巡回群

$G=\langle g\rangle$ とする。写像
$$ \phi:\mathbb Z\to G,\qquad k\longmapsto g^k $$
は指数法則（群 の記事の命題）から準同型であり、$g$ が $G$ を生成するので全射である。
$g^k=e$ となる正整数が存在しないなら、$\phi(k)=\phi(l)$ から $g^{k-l}=e$ である。もし $k\neq l$ なら $|k-l|$ は $g^{|k-l|}=e$ を満たす正整数になり仮定に反するから、$k=l$ でなければならない。ゆえに $\phi$ は単射であり、同型 $\mathbb Z\cong G$ を与える。
$g$ の位数が $n\geq1$ なら、$g^k=g^l$ であることと $n\mid(k-l)$ は同値である（群 の元の位数の命題）。したがって
$$ \overline\phi:\mathbb Z/n\mathbb Z\to G,\qquad [k]\longmapsto g^k $$
はwell-definedな全単射準同型である。よって $\mathbb Z/n\mathbb Z\cong G$ であり、$G$ はちょうど$n$個の元を持つ。この証明は選択公理を使わない。$g$ が無限位数なら $G\cong\mathbb{Z}$ は無限群であり、$g$ が有限位数 $n'$ なら $|G|=n'$ である。よって $G$ の位数と生成元 $g$ の位数は一致し、上の場合分けは命題の場合分けに対応する。

$G=\langle g\rangle$ とし、$H\leq G$ とする。
$$ D=\{k\in\mathbb Z\mid g^k\in H\} $$
と置く。$0\in D$ であり、$k,l\in D$ なら $g^{k-l}=g^k(g^l)^{-1}\in H$ だから $k-l\in D$ である。したがって $D$ は加法群 $\mathbb Z$ の部分群である。
$D\neq\{0\}$ なら、$0\in D$ と上の閉性から $D$ は正整数を含む。その最小値を $m$ とすれば、閉性の反復により $m\mathbb Z\subseteq D$ である。逆に $k\in D$ を除法の原理で $k=qm+r$（$0\leq r< m$）と書けば $r=k-qm\in D$ となり、$m$ の最小性から $r=0$、すなわち $D\subseteq m\mathbb Z$ である。よって $D=m\mathbb Z$（$D=\{0\}$ のときは $m=0$）。よって
$$ H=\{g^k\mid k\in D\}=\{g^{mq}\mid q\in\mathbb Z\}=\langle g^m\rangle $$
であり、$H$ は巡回群である。$m=0$ の場合は $H=\{e\}$ である。この証明は選択公理を使わない。

まず$d\mid n$とする。$(g^{n/d})^k=e$ であることは $n\mid(n/d)k$、すなわち$d\mid k$と同値なので、$g^{n/d}$ の位数は$d$である。したがって$H_d$は位数$d$を持つ。
任意の部分群$H\leq G$を取る。prop-cyclic-group-1 により $H=\langle g^m\rangle$ と書ける。$r$ を $n,m$ の最大公約数 $\gcd(n,m)$ とすると、Bézoutの等式 $r=un+vm$ から $g^r=(g^m)^v\in H$ であり、$m=r(m/r)$ から $g^m\in\langle g^r\rangle$ である。よって $H=\langle g^r\rangle$。この部分群の位数は$n/r$なので、$|H|=d$なら$r=n/d$であり、$H=H_d$である。一意性と対応が従う。この証明は選択公理を使わない。