フィルター

(F1) (B1) より $B\in\mathcal{B}$ が存在し $B\subset X$ なので $X\in\mathcal{F}(\mathcal{B})$。$\mathcal{F}(\mathcal{B})$ の各元は空でない $B\in\mathcal{B}$ を含むので $\emptyset\notin\mathcal{F}(\mathcal{B})$。(F2) $A_1,A_2\in\mathcal{F}(\mathcal{B})$ とし $B_1\subset A_1$、$B_2\subset A_2$ なる $B_1,B_2\in\mathcal{B}$ をとる。(B2) より $B_3\subset B_1\cap B_2\subset A_1\cap A_2$ なる $B_3\in\mathcal{B}$ があるので $A_1\cap A_2\in\mathcal{F}(\mathcal{B})$。(F3) $A\in\mathcal{F}(\mathcal{B})$、$A\subset C$ なら、$B\subset A$ なる $B\in\mathcal{B}$ について $B\subset C$ なので $C\in\mathcal{F}(\mathcal{B})$。
$B\subset B$ より $\mathcal{B}\subset\mathcal{F}(\mathcal{B})$ である。最小性：$\mathcal{B}\subset\mathcal{F}$ なるフィルター $\mathcal{F}$ と $A\in\mathcal{F}(\mathcal{B})$ に対し、$B\subset A$ なる $B\in\mathcal{B}\subset\mathcal{F}$ があり、(F3) より $A\in\mathcal{F}$。$\square$

$\mathcal{G}:=\bigcap_\lambda\mathcal{F}_\lambda$ とおく。各 $\lambda$ で $X\in\mathcal{F}_\lambda$、$\emptyset\notin\mathcal{F}_\lambda$ なので (F1) が成り立つ（$\Lambda\neq\emptyset$ を使う）。$A,B\in\mathcal{G}$ なら各 $\lambda$ で $A\cap B\in\mathcal{F}_\lambda$ なので $A\cap B\in\mathcal{G}$。$A\in\mathcal{G}$、$A\subset C$ なら各 $\lambda$ で $C\in\mathcal{F}_\lambda$ なので $C\in\mathcal{G}$。
鎖の和 $\mathcal{H}:=\bigcup_\lambda\mathcal{F}_\lambda$ について。$X\in\mathcal{H}$ であり、どの $\mathcal{F}_\lambda$ も $\emptyset$ を含まないので $\emptyset\notin\mathcal{H}$。$A\in\mathcal{F}_\lambda$、$B\in\mathcal{F}_\mu$ とすると、鎖なので $\mathcal{F}_\lambda\subset\mathcal{F}_\mu$ または $\mathcal{F}_\mu\subset\mathcal{F}_\lambda$ であり、大きい方の中で $A\cap B$ が得られるので $A\cap B\in\mathcal{H}$。(F3) は各 $\mathcal{F}_\lambda$ の (F3) から従う。$\square$

$f^{-1}(Y)=X\in\mathcal{F}$ より $Y\in f_*(\mathcal{F})$、$f^{-1}(\emptyset)=\emptyset\notin\mathcal{F}$ より $\emptyset\notin f_*(\mathcal{F})$。$B_1,B_2\in f_*(\mathcal{F})$ なら $f^{-1}(B_1\cap B_2)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)\in\mathcal{F}$。$B\in f_*(\mathcal{F})$、$B\subset C$ なら $f^{-1}(B)\subset f^{-1}(C)$ なので (F3) より $f^{-1}(C)\in\mathcal{F}$。
連続性の主張：$V$ を $f(x)$ の近傍とすると、$x$ での連続性より $x$ の近傍 $U$ で $f(U)\subset V$ となるものがあり、$U\subset f^{-1}(V)$。$\mathcal{F}\to x$ より $U\in\mathcal{F}$、よって (F3) より $f^{-1}(V)\in\mathcal{F}$、すなわち $V\in f_*(\mathcal{F})$。$\square$

$(x_n)\to x$ とし、$V\in\mathcal{N}(x)$ をとる。ある $N$ が存在して $n\ge N$ で $x_n\in V$、すなわち $\{x_n\mid n\ge N\}\subset V$ であり、左辺は $\mathcal{F}$ の元なので (F3) より $V\in\mathcal{F}$。よって $\mathcal{N}(x)\subset\mathcal{F}$。逆に $\mathcal{F}\to x$ とすると、各 $V\in\mathcal{N}(x)$ は $\mathcal{F}$ に属するので、末尾フィルターの定義により $\{x_n\mid n\ge N\}\subset V$ なる $N$ が存在する。これは $n\ge N$ で $x_n\in V$ ということであり、$(x_n)\to x$ である。$\square$

$x\neq y$ とすると、$x\in U$、$y\in V$、$U\cap V=\emptyset$ なる開集合 $U,V$ がある。$U\in\mathcal{N}(x)\subset\mathcal{F}$、$V\in\mathcal{N}(y)\subset\mathcal{F}$ なので (F2) より $\emptyset=U\cap V\in\mathcal{F}$ となり (F1) に反する。$\square$

両方が成り立つことはない（$A\cap(X\setminus A)=\emptyset\notin\mathcal{U}$）ので、「少なくとも一方」を示せばよい。
(2 ⇒ 1) $\mathcal{U}\subsetneq\mathcal{G}$ なるフィルター $\mathcal{G}$ があるとし、$A\in\mathcal{G}\setminus\mathcal{U}$ をとる。2 より $X\setminus A\in\mathcal{U}\subset\mathcal{G}$ なので $\emptyset=A\cap(X\setminus A)\in\mathcal{G}$ となり矛盾する。
(1 ⇒ 2) $A\notin\mathcal{U}$ かつ $X\setminus A\notin\mathcal{U}$ なる $A$ があるとする。任意の $B\in\mathcal{U}$ について $B\cap A\neq\emptyset$ である（さもなければ $B\subset X\setminus A$ となり (F3) より $X\setminus A\in\mathcal{U}$）。よって $\mathcal{B}:=\{B\cap A\mid B\in\mathcal{U}\}$ は (B1) を満たし、$(B_1\cap A)\cap(B_2\cap A)=(B_1\cap B_2)\cap A\in\mathcal{B}$ なので (B2) も満たすフィルター基である。生成されるフィルター $\mathcal{G}:=\mathcal{F}(\mathcal{B})$ は、$B\cap A\subset B$ より $\mathcal{U}\subset\mathcal{G}$ を満たし、$A=X\cap A\in\mathcal{B}\subset\mathcal{G}$ かつ $A\notin\mathcal{U}$ なので $\mathcal{U}\subsetneq\mathcal{G}$ である。これは $\mathcal{U}$ の極大性に反する。$\square$

$\Phi:=\{\mathcal{G}\mid\mathcal{G}\text{ は }X\text{ 上のフィルターで }\mathcal{F}\subset\mathcal{G}\}$ を包含で順序づける。$\mathcal{F}\in\Phi$ なので $\Phi\neq\emptyset$ である。$\Phi$ の空でない鎖 $\{\mathcal{G}_\lambda\}$ に対し、prop-filter-intersection により $\bigcup_\lambda\mathcal{G}_\lambda$ はフィルターであり、$\mathcal{F}$ を含むので $\Phi$ に属し、鎖の上界である。Zornの補題により $\Phi$ は極大元 $\mathcal{U}$ を持つ。$\mathcal{U}$ は超フィルターである：$\mathcal{U}\subsetneq\mathcal{G}$ なるフィルター $\mathcal{G}$ があれば $\mathcal{F}\subset\mathcal{G}$ より $\mathcal{G}\in\Phi$ となり、$\Phi$ での極大性に反する。$\square$

(1 ⇒ 2) $\mathcal{F}$ をフィルターとする。$\bigcap_{A\in\mathcal{F}}\overline{A}=\emptyset$ と仮定すると $\{X\setminus\overline{A}\mid A\in\mathcal{F}\}$ は開被覆なので、有限個の $A_1,\dots,A_n\in\mathcal{F}$ で $\overline{A_1}\cap\cdots\cap\overline{A_n}=\emptyset$ となる。しかし (F2) より $A_1\cap\cdots\cap A_n\in\mathcal{F}$ は空でなく、その点は各 $\overline{A_i}$ に属するので矛盾する。よって $x\in\bigcap_{A\in\mathcal{F}}\overline{A}$ が存在し、これは $\mathcal{F}$ の触点である。
(2 ⇒ 3) $\mathcal{U}$ を超フィルター、$x$ をその触点とする。$V\in\mathcal{N}(x)$ をとると、$V$ は $\mathcal{U}$ のすべての元と交わる。$V\notin\mathcal{U}$ なら prop-filter-ultra より $X\setminus V\in\mathcal{U}$ となるが、$V\cap(X\setminus V)=\emptyset$ なので矛盾する。よって $V\in\mathcal{U}$、すなわち $\mathcal{N}(x)\subset\mathcal{U}$ であり $\mathcal{U}\to x$。
(3 ⇒ 1) 対偶を示す。$X$ がコンパクトでないとし、有限部分被覆を持たない開被覆 $\mathcal{O}$ をとる。$\mathcal{B}:=\{(X\setminus U_1)\cap\cdots\cap(X\setminus U_n)\mid n\ge1,\ U_i\in\mathcal{O}\}$ とおくと、各元は $X\setminus(U_1\cup\cdots\cup U_n)$ であり、$\mathcal{O}$ が有限部分被覆を持たないので空でない。$X$ がコンパクトでないので $X\neq\emptyset$（$\emptyset$ は自明にコンパクト）、よって $\mathcal{O}\neq\emptyset$ であり $\mathcal{B}\neq\emptyset$ である。$\mathcal{B}$ は有限交叉で閉じているのでフィルター基であり、フィルター $\mathcal{F}(\mathcal{B})$ を生成する。thm-filter-ultrafilter-lemma により $\mathcal{F}(\mathcal{B})\subset\mathcal{U}$ なる超フィルター $\mathcal{U}$ をとる。3 より $\mathcal{U}\to x$ なる $x$ があり、$\mathcal{O}$ は被覆なので $x\in U$ なる $U\in\mathcal{O}$ がある。$U\in\mathcal{N}(x)\subset\mathcal{U}$ かつ $X\setminus U\in\mathcal{B}\subset\mathcal{U}$ なので $\emptyset\in\mathcal{U}$ となり矛盾する。$\square$