分類空間

$t_i$ は $G$ の作用で不変なので $BG$ 上の連続関数 $\bar t_i$ を誘導し、$U_i:=\{\bar t_i>0\}$ は $BG$ の開集合で、$\bigcup_iU_i=BG$ である。$\omega^{-1}(U_i)=\{t_i>0\}$ 上で
$$ \varphi_i\colon\omega^{-1}(U_i)\longrightarrow U_i\times G,\qquad \varphi_i(x)=(\omega(x),\,g_i(x)) $$
とおく。$\varphi_i$ は連続で、$g_i(xg)=g_i(x)g$ により $G$ 同変である。逆写像は、$b\in U_i$ の任意の代表 $x\in\omega^{-1}(b)$ をとって $(b,h)\mapsto x\cdot g_i(x)^{-1}h$ で与えられる。この値は代表の取り方によらない（$x$ を $xg$ に替えると $xg\cdot(g_i(x)g)^{-1}h=x\cdot g_i(x)^{-1}h$）。連続性は、$\omega^{-1}(U_i)\times G\to\omega^{-1}(U_i)$、$(x,h)\mapsto x\cdot g_i(x)^{-1}h$ が連続で $G$ の作用に関して定数であること、および $\omega^{-1}(U_i)\times G\to U_i\times G$ が商写像であること（群の作用による商写像 $\omega$ は開写像である。実際 $V\subset EG$ が開なら $\omega^{-1}(\omega(V))=\bigcup_{g\in G}Vg$ は開である。開な全射と恒等写像の積は開な全射なので商写像である）から従う。よって $\varphi_i$ は $G$ 同変な同相写像であり、$\omega$ は主 $G$ 束である。
可算被覆性：$(\bar t_i)_i$ は $\sum_i\bar t_i=1$ を満たす連続関数の可算族で、各 $\{\bar t_i>0\}$ が自明化開集合である。この族は局所有限とは限らないが、$\bar t_i$ から局所有限な 1 の分割 $(v_i)_i$ で $\{v_i>0\}\subset\{\bar t_i>0\}$ を満たすものが作れる（Hus94 Chapter 4：$v_i$ を $\max\{0,\bar t_i-\sum_{j< i}\bar t_j\}$ の形に取り直して正規化する）。よって $\omega$ は可算被覆的である。$\square$

thm-classifying-space-criterion により、$q$ が可算被覆的主 $\mathbb{Z}/2$ 束で $S^\infty$ が可縮であることを示せばよい。
局所自明性：$U_i:=\{[x]\in\mathbb{RP}^\infty\mid x_i\ne0\}$ とおく。$q^{-1}(U_i)=\{x\in S^\infty\mid x_i\ne0\}$ は開集合なので $U_i$ は開集合であり、$\bigcup_iU_i=\mathbb{RP}^\infty$ である。$\varphi_i\colon q^{-1}(U_i)\to U_i\times\{\pm1\}$、$\varphi_i(x)=([x],\operatorname{sgn}x_i)$ は連続で $\mathbb{Z}/2$ 同変である。逆写像は $([x],\varepsilon)\mapsto\varepsilon\operatorname{sgn}(x_i)\,x$ で与えられる。$x\mapsto\operatorname{sgn}(x_i)x$ は $x\mapsto-x$ で不変なので $[x]$ の関数として矛盾なく定まり、$q$ が商写像で $q^{-1}(U_i)$ が開かつ飽和であることから $U_i$ 上の連続な切断（切断）$s_i\colon U_i\to q^{-1}(U_i)$ を定める。逆写像は $([x],\varepsilon)\mapsto\varepsilon s_i([x])$ なので連続である。よって $q$ は主 $\mathbb{Z}/2$ 束である。$\mathbb{RP}^\infty$ は各次元に 1 つずつ胞体をもつ CW 複体（Hat02 Chapter 0）であり、CW 複体はパラコンパクト Hausdorff である（Hat02 Appendix）から、$q$ は可算被覆的である。
可縮性：$\sigma\colon\mathbb{R}^\infty\to\mathbb{R}^\infty$、$\sigma(x_0,x_1,x_2,\dots)=(0,x_0,x_1,\dots)$ とおく。$x\in S^\infty$ と $\tau\in[0,1]$ に対し $v_\tau(x):=(1-\tau)x+\tau\sigma(x)$ とおくと $v_\tau(x)\ne0$ である。実際 $0<\tau<1$ で $v_\tau(x)=0$ なら、第 $0$ 成分から $(1-\tau)x_0=0$、第 $k$ 成分から $(1-\tau)x_k+\tau x_{k-1}=0$ が順に得られ、帰納的にすべての $x_k=0$ となって $x\in S^\infty$ に反する。よって $H_\tau(x):=v_\tau(x)/\|v_\tau(x)\|$ は $\mathrm{id}_{S^\infty}$ と $\sigma|_{S^\infty}$ を結ぶホモトピーである。次に $e_0=(1,0,0,\dots)$ とおき、$w_\tau(x):=(1-\tau)\sigma(x)+\tau e_0$ とおく。$\sigma(x)$ の第 $0$ 成分は $0$ なので $w_\tau(x)$ の第 $0$ 成分は $\tau$ であり、$\tau>0$ なら $w_\tau(x)\ne0$、$\tau=0$ なら $w_0(x)=\sigma(x)\ne0$ である。よって $K_\tau(x):=w_\tau(x)/\|w_\tau(x)\|$ は $\sigma|_{S^\infty}$ と定値写像 $e_0$ を結ぶホモトピーである。連続性について：$[0,1]$ はコンパクト Hausdorff なので $S^\infty\times[0,1]$ は $S^n\times[0,1]$ の帰納極限の位相をもち（Hat02 Appendix, Theorem A.6 の議論）、$H$、$K$ の $S^n\times[0,1]$ への制限は $S^{n+1}$ に値をとる有限次元の連続写像である。以上により $S^\infty$ は可縮である（Hat02 Example 1B.3 も参照）。$\square$

prf-classifying-space-rp-infinity と同じ筋である。$U_i:=\{[z]\mid z_i\ne0\}$ 上で $\varphi_i(z):=([z],\,z_i/|z_i|)$ とおくと、$\varphi_i(z\lambda)=([z],\,(z_i/|z_i|)\lambda)$ なので $S^1$ 同変であり、逆写像は $[z]\mapsto z\cdot\overline{z_i}/|z_i|$（$z$ を「第 $i$ 成分が正の実数」となる代表に取り替える写像。$z\lambda$ に対しても同じ値を返すので $[z]$ の関数として定まる）で与えられる連続な切断 $s_i$ を用いて $([z],\lambda)\mapsto s_i([z])\lambda$ である。$\mathbb{CP}^\infty$ は偶数次元に 1 つずつ胞体をもつ CW 複体なので $q$ は可算被覆的である。$\mathbb{C}^\infty\cong\mathbb{R}^\infty$ の単位球面は前の証明により可縮である。よって thm-classifying-space-criterion により $q$ は普遍 $S^1$ 束である。$\square$

$n\ge m$ に対して $\sigma_n$ を上と同じ式で定める。$\sigma_n$ は連続である（座標関数で確かめられる）。$t_j(x)=0$（すべての $j\ge n$）なら $\sigma_n(x)=x$ である。$\sigma_n(x)$ と $\sigma_{n+1}(x)$ は第 $n$、第 $n+1$ 位置以外では一致する。実際、$i< n$ では両方とも $t_ig_i$、$i\ge n+2$ では両方とも $t_{i-1}g_{i-1}$ である。第 $n$、第 $n+1$ 位置は $\sigma_n(x)$ では $(0,\ t_ng_n)$、$\sigma_{n+1}(x)$ では $(t_ng_n,\ 0)$ である。そこで $K_n\colon EG\times[0,1]\to EG$ を、$K_n(x,s)$ の第 $n$ 位置を $(s\,t_n)g_n$、第 $n+1$ 位置を $((1-s)t_n)g_n$ とし、他の位置は $\sigma_n(x)$ と同じとする写像として定める（$s\in[0,1]$）。重みの和は $1$ であり、座標関数 $t_i\circ K_n$ は連続、$g_i\circ K_n$ は $\{t_i\circ K_n>0\}$ 上で $g_n(x)$ または $g_i(x)$ または $g_{i-1}(x)$ に等しく連続なので、$K_n$ は連続である。$K_n(x,0)=\sigma_n(x)$、$K_n(x,1)=\sigma_{n+1}(x)$ であり、$K_n$ は $G$ 同変である。
$a_k:=1-2^{-k}$（$k\ge0$）とおき、$H(x,\tau)$ を $\tau\in[a_k,a_{k+1}]$ に対して $K_{m+k}(x,\ (\tau-a_k)/(a_{k+1}-a_k))$、$\tau=1$ に対して $x$ と定める。$K_{m+k}(x,1)=\sigma_{m+k+1}(x)=K_{m+k+1}(x,0)$ なので継ぎ目で矛盾しない。$H(x,0)=K_m(x,0)=\sigma_m(x)$ である。
$H$ の連続性を座標関数で確かめる。位置 $i$ を固定し、$m+k\ge i+1$ となる $k$ をとる。$k'\ge k$ の段階で用いる $K_{m+k'}$ は第 $i$ 位置を動かさず、その値は $t_ig_i$ である。よって $EG\times[a_{k+1},1]$ 上で $t_i\circ H=t_i(x)$、$g_i\circ H=g_i(x)$ であり（$\tau=1$ を含む）、これらは連続である。一方 $EG\times[0,a_{k+1}]$ は有限個の閉集合 $EG\times[a_{k'},a_{k'+1}]$（$k'\le k$）で覆われ、各上で $t_i\circ H$ は連続な $t_i\circ K_{m+k'}$ に一致し、$g_i\circ H$ は開集合 $\{t_i\circ H>0\}$ との共通部分の上で連続な $g_i\circ K_{m+k'}$ に一致する。有限個の閉集合の上で連続な関数は全体で連続であるから、$t_i\circ H$ は $EG\times[0,1]$ 上で連続、$g_i\circ H$ は $\{t_i\circ H>0\}$ 上で連続である。よって def-classifying-space-milnor の連続性の判定により $H$ は連続である。$G$ 同変性と $i< m$ の座標の不変性は構成から明らかである。$\square$

lem-classifying-space-shift を $m=0$ に適用すると、$\mathrm{id}_{EG}\simeq\sigma_0$ である。$\sigma_0$ の像は閉集合 $E_0:=\{x\in EG\mid t_0(x)=0\}$ に含まれる。$e$ を $G$ の単位元とし、$x_*:=(1e,0,0,\dots)\in EG$ とおく。$L\colon E_0\times[0,1]\to EG$ を、第 $0$ 位置を $s\,e$、第 $i\ge1$ 位置を $((1-s)t_i(y))g_i(y)$ とする写像として定める。$y\in E_0$ では第 $0$ 位置が空いているので、これは矛盾なく定まり、重みの和は $s+(1-s)=1$ である。座標関数は連続なので $L$ は連続であり、$L(y,0)=y$、$L(y,1)=x_*$ である。よって $\sigma_0=L(\sigma_0(\cdot),0)\simeq L(\sigma_0(\cdot),1)=\text{定値写像 }x_*$ であり、$\mathrm{id}_{EG}\simeq\sigma_0\simeq x_*$ となって $EG$ は可縮である。$\square$

$f$ と $g$ は普遍性（def-classifying-space の全射性）により存在する。合成 $g\circ f\colon B'G\to B'G$ について、引き戻しの関手性から
$$ (g\circ f)^*E'G=f^*(g^*E'G)\cong f^*EG\cong E'G=\mathrm{id}_{B'G}^*E'G $$
である。普遍性（$X=B'G$ に対する単射性）により $g\circ f\simeq\mathrm{id}_{B'G}$ である。同様に $(f\circ g)^*EG=g^*(f^*EG)\cong g^*E'G\cong EG$ から $f\circ g\simeq\mathrm{id}_{BG}$ である。よって $f$ はホモトピー同値で $g$ がそのホモトピー逆写像である。$\square$

$EG$ は thm-classifying-space-contractible・thm-classifying-space-criterion により弱可縮である。主 $G$ 束はファイバー束（ファイバー束）なので、CW 対に関するホモトピー持ち上げ性質をもち（Hat02 Proposition 4.48）、ファイバー $F=\omega^{-1}(b_0)$ について長い完全列（Hat02 Theorem 4.41）
$$ \cdots\to\pi_n(F,x_0)\to\pi_n(EG,x_0)\to\pi_n(BG,b_0)\xrightarrow{\ \partial\ }\pi_{n-1}(F,x_0)\to\pi_{n-1}(EG,x_0)\to\cdots\to\pi_0(EG,x_0) $$
が成り立つ。局所自明性により $F\cong G$（$x_0\leftrightarrow e$）である。$\pi_0(EG)$ は一点であり、$BG$ の任意の点はファイバーが空でないので $EG$ の点の像だから、$BG$ は弧状連結である。$n\ge2$ では $\pi_n(EG)=0=\pi_{n-1}(EG)$ により $\partial\colon\pi_n(BG)\to\pi_{n-1}(G)$ は同型である。
$n=1$ の場合を直接示す。ループ $\gamma\colon[0,1]\to BG$（$\gamma(0)=\gamma(1)=b_0$）に対し、道の持ち上げ（一点に関するホモトピー持ち上げ性質）により $\tilde\gamma(0)=x_0$ を満たす持ち上げ $\tilde\gamma$ が存在し、$\partial[\gamma]$ は $\tilde\gamma(1)\in F$ の弧状連結成分である（$\gamma$ のホモトピー類だけによることは Hat02 Theorem 4.41 の証明のとおり）。全射性：$F$ の任意の点 $y$ に対し、$EG$ が弧状連結なので $x_0$ から $y$ への道 $\delta$ があり、$\gamma:=\omega\circ\delta$ はループで $\tilde\gamma=\delta$ だから $\partial[\gamma]=[y]$ である。単射性：$\partial[\gamma]=\partial[\gamma']$ とすると、$\tilde\gamma(1)$ と $\tilde\gamma'(1)$ を結ぶ $F$ 内の道 $\delta$ があり、$\tilde\gamma\cdot\delta\cdot\overline{\tilde\gamma'}$ は $x_0$ を基点とする $EG$ のループである。$\pi_1(EG)=0$ なのでこれは定値ループにホモトピックであり、$\omega$ で写すと $\gamma\cdot c_{b_0}\cdot\overline{\gamma'}$ が定値ループにホモトピックとなる（$\omega\circ\delta$ は定値）。よって $[\gamma]=[\gamma']$ である。
群構造について：$\tilde\gamma(1)=g$、$\tilde\gamma'(1)=g'$ とする。右移動 $y\mapsto yg$ は $\omega$ を保つ同相写像なので、$g$ から始まる $\gamma'$ の持ち上げは $\tilde\gamma'\cdot g$ であり、$\gamma\cdot\gamma'$ の $x_0$ から始まる持ち上げの終点は $g'g$ である。したがって $\partial([\gamma][\gamma'])=\partial[\gamma']\,\partial[\gamma]$ であり、$\partial$ は反同型、$[\gamma]\mapsto(\partial[\gamma])^{-1}$ が群の同型 $\pi_1(BG,b_0)\cong\pi_0(G)$ である。$\square$

$G$ が離散なら $\pi_0(G)=G$、$\pi_{n-1}(G)=0$（$n\ge2$）なので、前半は prop-classifying-space-homotopy-groups から従う。ファイバー $G$ が離散な主 $G$ 束は局所自明性により被覆写像であり、$EG$ は弱可縮とくに単連結なので、$\omega$ は普遍被覆である。逆に、$K(G,1)$ の CW 模型 $Y$ の普遍被覆 $\tilde Y\to Y$ は、被覆変換群 $\cong\pi_1(Y)\cong G$ が自由に作用する主 $G$ 束であり（被覆空間の記事の分類定理）、$\tilde Y$ は CW 複体で $\pi_n(\tilde Y)\cong\pi_n(Y)=0$（$n\ge2$、Hat02 Proposition 4.1）かつ単連結なので Whitehead の定理により可縮である。$Y$ はパラコンパクトなので束は可算被覆的であり、thm-classifying-space-criterion により普遍 $G$ 束である。$\square$