Minkowski汎関数

1：$0\in tC$ がすべての $t>0$ で成り立つので $p(0)=\inf(0,\infty)=0$ である。$\lambda>0$ なら、$\lambda x\in tC$ と $x\in(t/\lambda)C$ は同値なので、$\{t\mid\lambda x\in tC\}=\lambda\{s\mid x\in sC\}$ である。正の数を掛けることは下限と交換するので（空集合なら両辺 $+\infty$）、$p(\lambda x)=\lambda p(x)$ である。
2：$p(x)$、$p(y)$ の一方が $+\infty$ なら右辺は $+\infty$ で自明である。両方が有限とし、$\varepsilon>0$ をとる。$a:=p(x)+\varepsilon$、$b:=p(y)+\varepsilon$ は正の実数で、それぞれ下限より大きいので、定義の直後に述べたことから $x/a\in C$、$y/b\in C$ である。$C$ の凸性から
$$ \frac{x+y}{a+b}=\frac a{a+b}\cdot\frac xa+\frac b{a+b}\cdot\frac yb\in C $$
であり、$p(x+y)\le a+b=p(x)+p(y)+2\varepsilon$ である。$\varepsilon>0$ は任意なので $p(x+y)\le p(x)+p(y)$ である。
3：$p(x)< 1$ なら、$p(x)< t< 1$ となる $t$ について $x\in tC$ であり、$x/t\in C$ と $0\in C$ から $x=t\cdot\frac xt+(1-t)\cdot0\in C$ である。$x\in C$ なら $x\in1\cdot C$ なので $p(x)\le1$ である。
4：$p(x)< +\infty$ は $\{t>0\mid x\in tC\}$ が空でないこと、すなわち $x$ がある $tC$ に入ることと同値である。
5：$-C=C$ なら $x\in tC$ と $-x\in tC$ は同値なので $p(-x)=p(x)$ である。1 と合わせて、$\lambda< 0$ でも $p(\lambda x)=|\lambda|p(-x)=|\lambda|p(x)$ となり、$\lambda=0$ は $p(0)=0$ である。2 と合わせると、有限値の $p$ は半ノルムの条件を満たす。$\square$

1：$x\in E$ と $t>\|x\|/r$ をとると $\|x/t\|< r$ なので $x/t\in B(0,r)\subset C$、すなわち $x\in tC$ である。よって $p(x)\le\|x\|/r$ である（$x=0$ でも成り立つ）。prop-mk-basic の 2 から $p(x)\le p(x-y)+p(y)$ なので $p(x)-p(y)\le p(x-y)\le\|x-y\|/r$ であり、$x$ と $y$ を入れ替えて $|p(x)-p(y)|\le\|x-y\|/r$ を得る。
2：$x\in\operatorname{int}C$ とする。$x=0$ なら $p(x)=0< 1$ である。$x\neq0$ なら、ある $\delta>0$ で $x$ を中心とする半径 $\delta$ の開球が $C$ に含まれ、$0< \varepsilon< \delta/\|x\|$ について $(1+\varepsilon)x\in C$ である。よって $x\in\frac1{1+\varepsilon}C$ で、$p(x)\le\frac1{1+\varepsilon}< 1$ である。逆に、1 により $p$ は連続なので $\{p< 1\}$ は開集合であり、prop-mk-basic の 3 により $C$ に含まれる。$C$ に含まれる開集合は $\operatorname{int}C$ に含まれるので、$\{p< 1\}\subset\operatorname{int}C$ である。
3：$p$ は連続なので $\{p\le1\}$ は閉集合であり、prop-mk-basic の 3 により $C$ を含む。よって $\overline C\subset\{p\le1\}$ である。逆に $p(x)\le1$ とする。$0< t< 1$ について $p(tx)=tp(x)< 1$ なので、prop-mk-basic の 3 により $tx\in C$ である。$t\uparrow1$ で $tx\to x$ なので $x\in\overline C$ である。
最後の主張は、$C$ が開なら $\operatorname{int}C=C$、閉なら $\overline C=C$ であることによる。$\square$

$C\in\mathcal C$ なら、$C$ は開で $0$ を含むので $0\in\operatorname{int}C$ であり、thm-mk-normed の 1 と prop-mk-basic の 1・2 により $p_C\in\mathcal P$、thm-mk-normed の最後の主張により $\{p_C< 1\}=C$ である。
逆に $p\in\mathcal P$ とし、$C:=\{p< 1\}$ とおく。$p$ は連続なので $C$ は開集合で、$p(0)=0$（$p(0)=p(2\cdot0)=2p(0)$ から）なので $0\in C$ である。$x,y\in C$、$0< t< 1$ なら $p((1-t)x+ty)\le(1-t)p(x)+tp(y)< 1$ なので $C$ は凸である。よって $C\in\mathcal C$ である。さらに $x\in E$ と $t>0$ について、$x\in tC$ は $p(x/t)< 1$、すなわち $p(x)< t$ と同値である。$p(x)\ge0$ なので $\{t>0\mid x\in tC\}=(p(x),\infty)$ であり、その下限は $p(x)$ である。よって $p_C=p$ である。
以上で、$C\mapsto p_C$ の後に $p\mapsto\{p< 1\}$ を施すと恒等写像になり、逆の順に施しても恒等写像になることが示された。$\square$

(c) と thm-mk-normed の 1 から $p_C(x)\le\|x\|/r$ で $p_C$ は有限値である。$x\in tC$ なら $x/t\in C$ なので (b) より $\|x\|\le tR$、すなわち $t\ge\|x\|/R$ であり、下限をとって $p_C(x)\ge\|x\|/R$ である。とくに $x\neq0$ なら $p_C(x)>0$ である。prop-mk-basic の 5 により $p_C$ は半ノルムなので、正値性と合わせて $p_C$ はノルムである。単位球の主張は thm-mk-normed の 2・3 である。
逆の主張：$K:=\{N\le1\}$ とすると、$t>0$ について $x\in tK$ は $N(x/t)\le1$、すなわち $N(x)\le t$ と同値である。よって $\{t>0\mid x\in tK\}$ の下限は $N(x)$ である（$N(x)=0$ なら $(0,\infty)$ で下限 $0$）。$\square$

$\sigma(x):=\sup_{f\in C^\circ}\langle f,x\rangle$ とおく。$0\in C^\circ$ なので $\sigma(x)\ge0$ である。
$\sigma\le p_C$：$f\in C^\circ$ とし、$x\in tC$（$t>0$）とすると $x/t\in C$ なので $\langle f,x\rangle\le t$ である。$t$ について下限をとって $\langle f,x\rangle\le p_C(x)$ であり、$f$ について上限をとればよい。
$\sigma\ge p_C$：ある $x$ で $\sigma(x)< p_C(x)$ と仮定し、$\sigma(x)< c< p_C(x)$ となる実数 $c>0$ をとる（$\sigma(x)\ge0$ なので $c>0$ にとれる）。$y:=x/c$ とおくと $p_C(y)=p_C(x)/c>1$ であり、$C$ は閉なので thm-mk-normed の 3 により $y\notin C$ である。Hahn–Banachの定理 の系「閉凸集合と外の点の分離」（実ノルム空間の空でない閉凸集合と外の点についての主張。Bre11 Theorem 1.7、p. 7。この記事では証明しない）により、$\sup_{z\in C}\langle g,z\rangle< \langle g,y\rangle$ となる $g\in E^*$ があり、$\alpha$ をこの 2 数の中点にとると
$$ \langle g,z\rangle< \alpha< \langle g,y\rangle\qquad(z\in C) $$
となる。$0\in C$ なので $\alpha>0$ である。$f:=g/\alpha$ とおくと、$z\in C$ について $\langle f,z\rangle< 1$ なので $f\in C^\circ$ であり、$\langle f,y\rangle>1$ である。すると $\sigma(x)\ge\langle f,x\rangle=c\langle f,y\rangle>c$ となり、$c$ のとり方に反する。よって $\sigma=p_C$ である。
集合の等式：$x\in C$ なら定義から $\langle f,x\rangle\le1$（$f\in C^\circ$）である。逆にすべての $f\in C^\circ$ で $\langle f,x\rangle\le1$ なら $p_C(x)=\sigma(x)\le1$ であり、thm-mk-normed の 3 により $x\in C$ である。
最後の主張：$f\in C^\circ$、$\|x\|< 1$ なら $rx\in B(0,r)\subset C$ なので $\langle f,x\rangle\le1/r$ である。$x$ について上限をとって $\|f\|_*\le1/r$ である。$\square$