単連結有限CW複体のホモトピー群の有限生成性

$\mathbb Z$ 係数の Serre スペクトル系列を使う。
$F$ と $B$ が有限型の場合．(ii) により $E^2_{p,q}=H_p(B;H_q(F))$ はすべて有限生成で、その部分群の商である $E^r_{p,q}$、$E^\infty_{p,q}$ も有限生成である。$H_n(E)$ は商 $E^\infty_{p,n-p}$（$0\le p\le n$）をもつ有限の長さのフィルトレーションをもつので、(i) を $p$ について繰り返して $H_n(E)$ も有限生成である。
$F$ と $E$ が有限型の場合．$H_0(B)=\mathbb Z$ である。$k\ge1$ とし、$p< k$ で $H_p(B)$ が有限生成だと仮定する。(ii) により、$p< k$ の $E^2_{p,q}$ はすべて有限生成で、$E^r_{p,q}$ も有限生成である。$d_r\colon E^r_{k,0}\to E^r_{k-r,r-1}$ の値域は $p=k-r< k$ の項なので有限生成であり、$E^{r+1}_{k,0}=\ker d_r$ だから、短完全列 $0\to E^{r+1}_{k,0}\to E^r_{k,0}\to\operatorname{Im}d_r\to0$ と (i) により、$E^r_{k,0}$ が有限生成であることと $E^{r+1}_{k,0}$ が有限生成であることは同値である。$r$ が大きければ $E^r_{k,0}=E^\infty_{k,0}$ は $H_k(E)$ の商なので有限生成である。$r$ を下げていくと、$E^2_{k,0}=H_k(B)$ も有限生成である。
$B$ と $E$ が有限型の場合．$H_0(F)=\mathbb Z$ である。$q\ge1$ とし、$j< q$ で $H_j(F)$ が有限生成だと仮定すると、$j< q$ の $E^r_{p,j}$ はすべて有限生成である。$(0,q)$ に入る微分 $d_r\colon E^r_{r,q-r+1}\to E^r_{0,q}$ の定義域は $q-r+1< q$ の項なので有限生成であり、$E^{r+1}_{0,q}=E^r_{0,q}/\operatorname{Im}d_r$ である。(i) により $E^r_{0,q}$ と $E^{r+1}_{0,q}$ の有限生成性は同値で、$r$ が大きければ $E^r_{0,q}=E^\infty_{0,q}$ は $H_q(E)$ の部分群なので有限生成である。$r$ を下げて、$E^2_{0,q}=H_q(F)$ も有限生成である。$\square$

(1) $K(\mathbb Z^a,1)$ と $K(\mathbb Z^a,2)$．$a$ 次元トーラス $T^a$ は有限 CW 複体の $K(\mathbb Z^a,1)$ である（Eilenberg–MacLane空間 の例「円周とトーラス」）。$Z:=K(\mathbb Z^a,2)$ の道の空間のファイブレーション $\Omega Z\to PZ\to Z$ では、$PZ$ は可縮、$\Omega Z$ は $\pi_1(\Omega Z)\cong\pi_2(Z)$ 以外のホモトピー群が消えるので（ループ空間 の定理「ホモトピー群のずれ」）$K(\mathbb Z^a,1)$ であり、$Z$ は単連結である。lem-fgh-two-of-three の 2 つ目の場合により $Z$ は有限型である。
(2) $K(A,1)$．$A$ は $\mathbb Z^a$ の商であり、その核は $\mathbb Z^b$（$b\le a$）と同型である（単項イデアル整域上の有限生成加群の構造定理 の補題「自由加群の部分加群」）。単射 $\varphi\colon\mathbb Z^b\to\mathbb Z^a$ で $\operatorname{Coker}\varphi\cong A$ となるものをとる。Eilenberg–MacLane空間 の系「準同型を実現する写像」により、$K(\mathbb Z^b,2)$ の CW 模型 $D$ から $C:=K(\mathbb Z^a,2)$ への写像 $g$ で、$\pi_2$ に $\varphi$ を誘導するものがある。$g$ をファイブレーション $E_g\to C$ に取り替え、ファイバーを $F$ とする。長完全列
$$ 0=\pi_3(C)\to\pi_2(F)\to\pi_2(D)\xrightarrow{\varphi}\pi_2(C)\to\pi_1(F)\to\pi_1(D)=0 $$
と、$i\ge3$ で $\pi_i(C)=\pi_i(D)=0$、$\pi_1(C)=0$ であることから、$F$ は弧状連結で、$\pi_1(F)\cong\operatorname{Coker}\varphi\cong A$、$i\ge2$ で $\pi_i(F)=0$ である。$C$ は単連結で有限型、$E_g$ は $D$ とホモトピー同値なので (1) により有限型である。lem-fgh-two-of-three の 3 つ目の場合により、$F$、したがって $K(A,1)$ は有限型である。
(3) $m\ge2$．$m$ についての帰納法で、$Z:=K(A,m)$ の道の空間のファイブレーション $\Omega Z\to PZ\to Z$ を使う。$\Omega Z$ は $K(A,m-1)$ で弧状連結、$Z$ は単連結、$PZ$ は可縮なので、lem-fgh-two-of-three の 2 つ目の場合により $Z$ は有限型である。$\square$

Postnikov塔 の定理「Postnikov 塔の存在」により、$Y$ を部分複体として含む CW 複体 $Z$ で、包含 $j\colon Y\to Z$ が $i\le n$ で $\pi_i$ の同型を誘導し、$i>n$ で $\pi_i(Z)=0$ となるものがある。$Y$ は $(n-1)$ 連結なので、$Z$ は $K(\pi_n(Y),n)$ である。$Y':=F_j$、$q:=\pi$ とおくと、$q$ はファイバー $\Omega Z$ のファイブレーションで、ループ空間 の定理「ホモトピー群のずれ」により $\Omega Z$ は $K(\pi_n(Y),n-1)$ である。長完全列
$$ \pi_{i+1}(Y)\xrightarrow{j_*}\pi_{i+1}(Z)\to\pi_i(F_j)\xrightarrow{q_*}\pi_i(Y)\xrightarrow{j_*}\pi_i(Z) $$
で、$i\le n$ なら左の $j_*$ は全射（$i+1\le n$ なら同型、$i=n$ なら $\pi_{n+1}(Z)=0$）、右の $j_*$ は単射なので $\pi_i(F_j)=0$ である。$\pi_0(F_j)$ も 1 点である（$\pi_1(Z)=0$ と $Y$ の弧状連結性による）。$i>n$ なら $\pi_{i+1}(Z)=\pi_i(Z)=0$ なので $q_*$ は同型である。$\square$

1．$X$ の CW 近似 $X_1\to X$（CW近似 の定理「CW 近似の存在」）をとる。$X_1$ は単連結な有限型の CW 複体で、ホモトピー群は $X$ と同じである。$n\ge2$ について、次をみたす CW 複体 $X_{n-1}$ を帰納的に作る。
$(\ast)_{n-1}$：$X_{n-1}$ は $(n-1)$ 連結かつ有限型で、$i\ge n$ について $\pi_i(X_{n-1})\cong\pi_i(X)$ である。
$(\ast)_1$ は $X_1$ がみたす。$(\ast)_{n-1}$ を仮定する。$X_{n-1}$ は $(n-1)$ 連結なので、Hurewicz の定理（Hurewiczの定理 の定理「Hurewicz の定理」）により
$$ \pi_n(X)\cong\pi_n(X_{n-1})\cong H_n(X_{n-1}) $$
であり、これは有限生成である。lem-fgh-kill を $Y=X_{n-1}$ に使い、ファイブレーション $K(\pi_n(X),n-1)\to Y'\to X_{n-1}$ を得る。ファイバーは lem-fgh-em により有限型で、$n\ge2$ なので弧状連結であり、底空間 $X_{n-1}$ は単連結で有限型である。lem-fgh-two-of-three の 1 つ目の場合により $Y'$ は有限型である。$Y'$ は $n$ 連結で、$i>n$ について $\pi_i(Y')\cong\pi_i(X_{n-1})\cong\pi_i(X)$ である。$Y'$ の CW 近似を $X_n$ とすれば $(\ast)_n$ が成り立つ。こうしてすべての $n\ge2$ で $\pi_n(X)$ は有限生成である。空でない単連結な有限 CW 複体は有限型なので、後半が従う。
2．Postnikov塔 の定理「Postnikov 塔の存在」を $X$ の CW 近似に使い、同記事の節「ファイブレーションと Eilenberg–MacLane ファイバー」のとおり各段をホモトピー同値な空間に取り替えて、$q_n\colon X_n\to X_{n-1}$ がファイブレーションである Postnikov 塔をとる。$X_1$ はすべてのホモトピー群が $0$ なので、Hurewicz の定理により有限型である。$n\ge2$ について、$q_n$ のファイバーは $K(\pi_n(X),n)$（同記事の定理「隣り合う段のファイバー」）で、lem-fgh-em により有限型であり、底空間 $X_{n-1}$ は単連結である。lem-fgh-two-of-three の 1 つ目の場合を $n$ について繰り返すと、すべての $X_n$ は有限型である。取り替える前の $X_n$ は $X$ に次元 $n+2$ 以上の胞体を貼ったものなので、胞体ホモロジーにより $i\le n$ で $H_i(X)\cong H_i(X_n)$ であり、$H_n(X)$ は有限生成である。$\square$

要点：有限群 $A$ について $K(A,m)$ は有理係数で非輪状である。$W$ の普遍被覆は有限重で、そのホモトピー群を lem-fgh-kill で順に消しても有理ホモロジーは変わらない。最後に移送で $W$ に戻る。

$f$ をファイブレーション $E_f\to Y$ に取り替え、ファイバーを $F$ とする。thm-fgh-main の 1 により $\pi_*(X)$、$\pi_*(Y)$ は有限生成である。長完全列
$$ \pi_{i+1}(X)\xrightarrow{f_*}\pi_{i+1}(Y)\to\pi_i(F)\to\pi_i(X)\xrightarrow{f_*}\pi_i(Y) $$
で、$\pi_i(F)$ は $\operatorname{Coker}(f_*\colon\pi_{i+1}(X)\to\pi_{i+1}(Y))$ と $\ker(f_*\colon\pi_i(X)\to\pi_i(Y))$ の拡大である。$1\le i\le n-1$ なら、$i+1\le n$ なので前者は有限、$i< n$ なので後者も有限であり、$\pi_i(F)$ は有限群である。$\pi_1(Y)=0$ と $X$ の弧状連結性から $F$ は弧状連結である。lem-fgh-low-finite により $1\le q\le n-1$ で $H_q(F;\mathbb Q)=0$ である。
$\mathbb Q$ 係数の Serre スペクトル系列では、$1\le q\le n-1$ で $E^2_{p,q}=H_p(Y;H_q(F;\mathbb Q))=0$ である。$i\le n$ とする。$E^r_{i,0}$ から出る微分 $d_r$（$r\ge2$）の値域 $E^r_{i-r,r-1}$ は、$1\le r-1\le i-1\le n-1$ なので $0$ であり、$E^\infty_{i,0}=E^2_{i,0}=H_i(Y;\mathbb Q)$ である。よって $H_i(E_f;\mathbb Q)\to H_i(Y;\mathbb Q)$ は全射である。$i\le n-1$ なら、この写像の核 $F_{i-1}$ の商 $E^\infty_{p,i-p}$（$0\le p\le i-1$）は $1\le i-p\le n-1$ なので $0$ であり、写像は単射である。$E_f$ は $X$ とホモトピー同値なので、$f_*\otimes\mathbb Q\colon H_i(X;\mathbb Q)\to H_i(Y;\mathbb Q)$ は $i< n$ で同型、$i=n$ で全射である。$H_i(X)$、$H_i(Y)$ は有限生成なので、節のはじめの注意により結論が従う。$\square$

要点：球面では有理ホモトピー群の計算から、球面の有限個の一点和では直積との比較から主張が成り立つ。$\pi_*(X)\otimes\mathbb Q$ の基底を球面の一点和からの写像で実現し、thm-fgh-whitehead で $X$ に移す。