2円の位置関係と共通接線

円 $C_1\colon x^2+y^2=9$（中心 $O_1(0,0)$、半径 $3$）と円 $C_2\colon (x-d)^2+y^2=1$（中心 $O_2(d,0)$、半径 $1$）の共有点を求める。2 つの方程式を引くと、2 次の項が消えて
$$ x^2+y^2-\bigl((x-d)^2+y^2\bigr)=9-1,\qquad 2dx-d^2=8,\qquad x=\frac{d^2+8}{2d} $$
となる。これを $x^2+y^2=9$ に代入して $y^2=9-x^2$ を調べる。

• $d=5$：$x=\dfrac{33}{10}$、$y^2=9-\dfrac{1089}{100}=-\dfrac{189}{100}<0$。共有点はない。
• $d=4$：$x=3$、$y^2=0$。共有点は $(3,0)$ の 1 つだけである。
• $d=3$：$x=\dfrac{17}6$、$y^2=9-\dfrac{289}{36}=\dfrac{35}{36}>0$。共有点は $\left(\dfrac{17}6,\pm\dfrac{\sqrt{35}}6\right)$ の 2 つである。
• $d=2$：$x=3$、$y^2=0$。共有点は $(3,0)$ の 1 つだけである。
• $d=1$：$x=\dfrac92$、$y^2=9-\dfrac{81}4<0$。共有点はない。
  半径の和は $3+1=4$、差は $3-1=2$ である。共有点が 1 つになったのは、$d$ が和 $4$ か差 $2$ に等しいときである。$d=5$ と $d=1$ はどちらも共有点がないが、$d=5$ では 2 円が互いの外にあり、$d=1$ では $C_2$ が $C_1$ の内部にある。

ex-tct-start の $r_1=3$、$r_2=1$ では $c=\dfrac{9-d^2-1}{2d}=\dfrac{8-d^2}{2d}$ である。

$d=4$ の接点は $(3,0)$ で線分 $O_1O_2$（$0\le x\le4$）の上にあり、$d=2$ の接点 $(3,0)$ は $O_2(2,0)$ の先にある。ex-tct-start の引き算による計算と一致する。

$O_1(0,0)$、$r_1=3$、$O_2(5,0)$、$r_2=1$ では
$$ I=\frac{1\cdot(0,0)+3\cdot(5,0)}{4}=\left(\frac{15}4,0\right),\qquad E=\frac{-1\cdot(0,0)+3\cdot(5,0)}{2}=\left(\frac{15}2,0\right) $$
である。$O_1I:IO_2=\dfrac{15}4:\dfrac54=3:1$、$O_1E:EO_2=\dfrac{15}2:\dfrac52=3:1$ で、確かに半径の比になっている。一般に $d=O_1O_2$ とすると $O_1I=\dfrac{r_1d}{r_1+r_2}$、$O_1E=\dfrac{r_1d}{r_1-r_2}$ である。

$C_1\colon x^2+y^2=9$、$C_2\colon (x-5)^2+y^2=1$（$d=5>4=r_1+r_2$）の共通接線を求める。ex-tct-centers により $E\left(\dfrac{15}2,0\right)$、$I\left(\dfrac{15}4,0\right)$ である。
段 1（共通内接線）。$I$ を通る直線を $y=m\left(x-\dfrac{15}4\right)$ とおく（$y$ 軸に平行な直線 $x=\dfrac{15}4$ は $O_1$ からの距離が $\dfrac{15}4\ne3$ なので接線でない）。$O_1$ からの距離が $3$ である条件は $\dfrac{\frac{15}4\lvert m\rvert}{\sqrt{1+m^2}}=3$ で、2 乗して $\dfrac{225}{16}m^2=9(1+m^2)$、つまり $81m^2=144$、$m=\pm\dfrac43$ である。直線は $4x-3y-15=0$ と $4x+3y-15=0$ である。$4x-3y-15=0$ の $O_2(5,0)$ からの距離は $\dfrac{\lvert20-15\rvert}{5}=1$ で、確かに $C_2$ にも接する。$f(O_1)=\dfrac{-15}5=-3$、$f(O_2)=\dfrac55=1$ で符号が反対なので、共通内接線である。
段 2（共通外接線）。$E$ を通る直線 $y=m\left(x-\dfrac{15}2\right)$ で同じ計算をすると $\dfrac{225}4m^2=9(1+m^2)$、つまり $189m^2=36$、$m=\pm\dfrac2{\sqrt{21}}$ である。直線は $2x-\sqrt{21}\,y-15=0$ と $2x+\sqrt{21}\,y-15=0$ である。$2x-\sqrt{21}\,y-15=0$ の係数を $\sqrt{4+21}=5$ で割ると、$f(O_1)=-3$、$f(O_2)=\dfrac{10-15}5=-1$ で、同じ符号の共通外接線である。
段 3（接点）。$2x-\sqrt{21}\,y-15=0$ の接点は、$C_1$ 側が $T_1\left(\dfrac65,-\dfrac{3\sqrt{21}}5\right)$、$C_2$ 側が $T_2\left(\dfrac{27}5,-\dfrac{\sqrt{21}}5\right)$ である（中心から直線に下ろした垂線の足）。$4x-3y-15=0$ の接点は $\left(\dfrac{12}5,-\dfrac95\right)$ と $\left(\dfrac{21}5,\dfrac35\right)$ である。

1. $d=4$（$C_2\colon (x-4)^2+y^2=1$、外接）。$I=(3,0)$ は接点で、共通内接線は $x=3$ の 1 本である。$E=(6,0)$ から $C_1$ への接線は、$\dfrac{6\lvert m\rvert}{\sqrt{1+m^2}}=3$ から $m=\pm\dfrac1{\sqrt3}$ で、$x-\sqrt3\,y-6=0$ と $x+\sqrt3\,y-6=0$ である。$x-\sqrt3\,y-6=0$ の $O_2(4,0)$ からの距離は $\dfrac{\lvert4-6\rvert}2=1$ である。合計 3 本である。
2. $d=3$（2 点で交わる）。$I=\left(\dfrac94,0\right)$ は $O_1I=\dfrac94<3$ で $C_1$ の内部にあり、共通内接線はない。$E=\left(\dfrac92,0\right)$ からの接線は $m=\pm\dfrac2{\sqrt5}$ で、$2x-\sqrt5\,y-9=0$ と $2x+\sqrt5\,y-9=0$ である。$2x-\sqrt5\,y-9=0$ の $O_1$、$O_2(3,0)$ からの距離は $\dfrac93=3$、$\dfrac{\lvert6-9\rvert}3=1$ である。合計 2 本である。

ex-tct-four の $d=5$、$r_1=3$、$r_2=1$ では、prop-tct-length により共通外接線の長さは $\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$、共通内接線の長さは $\sqrt{25-16}=3$ である。
接点から直接計算すると、共通外接線では $\overrightarrow{T_1T_2}=\left(\dfrac{21}5,\dfrac{2\sqrt{21}}5\right)$ で、長さの 2 乗は $\dfrac{441}{25}+\dfrac{84}{25}=\dfrac{525}{25}=21$ である。共通内接線では接点の差が $\left(\dfrac95,\dfrac{12}5\right)$ で、長さは $\sqrt{\dfrac{81+144}{25}}=\dfrac{15}5=3$ である。どちらも公式と一致する。

半径 $3$ と半径 $1$ の 2 つの車輪（円）の中心を距離 $4$ だけ離して置き、外側からぴんと張ったベルトをかける（$C_1\colon x^2+y^2=9$、$C_2\colon (x-4)^2+y^2=1$）。ベルトは 2 本の共通外接線の部分と、2 つの円の弧の部分からなる。
段 1（まっすぐな部分）。prop-tct-length により 1 本の長さは $\sqrt{16-4}=2\sqrt3$ で、2 本で $4\sqrt3$ である。
段 2（接点の位置）。ex-tct-three-two (1) の共通外接線 $x-\sqrt3\,y-6=0$ の単位法線は $\vec n=\left(\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}2\right)$ で、接点は $T_1=3\vec n=\left(\dfrac32,-\dfrac{3\sqrt3}2\right)$、$T_2=O_2+\vec n=\left(\dfrac92,-\dfrac{\sqrt3}2\right)$ である。どちらも中心から見て $x$ 軸の正の向きから $-60^\circ$ の方向にある。もう 1 本の接線の接点は $x$ 軸について対称で、$+60^\circ$ の方向にある。
段 3（弧の部分）。ベルトは $C_1$ では $O_2$ から遠い側の弧、つまり $60^\circ$ から $300^\circ$ までの $240^\circ$ の弧に沿い、長さは $3\cdot\dfrac{240}{360}\cdot2\pi=4\pi$ である。$C_2$ では $O_1$ から遠い側の $-60^\circ$ から $60^\circ$ までの $120^\circ$ の弧に沿い、長さは $1\cdot\dfrac{120}{360}\cdot2\pi=\dfrac{2\pi}3$ である。
合計は $4\sqrt3+4\pi+\dfrac{2\pi}3=4\sqrt3+\dfrac{14\pi}3\approx21.59$ である。

1. $C_1\colon x^2+y^2=9$、$C_2\colon (x-5)^2+y^2=1$ で、$E\left(\dfrac{15}2,0\right)$ を中心とする比 $\dfrac13$ の相似拡大は、$C_1$ の点 $X(0,3)$ を
   $$ \left(\frac{15}2,0\right)+\frac13\left(-\frac{15}2,3\right)=\left(\frac{15}2-\frac52,\ 1\right)=(5,1) $$
   に移す。$(5-5)^2+1^2=1$ で、確かに $C_2$ の上にある。$I\left(\dfrac{15}4,0\right)$ を中心とする比 $-\dfrac13$ の相似拡大は $X$ を $\left(\dfrac{15}4,0\right)-\dfrac13\left(-\dfrac{15}4,3\right)=(5,-1)$ に移し、これも $C_2$ の上にある。
2. 接弦定理 の例「接点を通る直線と、平行な 2 本の接線」の 2 円 $x^2+y^2=4$ と $(x-3)^2+y^2=1$ は外接し、内相似の中心は $\dfrac{1\cdot(0,0)+2\cdot(3,0)}3=(2,0)$、つまり接点 $T$ である。$T$ を中心とする比 $-\dfrac12$ の相似拡大は、$A(0,-2)$ を $(2,0)-\dfrac12(-2,-2)=(3,1)=B$ に移す。prop-tct-homothety により、$A$ における $C_1$ の接線は $B$ における $C_2$ の接線に移り、2 本は平行である。接点を通るどの直線でも同じことが成り立つ。

$x^2+y^2=4$ と $(x-6)^2+y^2=4$（$r_1=r_2=2$、$d=6$）では、線分 $O_1O_2$ を $2:2$ に外分する点は存在しない。共通外接線は $y=2$ と $y=-2$ で、直線 $O_1O_2$（$x$ 軸）に平行であり、どの点も「共通外接線がすべて通る点」にならない。共通内接線は内相似の中心 $I=(3,0)$ を通り、$\dfrac{3\lvert m\rvert}{\sqrt{1+m^2}}=2$ から $m=\pm\dfrac2{\sqrt5}$ で、$2x-\sqrt5\,y-6=0$ と $2x+\sqrt5\,y-6=0$ である（$O_1$、$O_2$ からの距離はどちらも $\dfrac63=2$）。共通接線は合計 4 本で、thm-tct-count の $d>r_1+r_2$ の場合と合っている。

ex-tct-start の $d=1$（$r_1=3$、$r_2=1$）では $d< r_1+r_2=4$ であるが、共有点はない。$d>r_1-r_2=2$ が成り立たず、$C_2$ は $C_1$ の内部にある（$C_2$ の点の $O_1$ からの距離は最大でも $d+r_2=2<3$）。2 点で交わるには、$d< r_1+r_2$ と $d>r_1-r_2$ の両方が必要である。

ex-tct-three-two (2) の $d=3$（$r_1=3$、$r_2=1$）では $d< r_1+r_2$ で、$d^2-(r_1+r_2)^2=9-16=-7<0$ なので、長さの式 $\sqrt{d^2-(r_1+r_2)^2}$ は実数にならない。実際、内相似の中心 $I\left(\dfrac94,0\right)$ は $C_1$ の内部にあり、$I$ を通る直線はどれも $C_1$ と 2 点で交わるので、共通内接線は 1 本もない。prf-tct-length は共通内接線が存在することを前提にしている。