絶対値と三角不等式

1. $|3|=3$、$|-5|=-(-5)=5$、$|0|=0$ である。
2. $\sqrt5=2.236\ldots$ なので $2-\sqrt5<0$ であり、$|2-\sqrt5|=-(2-\sqrt5)=\sqrt5-2=0.236\ldots$ である。
3. $|x-2|<3$ を解く。$x\ge2$ のときは $x-2<3$ から $2\le x<5$、$x<2$ のときは $-(x-2)<3$ から $-1< x<2$ である。合わせて $-1< x<5$ となる。これは「$x$ と $2$ の距離が $3$ より小さい」という意味で、数直線上で、$2$ から左右に $3$ 未満の範囲（$2-3< x<2+3$）である。この範囲の長さは $5-(-1)=6$ で、両端 $-1$、$5$ は含まない（$x=5$ では $|5-2|=3$ となり、$3$ より小さくない）。

$g(x)=|x-1|+|x+2|$ の値を、場合分けで求める。

• $x\ge1$ のとき：$g(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1$。
• $-2\le x<1$ のとき：$g(x)=-(x-1)+(x+2)=3$。
• $x<-2$ のとき：$g(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1$。
  $x\ge1$ では $2x+1\ge3$、$x<-2$ では $-2x-1>3$ なので、最小値は $3$ で、$-2\le x\le1$ のすべての点でとる。たとえば $g(3)=7$、$g(-3)=5$、$g(0)=3$ である。
  $|x-1|$ は $x$ と $1$ の距離、$|x+2|=|x-(-2)|$ は $x$ と $-2$ の距離である（図1）。$x$ が $-2$ と $1$ の間にあるとき、2 つの距離の和はちょうど $-2$ と $1$ の距離 $3$ になる。

距離 $|a-b|$ は、大きいほうから小さいほうを引いた値である。$a\ge b$ なら $|a-b|=a-b$、$a< b$ なら $|a-b|=-(a-b)=b-a$ だからである。

1. $3$ と $-2$ の距離は $|3-(-2)|=5$ である。順番を入れ替えても $|-2-3|=|-5|=5$ である。
2. $-7$ と $-4$ の距離は $|-7-(-4)|=|-3|=3$ である。数直線上で $-7$ から右へ $3$ 進むと $-4$ に着く。

1. $|2x+1|\le5$ は、prop-avt-basic の 6 により $-5\le2x+1\le5$ と同値である。各辺から $1$ を引いて $-6\le2x\le4$、$2$ で割って $-3\le x\le2$ となる。場合分けは要らない。
2. 端で確かめると、$x=2$ では $|5|=5$、$x=-3$ では $|-5|=5$ で、どちらも等号である。$x=3$ では $|7|=7>5$ で不等式を満たさない。

1. $a=3$、$b=5$：$|a+b|=8$、$|a|+|b|=3+5=8$ で、等しい。
2. $a=3$、$b=-5$：$|a+b|=|-2|=2$、$|a|+|b|=3+5=8$ で、$2<8$ である。
3. $a=-2$、$b=-7$：$|a+b|=|-9|=9$、$|a|+|b|=2+7=9$ で、等しい。
   1 と 3 では 2 回とも同じ向きに進むので、道のりがそのまま距離になる。2 では向きが逆なので、戻った分だけ距離が道のりより短くなる（図2）。

1. $a=7$、$b=3$：左辺 $|7-3|=4$、右辺 $|7-3|=4$ で、等しい。
2. $a=7$、$b=-3$：左辺 $|7-3|=4$、右辺 $|7-(-3)|=10$ で、$4<10$ である。
3. $a=-2$、$b=5$：左辺 $|2-5|=3$、右辺 $|-2-5|=7$ で、$3<7$ である。
   「絶対値の差」は「差の絶対値」を超えない。逆向きの $|a-b|\le\bigl||a|-|b|\bigr|$ は成り立たない。2 がその反例で、$10\le4$ は偽である。

$a_1,\dots,a_5=3,-1,4,-1,-5$ とする。和は $3-1+4-1-5=0$ なので左辺は $0$、右辺は $3+1+4+1+5=14$ で、$0\le14$ である。正と負が打ち消し合うほど、左辺は右辺より小さくなる。
一方、全部が同じ符号の $a_1,a_2,a_3=1,2,3$ では、左辺 $|1+2+3|=6$、右辺 $1+2+3=6$ で等号になる。$-1,-2,-3$ でも左辺 $|-6|=6$、右辺 $6$ で等号である。

$a=0$、$c=2$ とし、寄り道先 $b$ をいろいろに変える。左辺はいつも $|a-c|=|0-2|=2$ である。

$b$ が $a$ と $c$ の間（端を含む）にあるときだけ等号になり、外にあるときは寄り道の分だけ遠回りになる。cor-avt-distance の等号条件のとおりである。

ex-avt-sum-intro の $g(x)=|x-1|+|x+2|$ を、場合分けせずに扱う。
prop-avt-basic の 2 から $|x-1|=|1-x|$ である。cor-avt-distance を $a=1$、$b=x$、$c=-2$ として使うと
$$ 3=|1-(-2)|\le|1-x|+|x-(-2)|=g(x) $$
である。等号は $x$ が $-2$ と $1$ の間にあるとき、すなわち $-2\le x\le1$ のときに限る。よって最小値は $3$ で、それをとるのは $-2\le x\le1$ のすべての $x$ である。これは場合分けの結果と一致する（図3の左）。

$h(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|$ の最小値を求める。外側の 2 つと真ん中の 1 つに分ける。
段 1。ex-avt-sum-min と同じ理由で、$|x-1|+|x-3|\ge|1-3|=2$ であり、等号は $1\le x\le3$ のときに限る。
段 2。$|x-2|\ge0$ であり、等号は $x=2$ のときに限る（prop-avt-basic の 1）。
段 3。足すと $h(x)\ge2$ である。等号には段 1 と段 2 の等号が両方必要で、それは $x=2$ のときだけである。よって最小値は $h(2)=1+0+1=2$ である。ほかの点では、たとえば $h(1)=0+1+2=3$、$h(0)=1+2+3=6$ で、$2$ より大きい。
最小になる点 $2$ は、$1,2,3$ の真ん中の値（中央値）である（図3の右）。

$\mathbb{R}$ の上で $d(a,b):=\sqrt{|a-b|}$ と定めると、これも距離である。
条件 1、2 は $|a-b|$ の性質から従う。条件 3 を示す。$0$ 以上の $s,t$ について $\bigl(\sqrt s+\sqrt t\bigr)^2=s+2\sqrt{st}+t\ge s+t$ なので、両辺の $0$ 以上の平方根をとって $\sqrt{s+t}\le\sqrt s+\sqrt t$ である。cor-avt-distance と、平方根が増加関数であることから
$$ \sqrt{|a-c|}\le\sqrt{|a-b|+|b-c|}\le\sqrt{|a-b|}+\sqrt{|b-c|} $$
となる。
数値で確かめる。$a=0$、$b=1$、$c=4$ では、左辺 $\sqrt4=2$、右辺 $\sqrt1+\sqrt3=2.732\ldots$ で、$2<2.732\ldots$ である。
この距離では、$b$ が $a$ と $c$ の間にあっても、$b$ が $a$ とも $c$ とも異なれば等号にならない。$s:=|a-b|$、$t:=|b-c|$ がどちらも正なら、$\bigl(\sqrt s+\sqrt t\bigr)^2$ と $s+t$ の差 $2\sqrt{st}$ が正なので、上の式の 2 つ目の不等号が等号にならないからである。一方、$b=a$ なら $s=0$ で、左辺 $\sqrt{|a-c|}$、右辺 $0+\sqrt{|a-c|}$ となり等号である（$b=c$ でも同じ）。たとえば $a=0$、$b=0$、$c=4$ では両辺とも $2$ である。

$P=(0,0)$、$Q=(3,1)$、$R=(1,4)$ とする。

1. マンハッタン距離：$d_1(P,R)=1+4=5$、$d_1(P,Q)=3+1=4$、$d_1(Q,R)=2+3=5$ で、$5\le4+5$ である。
2. ユークリッド距離：$d_2(P,R)=\sqrt{17}=4.123\ldots$、$d_2(P,Q)=\sqrt{10}=3.162\ldots$、$d_2(Q,R)=\sqrt{13}=3.605\ldots$ で、$4.123\ldots\le6.767\ldots$ である。
3. 原点からの距離が $1$ の点の集まりは、$d_2$ では円、$d_1$ では正方形になる（図4）。たとえば点 $(0.6,0.4)$ は $d_1$ では原点から距離 $1$、$d_2$ では $\sqrt{0.52}=0.721\ldots$ である。

$\mathbb{R}$ の上で $e(a,b):=(a-b)^2$ と定める。$e(a,b)\ge0$ で、$e(a,b)=0$ は $a=b$ のときだけであり、$e(a,b)=e(b,a)$ も成り立つ。つまり条件 1 と 2 は満たす。
しかし条件 3 は満たさない。$a=0$、$b=1$、$c=2$ とすると、$e(0,2)=4$、$e(0,1)+e(1,2)=1+1=2$ で、$4\le2$ は偽である。したがって $e$ は距離ではない。$b$ が $a$ と $c$ のちょうど真ん中にあるのに、寄り道したほうが「近い」ことになってしまう。
満たす性質：def-avt-metric の条件 1・2。満たさない性質：条件 3（三角不等式）。破る主張：$e$ が距離であること。

$a_n=\frac1n$、$\alpha=0$ とする。正の数 $\varepsilon$ が与えられたら、$N$ を $\frac1\varepsilon$ より大きい自然数にとる。$n\ge N$ なら $n>\frac1\varepsilon$ なので $|a_n-0|=\frac1n<\varepsilon$ である。
たとえば $\varepsilon=0.1$ なら $N=11$ とすればよい。実際 $\frac1{11}=0.0909\ldots<0.1$ である。$N=10$ では $\frac1{10}=0.1$ で、$<0.1$ にならない。
$\varepsilon$ を小さくしていくと、$N$ は次のように大きくなる（$N$ は $\frac1\varepsilon$ より大きい最小の自然数）。

このように、$N$ は 1 つに決まった数ではなく、指定された $\varepsilon$ に応じて選び直す。$\varepsilon$ を小さくすると、選ぶ $N$ は大きくなる。定義が求めているのは、「どの $\varepsilon$ に対しても、そのような $N$ が見つかる」ことである。

$a_n=(-1)^n$ とする。項は $-1,1,-1,1,\dots$ と $1$ と $-1$ を交互にとる。この数列はどの実数にも収束しない。
段 1（方針）。ある実数 $\alpha$ に収束すると仮定して、矛盾を導く。
段 2（$\varepsilon=1$ をとる）。def-avt-convergence を $\varepsilon=1$ に使うと、ある $N$ があって、$n\ge N$ なら $|a_n-\alpha|<1$ である。$n=N$ と $n=N+1$ の項は、$1$ と $-1$ の一方ずつなので、$|1-\alpha|<1$ かつ $|{-1}-\alpha|<1$ である。
段 3（矛盾）。cor-avt-distance を $1$、$\alpha$、$-1$ に使うと
$$ 2=|1-(-1)|\le|1-\alpha|+|\alpha-(-1)|<1+1=2 $$
となり、$2<2$ という矛盾が出る（$|\alpha-(-1)|=|{-1}-\alpha|$ は prop-avt-basic の 2）。よって $a_n$ は収束しない。
一方、$|a_n|=1$ はすべての $n$ で $1$ なので、$|a_n|\to1$ である（どの $\varepsilon$ に対しても $N=1$ でよい）。満たす性質：$|a_n|$ は収束する。満たさない性質：$a_n$ 自身の収束。破る主張：「$|a_n|$ が収束すれば $a_n$ も収束する」（rem-avt-limit-abs の主張の逆）。

$a_n=\frac1n\to0$、$b_n=3-\frac2n\to3$ で、$\varepsilon=0.1$ とする。

• $|a_n-0|=\frac1n<0.05$ となるのは $n>20$、つまり $N_1=21$。
• $|b_n-3|=\frac2n<0.05$ となるのは $n>40$、つまり $N_2=41$。
  証明の $N=\max\{21,41\}=41$ では、$n=41$ で $|a_n+b_n-3|=\frac1{41}=0.0243\ldots<0.1$ となる。
  実際には $a_n+b_n-3=\frac1n-\frac2n=-\frac1n$ なので、$n\ge11$ ですでに $|a_n+b_n-3|<0.1$ である。三角不等式による評価は、打ち消し合いを無視するぶん安全側（大きめ）の $N$ を与える。極限の証明では、その $N$ で十分である。