Cauchyの凝集判定法
概要
Cauchyの凝集判定法（Cauchy condensation test）とは、単調減少する非負の数列 $(a_n)$ について、級数 $\sum a_n$ が収束することと、$2$ の冪の番号の項だけを使った級数 $\sum_k2^ka_{2^k}$ が収束することが同値であるという判定法である。証明では番号を $2^k\le n<2^{k+1}$ の区間ごとにまとめ、単調性から各区間の和を両端の項で挟む。これにより $\sum1/n^p$ は $p>1$ のときに限り収束し、$\sum1/(n(\log n)^p)$ も $p>1$ のときに限り収束することが分かる。区間の幅の比が有界な番号の列に一般化した Schlömilch の判定法があり、単調性を外すと同値は成り立たない。
項が単調に減少する非負の級数 $\sum a_n$ の収束は、項のごく一部 $a_1,a_2,a_4,a_8,\dots$ だけで決まる。すなわち $\sum a_n$ が収束することと、$\sum_k2^ka_{2^k}$ が収束することは同値である。これが Cauchy の凝集判定法（Cauchy condensation test）である。添字を $2^k\le n<2^{k+1}$ の区間ごとにまとめると、各区間の $2^k$ 個の項は単調性から両端の項で挟まれる。調和級数 の発散の証明（定理「調和級数の発散」）や命題「冪の逆数の級数」の証明はこの議論の特別な場合である。
凝集判定法を使うと、$\sum1/n^p$ や $\sum1/(n(\log n)^p)$ のように、冪や対数で項の減り方を測る級数の収束が等比級数や元より簡単な級数に帰着する。この記事では、主定理とその和の評価を証明し、区間の幅を一般化した Schlömilch の判定法、単調な収束級数の項についての $na_n\to0$ を述べ、単調性を外すと結論が崩れることを反例で示す。
主定理
級数の言葉は 級数 の定義「級数と部分和」に従う。非負の項の級数は収束するか $+\infty$ に発散するかのどちらかで、収束は部分和が上に有界であることと同値である（級数 の命題「正項級数の収束と部分和の有界性」）。以下、非負の項の級数の和は $[0,+\infty]$ の値として扱う。
数列 $(a_n)_{n\ge1}$ が $a_1\ge a_2\ge a_3\ge\cdots\ge0$ を満たすとする。このとき、$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ が収束することと
$$
\sum_{k=0}^{\infty}2^ka_{2^k}=a_1+2a_2+4a_4+8a_8+\cdots
$$
が収束することは同値である。さらに、$[0,+\infty]$ の値として
$$
\sum_{n=1}^{\infty}a_n\ \le\ \sum_{k=0}^{\infty}2^ka_{2^k}\ \le\ a_1+2\sum_{n=1}^{\infty}a_n
$$
が成り立つ。
$S_N:=\sum_{n=1}^{N}a_n$、$T_K:=\sum_{k=0}^{K}2^ka_{2^k}$ とおく。$k\ge0$ について、添字の区間 $B_k:=\{n\mid2^k\le n<2^{k+1}\}$ は $2^k$ 個の添字からなり、$n\in B_k$ なら単調性から $a_{2^{k+1}}\le a_n\le a_{2^k}$ である。したがって
$$
2^ka_{2^{k+1}}\ \le\ \sum_{n\in B_k}a_n\ \le\ 2^ka_{2^k}
$$
である。$B_0,B_1,\dots,B_K$ は $\{1,2,\dots,2^{K+1}-1\}$ を分割するので、これらを $k=0,\dots,K$ について足すと
$$
\frac12\sum_{k=0}^{K}2^{k+1}a_{2^{k+1}}\ \le\ S_{2^{K+1}-1}\ \le\ T_K,\qquad\text{すなわち}\qquad\frac12\bigl(T_{K+1}-a_1\bigr)\le S_{2^{K+1}-1}\le T_K
$$
である。
$(S_N)$ と $(T_K)$ はどちらも単調増加である。右の不等式と $N\le2^{K+1}-1$ となる $K$ をとることから $S_N\le\sup_KT_K$ であり、$\sum a_n\le\sum2^ka_{2^k}$ を得る。左の不等式から $T_{K+1}\le a_1+2S_{2^{K+1}-1}\le a_1+2\sum a_n$ であり、$\sum2^ka_{2^k}\le a_1+2\sum a_n$ を得る。一方が有限なら他方も有限なので、2 つの級数の収束は同値である。$\square$
級数の収束は有限個の項を変えても変わらない（級数 の命題「有限個の項と尾部」）。したがって、$(a_n)$ がある番号 $n_0$ から先で単調減少かつ非負であれば、$n< n_0$ の項を $a_{n_0}$ に取り替えて thm-cct-main を当てられ、「$\sum a_n$ の収束 $\iff\sum_k2^ka_{2^k}$ の収束」がそのまま成り立つ（和の不等式は取り替えた数列についてのものになる）。$\log1=0$ のため $n\ge2$ から始める級数も、この形で扱う。
凝集判定法の要点は、単調性によって各区間の和が「区間の長さ × 区間の左端の項」と同じ程度の大きさになることにある。凝集した級数 $\sum2^ka_{2^k}$ は元の級数より項がはるかに少なく、$a_n$ が $n$ の冪や対数で書けるときは、$2^k$ を代入すると $k$ の指数関数や冪に変わって判定しやすくなる。
例
実数 $p$ について $\sum_{n\ge1}n^{-p}$ を考える。$p\le0$ なら項は $0$ に近づかないので発散する（級数 の命題「収束する級数の項は0に近づく」）。$p>0$ なら $n^{-p}$ は単調減少で正なので thm-cct-main が使え、凝集した級数は
$$
\sum_{k=0}^{\infty}2^k\bigl(2^k\bigr)^{-p}=\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(2^{1-p}\bigr)^k
$$
である。これは公比 $2^{1-p}$ の等比級数なので、$2^{1-p}<1$ すなわち $p>1$ のときに限り収束する（級数 の定理「等比級数の和」）。よって $\sum n^{-p}$ は $p>1$ で収束し、$p\le1$ で発散する。これは 調和級数 の命題「冪の逆数の級数」と同じ結論である（Rud76 Theorem 3.28、p. 62 も同じ証明をとる）。和の評価から、$p>1$ のとき $\sum_{n\ge1}n^{-p}\le\frac{1}{1-2^{1-p}}$ も分かる。
$p>1$ について $\zeta(p):=\sum_{n\ge1}n^{-p}$ とおく（Riemannゼータ関数 の実数での値）。thm-cct-main の和の不等式に ex-cct-p-series の凝集した級数の和 $\frac{1}{1-2^{1-p}}$ を入れると
$$
\zeta(p)\le\frac{1}{1-2^{1-p}}\le1+2\zeta(p)
$$
である。右の不等式を整理すると $\zeta(p)\ge\frac12\Bigl(\frac{1}{1-2^{1-p}}-1\Bigr)=\frac{1}{2^p-2}$ である。$1-2^{1-p}=1-e^{-(p-1)\log2}$ なので $\lim_{p\to1+0}\frac{1-2^{1-p}}{p-1}=\log2$ であり、
$$
\frac{1}{2\log2}\le\liminf_{p\to1+0}(p-1)\zeta(p)\le\limsup_{p\to1+0}(p-1)\zeta(p)\le\frac{1}{\log2}
$$
を得る（左は $\frac{p-1}{2^p-2}\to\frac{1}{2\log2}$ による）。凝集判定法の不等式だけから、$\zeta(p)$ が $p\to1+0$ で $\frac1{p-1}$ と同じ程度の速さで $+\infty$ に発散することが分かる。
実数 $p$ について $\sum_{n\ge2}\frac{1}{n(\log n)^p}$ を考える（$\log$ は自然対数）。$p\ge0$ なら $n\ge2$ で項は正かつ単調減少であり、rem-cct-index により凝集した級数
$$
\sum_{k\ge1}2^k\cdot\frac{1}{2^k(k\log2)^p}=\frac{1}{(\log2)^p}\sum_{k\ge1}\frac1{k^p}
$$
の収束と同値である。ex-cct-p-series により、これは $p>1$ で収束し、$0\le p\le1$ で発散する。$p<0$ なら $n\ge3$ で $\frac{1}{n(\log n)^p}\ge\frac1n$ なので、比較判定法（級数 の定理「比較判定法」）と調和級数の発散から発散する。よって $\sum\frac1{n(\log n)^p}$ は $p>1$ のときに限り収束する（Rud76 Theorem 3.29、p. 62）。
とくに $p=1$ の $\sum\frac1{n\log n}$ は、$n\cdot\frac1{n\log n}=\frac1{\log n}\to0$ でありながら発散する。$1/n$ より「わずかに速く」減る項でも、その速さが対数の程度では足りない。
凝集を繰り返すと、さらに細かい尺度が得られる。たとえば $p>0$ のとき $\sum_{n\ge3}\frac{1}{n\log n(\log\log n)^p}$ の項は単調減少で正であり、凝集した級数は定数 $\frac1{\log2}$ 倍を除いて $\sum_k\frac{1}{k(\log k+\log\log2)^p}$ に等しい。$k\to\infty$ でこの項と $\frac1{k(\log k)^p}$ の比は $1$ に近づくので、極限比較判定法（級数 の系「極限比較判定法」）と ex-cct-log から、$p>1$ のときに限り収束することが分かる。
$a_n:=(\log n)^{-\log n}$（$n\ge3$）を考える。$x\ge1$ で $x^x=e^{x\log x}$ は単調増加であり、$n\ge3$ で $\log n>1$ は $n$ について増加するので、$a_n$ は $n\ge3$ で単調減少で正である。凝集した級数の項は
$$
2^ka_{2^k}=2^k\,(k\log2)^{-k\log2}=\Bigl(\frac{2}{(k\log2)^{\log2}}\Bigr)^k
$$
であり、$(k\log2)^{\log2}\to\infty$ なので十分大きい $k$ で括弧の中は $\frac12$ 以下になる。そのような $k$ では $2^ka_{2^k}\le2^{-k}$ なので、凝集した級数は収束し、rem-cct-index により $\sum a_n$ も収束する。$a_n=n^{-\log\log n}$ と書き直すと、指数 $\log\log n$ は $+\infty$ に発散するので、この級数がどの $p$ についての $\sum n^{-p}$ よりも速く収束することも見て取れる。
Schlömilch の判定法
$2^k$ の代わりに、増え方の比が有界な添字の列を使っても同じ議論が成り立つ。
$(u_k)_{k\ge0}$ を狭義単調増加する正の整数の列とし、ある定数 $M>0$ について
$$
u_{k+1}-u_k\le M\,(u_k-u_{k-1})\qquad(k\ge1)
$$
が成り立つとする。$(a_n)_{n\ge1}$ が単調減少で非負なら、$\sum_{n}a_n$ の収束と $\sum_{k\ge0}(u_{k+1}-u_k)\,a_{u_k}$ の収束は同値である。
$d_k:=u_{k+1}-u_k\ (\ge1)$ とおく。区間 $\{n\mid u_k\le n< u_{k+1}\}$ の $d_k$ 個の項はどれも $a_{u_k}$ 以下なので、$K\ge0$ について
$$
\sum_{n=u_0}^{u_{K+1}-1}a_n\le\sum_{k=0}^{K}d_ka_{u_k}
$$
である。一方、区間 $\{n\mid u_{k-1}\le n< u_k\}$（$k\ge1$）の $d_{k-1}$ 個の項はどれも $a_{u_k}$ 以上で、仮定から $d_k\le Md_{k-1}$ なので
$$
\sum_{n=u_{k-1}}^{u_k-1}a_n\ge d_{k-1}a_{u_k}\ge\frac{1}{M}d_ka_{u_k}
$$
である。$k=1,\dots,K$ について足すと $\sum_{k=1}^{K}d_ka_{u_k}\le M\sum_{n=u_0}^{u_K-1}a_n$ である。有限個の項は収束に影響しないので、2 つの不等式から一方の級数の部分和が有界であることと他方の部分和が有界であることは同値である。$\square$
$u_k=2^k$ なら $d_k=2^k$、$M=2$ であり、thm-cct-main の同値の部分に戻る。整数 $b\ge2$ について $u_k=b^k$ をとれば、$\sum a_n$ の収束は $\sum b^ka_{b^k}$ の収束と同値になる。
$u_k=(k+1)^2$ とすると $d_k=2k+3$ で、$\frac{d_k}{d_{k-1}}=\frac{2k+3}{2k+1}\le\frac53$（$k\ge1$）なので $M=\frac53$ がとれる。$a_n=2^{-\sqrt n}$ は単調減少で正なので、$\sum_n2^{-\sqrt n}$ の収束は
$$
\sum_{k\ge0}(2k+3)\,2^{-(k+1)}
$$
の収束と同値である。後者は隣り合う項の比が $\frac{2k+5}{2(2k+3)}\to\frac12$ なので比判定法（級数 の定理「比判定法」）により収束する。よって $\sum2^{-\sqrt n}$ は収束する。$u_k=2^k$ で凝集すると $\sum2^k2^{-2^{k/2}}$ となり、こちらも収束は分かるが、平方数で凝集すると項の形がより簡単になる。
単調な収束級数の項
収束する級数の項は $0$ に近づくが、項が単調ならさらに強いことが言える。
$(a_n)_{n\ge1}$ が単調減少で非負であり、$\sum a_n$ が収束するなら、$na_n\to0$（$n\to\infty$）である。
$\varepsilon>0$ とする。$\sum a_n$ は収束するので、部分和は Cauchy 列であり（Cauchy列）、ある $N$ について $N\le m< n$ なら $\sum_{j=m+1}^{n}a_j<\varepsilon$ である。$n\ge2N$ とし、$m:=\lfloor n/2\rfloor$ とおくと $m\ge N$ で、$j=m+1,\dots,n$ の $n-m\ge\frac n2$ 個の項はどれも $a_n$ 以上なので
$$
\frac n2\,a_n\le(n-m)\,a_n\le\sum_{j=m+1}^{n}a_j<\varepsilon
$$
である。よって $n\ge2N$ で $na_n<2\varepsilon$ であり、$na_n\to0$ である。$\square$
逆は成り立たない。ex-cct-log の $a_n=\frac1{n\log n}$ は単調減少で $na_n\to0$ を満たすが、$\sum a_n$ は発散する。したがって $na_n\to0$ は収束の必要条件にとどまり、収束の判定には凝集判定法のような議論が要る。単調性を外すと prop-cct-olivier の結論も崩れる（次の節の表の 3 行目）。
$(a_n)_{n\ge1}$ が単調減少で非負であり、$\sum a_n$ が収束するなら、
$$
\sum_{n=1}^{\infty}n\,(a_n-a_{n+1})=\sum_{n=1}^{\infty}a_n
$$
である。
$N\ge1$ について、$\sum_{n=1}^{N}n\,a_{n+1}=\sum_{m=2}^{N+1}(m-1)a_m$ なので
$$
\sum_{n=1}^{N}n\,(a_n-a_{n+1})=\sum_{n=1}^{N}na_n-\sum_{m=2}^{N+1}(m-1)a_m=\sum_{n=1}^{N}a_n-N\,a_{N+1}
$$
である。prop-cct-olivier により $(N+1)a_{N+1}\to0$、したがって $Na_{N+1}\to0$ なので、$N\to\infty$ として結論を得る。$\square$
左辺の各項 $n(a_n-a_{n+1})$ は非負である。この等式は、$a_n=\sum_{m\ge n}(a_m-a_{m+1})$（$a_m\to0$ による）を $n$ について足して和の順序を入れ替えたものとも読める。
仮定を外すと成り立たなくなること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| thm-cct-main の単調性 | $a_{2^k}=2^{-k}$（$k\ge0$）、それ以外の $n$ で $a_n=n^{-2}$ | $\sum a_n$ は収束するが、$\sum2^ka_{2^k}=\sum1$ は発散する |
| thm-cct-main の単調性 | $a_{2^k}=0$（$k\ge0$）、それ以外の $n$ で $a_n=\frac1n$ | $\sum2^ka_{2^k}=0$ は収束するが、$\sum a_n$ は発散する |
| prop-cct-olivier の単調性 | $n$ が平方数なら $a_n=\frac1n$、それ以外なら $a_n=\frac1{n^2}$ | $\sum a_n$ は収束するが、平方数の $n$ で $na_n=1$ なので $na_n\to0$ でない |
1 行目：$\sum a_n\le\sum_{n\ge1}n^{-2}+\sum_{k\ge0}2^{-k}<\infty$ である。2 行目：$\sum_{n\le N}a_n\ge H_N-\sum_{k\ge0}2^{-k}=H_N-2$（$H_N$ は第 $N$ 調和数）であり、調和級数 の定理「調和級数の発散」により $+\infty$ に発散する。3 行目：平方数の項の和は $\sum_{k\ge1}k^{-2}$、それ以外の項の和は $\sum n^{-2}$ 以下なので収束する。どの行でも、項は非負で $0$ に近づくが単調でなく、区間の和を区間の端の項で挟む議論が使えない。
補足
単調減少で非負の連続関数 $f$ について $\sum f(n)$ と $\int_1^\infty f(x)\,dx$ を比べる積分判定法も、ex-cct-p-series・ex-cct-log と同じ結論を与える（調和級数 の命題「積分による上下の評価」はその一例）。凝集判定法は積分を使わず、項の値だけを使う点に特徴がある。主定理と ex-cct-p-series・ex-cct-log の結論は Rud76 Theorem 3.27（pp. 61–62）、Theorem 3.28・3.29（p. 62）にある。thm-cct-schlomilch・prop-cct-olivier の証明は、主定理と同じ区間の分け方で組み立てたものである。
関連項目
- 前提: 級数, 調和級数, 数列の極限
- 関連: Cauchy列, Eulerの定数, Riemannゼータ関数
- 次に読む: 絶対収束, Abelの級数変形法
参考文献
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