar z_j$ となる $z_j\in[\mathfrak{g},\mathfrak{r}]$ がとれ、$\operatorname{ad}z_j$ は冪零である（lem-levi-ad-nilpotent）。$\pi_{\mathfrak{a}}\circ\operatorname{ad}z_j=\operatorname{ad}\bar z_j\circ\pi_{\mathfrak{a}}$ から $\pi_{\mathfrak{a}}\circ e^{\operatorname{ad}z_j}=e^{\operatorname{ad}\bar z_j}\circ\pi_{\mathfrak{a}}$ なので、$\psi:=e^{\operatorname{ad}z_1}\cdots e^{\operatorname{ad}z_l}$、$\mathfrak{t}:=\psi(\mathfrak{s})$ とおくと $\pi_{\mathfrak{a}}(\mathfrak{t})=\pi_{\mathfrak{a}}(\mathfrak{s}')$、すなわち $\mathfrak{h}:=\mathfrak{t}+\mathfrak{a}=\mathfrak{s}'+\mathfrak{a}$ である。lem-levi-basic の 4 により $\mathfrak{t}$ は Levi 部分環で、$\mathfrak{t}\cap\mathfrak{a}=\mathfrak{s}'\cap\mathfrak{a}=0$ である。

段 2． $\mathfrak{h}=\mathfrak{t}\oplus\mathfrak{a}=\mathfrak{s}'\oplus\mathfrak{a}$ なので、$x\in\mathfrak{t}$ ごとに $x+\delta(x)\in\mathfrak{s}'$ となる $\delta(x)\in\mathfrak{a}$ がただ 1 つあり、$\delta$ は線形で $\mathfrak{s}'=\{x+\delta(x)\mid x\in\mathfrak{t}\}$ である（次元が等しい）。$\mathfrak{a}$ は可換なので $[x+\delta(x),y+\delta(y)]=[x,y]+[x,\delta(y)]-[y,\delta(x)]$ が $\mathfrak{s}'$ に入り、$[x,y]+\delta([x,y])$ との差は $\mathfrak{a}\cap\mathfrak{s}'=0$ に入る。よって半単純 Lie 環 $\mathfrak{t}$ の表現 $\mathfrak{a}$（作用は $\operatorname{ad}$）について $\delta([x,y])=x\cdot\delta(y)-y\cdot\delta(x)$ であり、Weylの完全可約性定理 の系「Whitehead の第 1 補題」から $\delta(x)=[x,v_0]$ となる $v_0\in\mathfrak{a}$ がある。

$v_0$ は $[\mathfrak{t},\mathfrak{a}]$ の中にとり直せる。$\mathfrak{a}^{\mathfrak{t}}:=\{v\in\mathfrak{a}\mid[\mathfrak{t},v]=0\}$ の不変な補空間 $\mathfrak{a}'$ をとり（完全可約性）、既約な不変部分空間の直和 $V_1\oplus\cdots\oplus V_q$ に分ける（同じ記事の系「既約表現の直和への分解」）。$V_i\cap\mathfrak{a}^{\mathfrak{t}}=0$ なので $[\mathfrak{t},V_i]$ は $V_i$ の $0$ でない不変部分空間で、$V_i$ に等しい。よって $\mathfrak{a}'\subset[\mathfrak{t},\mathfrak{a}]$ である。$v_0=u+w$（$u\in\mathfrak{a}^{\mathfrak{t}}$、$w\in\mathfrak{a}'$）と分けると $[x,v_0]=[x,w]$ なので、$v_0$ を $w\in[\mathfrak{t},\mathfrak{a}]\subset[\mathfrak{g},\mathfrak{r}]$ に替えてよい。

$z:=-v_0$ とおく。$\mathfrak{a}$ はイデアルで可換なので $(\operatorname{ad}z)^2\mathfrak{g}\subset[z,\mathfrak{a}]=0$ であり、$x\in\mathfrak{t}$ について $e^{\operatorname{ad}z}x=x+[z,x]=x+[x,v_0]=x+\delta(x)$ である。よって $e^{\operatorname{ad}z}(\mathfrak{t})=\mathfrak{s}'$、すなわち $\mathfrak{s}'=e^{\operatorname{ad}z}\circ\psi(\mathfrak{s})$ で、$z\in[\mathfrak{g},\mathfrak{r}]$ である。$\square$