随伴素イデアル

同義語：付随素イデアルassociated prime

概要

前提知識: 加群, 素イデアル, イデアル, 局所化, Noether環

加群の支持は、その加群がどの素イデアルの近くで非零になるかを示す。随伴素イデアルはさらに、一つの非零元をちょうど殺すイデアルが素である、という条件を課す。従って支持の全ての点が随伴素になるわけではない。既約成分の一般点に加えて、成分の内部に隠れた消滅条件を持つ元を検出する場合もある。
本記事では「随伴素イデアル」と「付随素イデアル」を同じ意味で使う。英語は associated prime である。環自身について語る場合も、その環を自分自身上の加群と見て定義する。非零元、環、加群のどれを対象としているかを区別しながら、零化イデアルから主要な定理を証明する。

定義と零加群

$A$ は可換単位環、$M$ は $A$ 加群とする。$x\in M$ の零化イデアルは
$$ \operatorname{Ann}_A(x)=\{a\in A:ax=0\} $$
である。$M$ 全体の零化イデアルは $\operatorname{Ann}_A(M)=\bigcap_{x\in M}\operatorname{Ann}_A(x)$ であり、一つの元の零化イデアルとは区別する。

随伴素イデアル

素イデアル $\mathfrak p\subset A$ が $M$ の随伴素イデアルであるとは、ある $x\in M$ について $\mathfrak p=\operatorname{Ann}_A(x)$ となることをいう。その集合を $\operatorname{Ass}_A(M)$ と書く。

素イデアルは真のイデアルなので、この証人 $x$ は必ず非零である。零元の零化イデアルは $A$ 全体であり、素イデアルではない。特に $\operatorname{Ass}_A(0)=\emptyset$ である。零環の単位的加群は零加群だけなので、その場合も随伴素は空になる。
定義自体は Noether 性や有限生成性を要求しない。以下では、それぞれの結論に必要な仮定を個別に記す。$A$ が Noether であることから任意の加群 $M$ が有限であるとはいえない。ここで「有限加群」は有限生成加群の意味である。MatCRT §6。
定義には次の同値な見方がある。$\operatorname{Ann}_A(x)=\mathfrak p$ なら
$$ A/\mathfrak p\longrightarrow M,\qquad \bar a\longmapsto ax $$
は単射である。核の計算がちょうど零化イデアルの等号であり、像は巡回部分加群 $Ax$ である。逆に $A/\mathfrak p$ の単射があれば $1$ の像が証人となる。随伴素とは、素イデアルによる商を部分加群として含む条件ともいえる。

極大な零化イデアルは素になる

随伴素の存在

非零元の零化イデアルの族に包含極大元があれば、その極大元は素イデアルである。特に $A$ が Noether、$M\ne0$ なら $\operatorname{Ass}_A(M)\ne\emptyset$ である。後半で $M$ の有限性は不要である。

$\mathfrak p=\operatorname{Ann}_A(x)$ がこの族の極大元とする。$x\ne0$ なので $\mathfrak p$ は真である。$ab\in\mathfrak p$、$b\notin\mathfrak p$ とすると $bx\ne0$ である。常に $\operatorname{Ann}_A(x)\subset\operatorname{Ann}_A(bx)$ であり、後者も非零元の零化イデアルなので、極大性から両者は等しい。$a(bx)=0$ より $a\in\mathfrak p$ となり、素イデアルの条件が得られる。
$A$ が Noether ならイデアルの昇鎖条件がある。非空のイデアル族に極大元がないと、任意の一つから始めて真に大きい元を順次選び、無限の真上昇鎖が得られて矛盾する。$M\ne0$ なら非零元の零化イデアル族は非空なので、極大元を取れる。前半を適用すれば随伴素となる。

ここでいう極大は、全イデアルの中の極大イデアルという意味ではない。非零元の零化イデアルという特定の族の中で、それ以上大きくならないという意味である。例えば整域 $A$ を自身の加群として見ると、全非零元の零化イデアルは $(0)$ であり、それが随伴素である。$A$ が体でなければ $(0)$ は極大イデアルではない。

零因子の集合

$a\in A$ が $M$ 上の零因子であるとは、ある $0\ne x\in M$ に対し $ax=0$ となることをいう。これは乗法写像 $M\xrightarrow{a}M$ が単射でないという条件である。$M\ne0$ なら $0$ もこの集合に入る。$M=0$ の場合は非零の証人がないので零因子集合は空とする。

零因子を検出する和集合

$A$ が Noether、$M$ が任意の $A$ 加群なら、$M$ 上の零因子の集合は
$$ \bigcup_{\mathfrak p\in\operatorname{Ass}_A(M)}\mathfrak p $$
に等しい。この記号はイデアルの和ではなく集合の和集合である。

$a$ が非零元 $x$ を殺すなら $a\in\operatorname{Ann}_A(x)$ である。このイデアルを含む非零元の零化イデアル全体を考える。昇鎖条件により、その族の極大元 $\mathfrak p$ を取れる。この極大元は全ての非零元の零化イデアル族でも極大である。より大きい元があれば、出発イデアルも含んで元の族に戻るからである。前定理より $\mathfrak p\in\operatorname{Ass}_A(M)$、従って $a$ は右辺に入る。
逆に $a\in\mathfrak p=\operatorname{Ann}_A(y)$、$y\ne0$ なら $ay=0$ なので零因子である。$M=0$ のときは随伴素も零因子も空なので同じ等号が成り立つ。

右辺が有限和集合であることを以下の定理で保証する際は、$M$ の有限生成性も仮定する。その有限性は後で素因子列から証明する。元 $a$ が非零因子かどうかを調べる際は、各随伴素に属さないことを調べればよい。この判定と有限素イデアル回避を組み合わせることが、正則列の元を選ぶ際の基礎となる。

短完全列での振る舞い

まず $\operatorname{Ass}_A(A/\mathfrak p)=\{\mathfrak p\}$ を確認する。非零元 $\bar r$ は $r\notin\mathfrak p$ を満たす。$a\bar r=0$ は $ar\in\mathfrak p$ という条件であり、素性から $a\in\mathfrak p$ と同値である。従って全非零元が同じ零化イデアルを持つ。

短完全列の随伴素

任意の環上の短完全列 $0\to U\to M\to V\to0$ に対し
$$ \operatorname{Ass}(U)\subset\operatorname{Ass}(M) \subset\operatorname{Ass}(U)\cup\operatorname{Ass}(V) $$
が成り立つ。Noether 性と有限性は不要である。

$U$ を $M$ の部分加群として扱う。$U$ 内の元の零化イデアルは $M$ 内でも変わらないため、最初の包含が得られる。
$\mathfrak p\in\operatorname{Ass}(M)$ の証人 $x$ を取り、$Ax\cong A/\mathfrak p$ とする。$Ax\cap U\ne0$ なら、その非零元 $y$ の零化イデアルは、前段の $A/\mathfrak p$ の計算により $\mathfrak p$ である。従って $\mathfrak p\in\operatorname{Ass}(U)$ となる。一方、交叉が零なら $Ax\to V$ は単射であり、$x$ の非零像の零化イデアルも $\mathfrak p$ となるので $\mathfrak p\in\operatorname{Ass}(V)$ である。これで二つ目の包含を得る。

反例として、一般に $\operatorname{Ass}(V)\subset\operatorname{Ass}(M)$ とはいえない。$A=k[t]$ と $0\to(t)\to A\to A/(t)\to0$ を見ると、$A$ は整域なので $\operatorname{Ass}(A)=\{(0)\}$ だが、$\operatorname{Ass}(A/(t))=\{(t)\}$ である。商に移ると新しい零化条件が現れる。
分裂列なら有限直和に対して $\operatorname{Ass}(U\oplus V)=\operatorname{Ass}(U)\cup\operatorname{Ass}(V)$ となる。上の包含で一方向が得られ、各因子からの単射で逆方向が得られる。無限直和でも、各元は有限個の成分しか持たないため同じ等号が成り立つが、随伴素の集合が有限になるとは限らない。

素因子列と有限性

有限素因子列

$A$ が Noether、$M$ が有限 $A$ 加群なら、有限列
$$ 0=M_0\subset M_1\subset\cdots\subset M_r=M $$
で、各 $M_i/M_{i-1}\cong A/\mathfrak p_i$、$\mathfrak p_i$ が素イデアルとなるものが存在する。$M=0$ なら空の列とする。特に $\operatorname{Ass}(M)$ は有限集合である。

最初に有限 $A$ 加群が Noether 加群になることを確認する。$A^n$ の部分加群 $N$ が有限生成であることを $n$ で帰納する。$n=1$ はイデアル有限生成である。一般の場合、最後の座標への像はイデアルなので有限生成であり、その生成元を $N$ に持ち上げる。最後の座標が零になる核は $A^{n-1}$ の部分加群なので帰納法で有限生成である。任意の元から持上げ生成元の線形結合を引けば核に入るので、両方の生成元で $N$ が生成される。
有限加群 $M$ は $A^n$ の商であるから、部分加群の逆像を取ることで全ての部分加群が有限生成と分かる。上昇鎖の合併も部分加群であり、その有限個の生成元はある共通段階に入る。従って鎖はそこで止まり、$M$ は Noether 加群である。
$M\ne0$ なら随伴素の存在定理により、ある非零巡回部分加群 $M_1\cong A/\mathfrak p_1$ を取れる。$M_1\ne M$ なら商 $M/M_1$ に同じ存在定理を適用し、その素巡回部分加群の逆像を $M_2$ とする。この操作を続けて止まらなければ、$M$ 内の無限真上昇鎖ができて Noether 性に反する。従って有限段階で $M_r=M$ となる。
各段の短完全列へ前命題を適用すると $\operatorname{Ass}(M_i)\subset\operatorname{Ass}(M_{i-1})\cup\{\mathfrak p_i\}$ である。帰納して $\operatorname{Ass}(M)\subset\{\mathfrak p_1,\ldots,\mathfrak p_r\}$ となり有限性を得る。

素因子列に出てくる全ての素が $M$ の随伴素とは限らない。例えば $A=k[t]$ において $0\subset(t)\subset A$ は、因子が $A$ と $A/(t)$ になる素因子列であるが、$(t)$ は $A$ の随伴素ではない。有限性の証明は包含を使っており、因子の素集合との等号を主張していない。
有限加群という仮定を落とすと有限性は失敗する。$A=\mathbf Z$、$M=\bigoplus_{\ell}\mathbf Z/\ell\mathbf Z$ を全素数 $\ell$ にわたる直和とする。各因子の非零元の零化イデアルは $(\ell)$ なので、上の直和の計算により $\operatorname{Ass}(M)=\{(\ell):\ell\text{ は素数}\}$ となる。素数は有限個と仮定すれば、その積に $1$ を足した整数の素因子が新しい素数となるので無限個ある。$A$ は Noether だが $M$ は有限ではなく、随伴素集合は無限である。

局所化の証人を回収する

随伴素の局所化

$A$ が Noether、$M$ は任意の $A$ 加群、$S$ は積閉集合とする。このとき
$$ \operatorname{Ass}_{S^{-1}A}(S^{-1}M) =\{S^{-1}\mathfrak p:\mathfrak p\in\operatorname{Ass}_A(M),\ \mathfrak p\cap S=\emptyset\}. $$
$0\in S$ の場合は両辺空となる。

$\mathfrak p=\operatorname{Ann}_A(x)$、$\mathfrak p\cap S=\emptyset$ とする。もし $x/1=0$ なら、ある $s\in S$ が $sx=0$ を満たし $s\in\mathfrak p$ となるので矛盾する。分数 $a/u$ が $x/1$ を殺すなら、分数加群の零判定によりある $t\in S$ について $tax=0$ となる。$ta\in\mathfrak p$、$t\notin\mathfrak p$ から $a\in\mathfrak p$ である。逆包含は明らかで、零化イデアルは $S^{-1}\mathfrak p$ となる。
逆に $P=\operatorname{Ann}_{S^{-1}A}(x/s)$ を随伴素とする。$s$ は単元として作用するので $x/1$ も非零で同じ零化イデアルを持つ。$\mathfrak p=P\cap A$ は $S$ と交わらない素であり、$\mathfrak p=\{a:a(x/1)=0\}$ となる。
$A$ の Noether 性を使い $\mathfrak p=(a_1,\ldots,a_n)$ と書く。各 $a_i x/1=0$ に対し $u_i\in S$ で $u_i a_i x=0$ となるものを取り、$u=\prod_i u_i$ と置く。$n=0$ なら $u=1$ とする。これにより $\mathfrak p\,ux=0$ である。逆に $a ux=0$ なら局所化後 $u$ が単元なので $a(x/1)=0$、すなわち $a\in\mathfrak p$ である。従って $\operatorname{Ann}_A(ux)=\mathfrak p$ となる。$ux$ は非零である。零ならこの零化イデアルが全環になり、$\mathfrak p$ の真性に反する。ゆえに $\mathfrak p\in\operatorname{Ass}_A(M)$、$P=S^{-1}\mathfrak p$ を得る。

この証明で $M$ の有限性は使っていない。Noether 性は、局所化で零になる $\mathfrak p$ の全元について、有限個の生成元を選んで一つの共通分母 $u$ に集約するために用いた。Noether 性のない環では、この逆包含の証明は同じ形では使えない。
特に素イデアル $\mathfrak p$ について $\mathfrak p\in\operatorname{Ass}_A(M)$ と $\mathfrak p A_{\mathfrak p}\in\operatorname{Ass}_{A_{\mathfrak p}}(M_{\mathfrak p})$ は同値である。局所環では極大イデアルが随伴素であることは、極大イデアルで殺される非零元が存在することを意味する。この部分加群を socle と呼ぶことがある。

支持の極小点との接続

支持は $\operatorname{Supp}_A(M)=\{\mathfrak p:M_{\mathfrak p}\ne0\}$ と定義する。$\mathfrak p=\operatorname{Ann}_A(x)$ が随伴素なら、$A/\mathfrak p\to M$ の単射を局所化して $\kappa(\mathfrak p)\to M_{\mathfrak p}$ の単射を得る。左辺は非零体なので $\mathfrak p\in\operatorname{Supp}(M)$ である。この包含は Noether 性なしでも成り立つ。
有限加群については支持を全加群の零化イデアルから計算できる。$M$ の有限生成元を $x_1,\ldots,x_n$ とする。$M_{\mathfrak p}=0$ なら、各 $x_i$ を殺す $s_i\notin\mathfrak p$ があり、その積は $M$ 全体を殺す。従って $\operatorname{Ann}(M)$ は $\mathfrak p$ に含まれない。逆に零化イデアルに $s\notin\mathfrak p$ があれば、局所化後単元 $s$ が全体を殺すため $M_{\mathfrak p}=0$ である。ゆえに $\operatorname{Supp}(M)=V(\operatorname{Ann}(M))$ となる。

支持と随伴素の極小元

$A$ が Noether、$M$ が有限なら、$\operatorname{Ass}(M)$ と $\operatorname{Supp}(M)$ の包含関係での極小元は一致する。これらを極小随伴素といい、それ以外の随伴素を埋込随伴素という。

支持の極小点 $\mathfrak p$ を取る。$M_{\mathfrak p}\ne0$ なので、Noether 環 $A_{\mathfrak p}$ 上の随伴素は非空である。その随伴素は局所化後の支持に入る。$A_{\mathfrak p}$ の素は $\mathfrak q\subset\mathfrak p$ に対応し、その点での加群は $M_{\mathfrak q}$ と同型なので、$\mathfrak p$ の極小性から局所化後の支持は極大点 $\mathfrak p A_{\mathfrak p}$ 一つしかない。従ってこの極大イデアルが随伴素であり、局所化の定理から $\mathfrak p\in\operatorname{Ass}(M)$ である。
各支持点の下に極小支持点があることも確認する。素因子列を局所化すれば、加群が非零であるのは少なくとも一つの因子が非零になる場合である。因子 $A/\mathfrak p_i$ の支持は $V(\mathfrak p_i)$ なので、支持は有限和 $\bigcup_i V(\mathfrak p_i)$ になる。任意の支持点は、有限集合 $\{\mathfrak p_i\}$ のうちその下にあるものを含む。その有限集合の包含極小元を取れば、支持の極小点となる。
随伴素の極小点 $\mathfrak q$ は支持に入るので、その下の極小支持点 $\mathfrak p$ を取れる。前段で $\mathfrak p$ も随伴素なので $\mathfrak q$ の極小性から $\mathfrak p=\mathfrak q$ となる。逆に極小支持点は随伴素に入り、随伴素が支持に含まれるため随伴素の中でも極小である。零加群では双方空であり、同じ結論となる。

支持全体との等号はない。整域 $A=k[t]$、$M=A$ では随伴素は $(0)$ だけだが、全ての素イデアルで $A$ の局所化は非零なので支持は全 $\operatorname{Spec}(A)$ である。特に閉点 $(t)$ は支持点だが随伴素ではない。

埋込随伴素を元の計算で見る

二つの零化イデアル

任意の体 $k$ に対し $A=k[x,y]$、$M=A/(x^2,xy)$ とする。このとき
$$ \operatorname{Ass}_A(M)=\{(x),(x,y)\} $$
であり、$(x)$ が極小随伴素、$(x,y)$ が埋込随伴素である。

商の各元は一意に $f(y)+cx$、$f\in k[y]$、$c\in k$ と書ける。$x^2=xy=0$ なので、$x$ の次数が二以上の項と $x$ を含む正の $y$ 次数の項が消える。残りの $y$ 単項式と $x$ は関係イデアルに含まれず独立であり、表示は一意である。
作用の計算は商環内で行える。$g(y)+dx$ を掛けると
$$ (g(y)+dx)(f(y)+cx)=g(y)f(y)+(c g(0)+d f(0))x $$
となる。$f=0$、$c\ne0$ なら、零になる条件は $g(0)=0$ であり、商環内の零化イデアルは $(x,y)$ である。特に $x$ の零化イデアルがこのイデアルになる。
$f\ne0$ なら、$k[y]$ が整域なので零積の条件から $g=0$ である。さらに $f(0)=0$ なら $d$ は任意で、商環内の零化イデアルは $(x)$ となる。特に $y$ の零化イデアルは $(x)$ である。$f(0)\ne0$ なら $d=0$ も必要で、商環内の零化イデアルは $(0)$ になる。
$A$ 上の零化イデアルはこれらを商写像で逆像に戻したもので、それぞれ $(x,y)$、$(x)$、$(x^2,xy)$ である。最後のイデアルは素ではない。$x\notin(x^2,xy)$ だが $x^2$ はそこに入るからである。従って全非零元について素となる零化イデアルは最初の二つだけであり、主張が得られる。
また $(x^2,xy)$ を含む素は $x^2$ から $x$ を含むので、支持は $V(x)$ である。この支持の唯一の極小点が $(x)$ であり、$(x,y)$ はその真に上にある。埋込随伴素は別の既約成分を作るのではなく、同じ支持の中で元 $x$ の追加の消滅を検出する。この例では零因子集合は $(x)\cup(x,y)=(x,y)$ となる。

仮定と用語の整理

随伴素の定義、単射による包含、短完全列の包含は任意環で成り立つ。存在と零因子和集合、任意加群の局所化の等号には、本記事では環の Noether 性を用いた。随伴素の有限性と有限素因子列では、さらに加群の有限生成性を用いる。これらを一つの「有限性」の仮定にまとめてはいけない。
随伴素を元の零化イデアルから計算する際は、その零化イデアルが素かどうかまで確かめる必要がある。全加群の零化イデアルの極小素だけを列挙すると、埋込随伴素を落とす。一方、素因子列に出る全素を並べるだけでは、随伴素でない余分な点も入り得る。支持・素因子・零化イデアルそれぞれの役割を、上の計算で区別できる。
本記事は一次分解の一意性や一般の非 Noether 環の弱随伴素の理論へは進まない。それらの概念を用いなくても、Noether 環上の随伴素の主要な検出法と局所化、支持の極小点との関係は証明できる。