下降定理

局所化 の定理「素イデアルの対応」により、$A_{\mathfrak p}$ の素イデアルは $\mathfrak p$ に含まれる $A$ の素イデアル $\mathfrak p'$ の拡大 $\mathfrak p'A_{\mathfrak p}$ と 1 対 1 に対応し、$B_{\mathfrak q}$ の素イデアルは $\mathfrak q$ に含まれる $B$ の素イデアル $\mathfrak q'$ の拡大と 1 対 1 に対応する。どちらの対応も逆写像は標準写像による逆像である。図式 $A\to A_{\mathfrak p}\to B_{\mathfrak q}$ と $A\to B\to B_{\mathfrak q}$ は同じ写像 $a\mapsto\varphi(a)/1$ なので、$\mathfrak q'B_{\mathfrak q}$ の $A_{\mathfrak p}$ への縮約が $\mathfrak p'A_{\mathfrak p}$ であることと、$\varphi^{-1}(\mathfrak q')=\mathfrak p'$ であることは同値である。よって 2 の全射性は、$\mathfrak q$ ごとに下降性の条件そのものである。$\square$

$\mathfrak p\subset\varphi^{-1}(\mathfrak pB)$ はつねに成り立つ。$\mathfrak q$ が存在すれば $\mathfrak pB\subset\mathfrak q$ なので $\varphi^{-1}(\mathfrak pB)\subset\varphi^{-1}(\mathfrak q)=\mathfrak p$ である。

逆に $\varphi^{-1}(\mathfrak pB)=\mathfrak p$ とし、$S:=\varphi(A\setminus\mathfrak p)$ とおく。$S$ は積で閉じ、$1$ を含み、$\mathfrak pB$ と交わらない（$\varphi(s)\in\mathfrak pB$ なら $s\in\varphi^{-1}(\mathfrak pB)=\mathfrak p$）。局所化 $S^{-1}B$ のイデアル $S^{-1}(\mathfrak pB)$ は真のイデアルである。実際 $b/s=1$（$b\in\mathfrak pB$、$s\in S$）なら、ある $w\in S$ で $wb=ws$ となり、左辺は $\mathfrak pB$ に、右辺は $S$ に属して矛盾する。$S^{-1}(\mathfrak pB)$ を含む極大イデアルをとり、その $B$ への逆像を $\mathfrak q$ とする。$\mathfrak q$ は素イデアルで、$\mathfrak pB$ を含み、$S$ と交わらない。よって $\varphi^{-1}(\mathfrak q)$ は $\mathfrak p$ を含み、$A\setminus\mathfrak p$ と交わらないので、$\mathfrak p$ に等しい。$\square$

$y:=x^n=\sum_{i=1}^ka_ic_i$（$a_i\in\mathfrak a$、$c_i\in C$）と書く。$c_i$ は $A$ 上整なので、整拡大 の系「有限生成と有限性」の 1 により $M:=A[c_1,\dots,c_k]$ は有限生成 $A$ 加群である。生成元 $m_1,\dots,m_l$ をとる。$yM\subset\mathfrak aM$ なので、$ym_j=\sum_k\alpha_{jk}m_k$（$\alpha_{jk}\in\mathfrak a$）と書ける。行列 $T:=yI_l-(\alpha_{jk})$ は縦ベクトル $(m_k)$ を $0$ に写すので、余因子行列を左から掛けて $\det(T)\,m_k=0$（すべての $k$）を得る。$1\in M$ は $m_k$ の $A$ 係数の 1 次結合なので $\det(T)=\det(T)\cdot1=0$ である。行列式を展開すると $\det(T)=y^l+b_1y^{l-1}+\dots+b_l$（$b_i\in\mathfrak a$）の形になる（$b_i$ は $\alpha_{jk}$ の $i$ 個の積の和）。よって $x^{nl}+b_1x^{n(l-1)}+\dots+b_l=0$ は $x$ の $\mathfrak a$ 上の整従属関係である。$\square$

$f(t)=t^m+a_1t^{m-1}+\dots+a_m$（$a_i\in\mathfrak a$）を $f(x)=0$ となる式とする。$f\in K[t]$ なので $x$ は $\operatorname{Frac}B$ の中で $K$ 上代数的であり、最小多項式 $g$ は $f$ を割る。$g$ の分解体 $L\supset K$ をとり、$L$ での $g$ の根を重複を込めて $x_1,\dots,x_r$ とする。各 $x_i$ は $f$ の根でもある。

$L$ の中での $A$ の整閉包を $C$ とする（整拡大 の命題「整な元の和と積」により部分環）。$x_i$ はモニックな $f\in A[t]$ の根なので $C$ に属し、$x_i^m=-(a_1x_i^{m-1}+\dots+a_m)\in\mathfrak aC$ である。$C$ のイデアル $\mathfrak aC$ の根基 $\sqrt{\mathfrak aC}$ は $C$ のイデアルで、すべての $x_i$ を含む。$u_j$ は $x_1,\dots,x_r$ の $j$ 次基本対称式の $(-1)^j$ 倍で、定数項をもたない多項式なので、$u_j\in\sqrt{\mathfrak aC}$ である。

$u_j\in K\cap C$ は $A$ 上整な $K$ の元なので、$A$ の整閉性から $u_j\in A$ である。また、ある $N$ で $u_j^N\in\mathfrak aC$ なので、lem-gd-over-ideal により $u_j$ は $\mathfrak a$ 上整である：$u_j^{M}+b_1u_j^{M-1}+\dots+b_M=0$（$b_i\in\mathfrak a$）。$u_j\in A$ なので $u_j^M=-(b_1u_j^{M-1}+\dots+b_M)\in\mathfrak a$、すなわち $u_j\in\sqrt{\mathfrak a}$ である。$\square$

$\mathfrak p'\subset\mathfrak p=\varphi^{-1}(\mathfrak q)$ とする。まず $g\in B\setminus\mathfrak q$ について、$\varphi^{-1}(\mathfrak q_g)=\mathfrak p'$ かつ $g\notin\mathfrak q_g$ となる素イデアル $\mathfrak q_g$ があることを示す。$D(g)=\{\mathfrak r: g\notin\mathfrak r\}$ の像 $U$ は $\mathfrak p$ を含む開集合である。$\mathfrak p'\notin U$ なら、$\mathfrak p'$ は閉集合 $\operatorname{Spec}A\setminus U=V(I)$ に属し、$I\subset\mathfrak p'\subset\mathfrak p$ から $\mathfrak p\in V(I)$ となって矛盾する。よって $\mathfrak p'\in U$ である。

次に、lem-gd-contraction を $A\to B_{\mathfrak q}$ に当てる。$a\in A$ の像が $\mathfrak p'B_{\mathfrak q}$ に属するとすると、$\varphi(a)/1=y/s$（$y\in\mathfrak p'B$、$s\notin\mathfrak q$）と書け、ある $w\notin\mathfrak q$ で $ws\varphi(a)=wy$ である。$g:=ws\notin\mathfrak q$ とおくと、$B_g$ の中で $\varphi(a)/1=wy/g\in\mathfrak p'B_g$ である。$B_g$ の素イデアルは $g$ を含まない $B$ の素イデアルに対応するので、第 1 段の $\mathfrak q_g$ は $B_g$ の素イデアル $\mathfrak q_gB_g$ で縮約が $\mathfrak p'$ のものを与え、lem-gd-contraction の必要性の向きから $a\in\mathfrak p'$ である。したがって $\mathfrak p'B_{\mathfrak q}$ の $A$ への逆像は $\mathfrak p'$ であり、$\mathfrak p'$ の上にある $B_{\mathfrak q}$ の素イデアルがある。その $B$ への逆像が求める $\mathfrak q'$ である。$\square$