Hard Lefschetz定理

交換子の Leibniz 則により $[L^r,\Lambda]=\sum_{m=0}^{r-1}L^{r-1-m}[L,\Lambda]L^m$ である。$L^mu\in V_{j+2m}$ の上で $[L,\Lambda]=j+2m-n$ なので
$$ [L^r,\Lambda]u=\sum_{m=0}^{r-1}(j+2m-n)L^{r-1}u=r(j-n+r-1)L^{r-1}u $$
である。$\Lambda u=0$ だから $\Lambda L^ru=L^r\Lambda u-[L^r,\Lambda]u=r(n-j-r+1)L^{r-1}u$ である。後半は $\|L^ru\|^2=\langle L^ru,L\,L^{r-1}u\rangle=\langle\Lambda L^ru,L^{r-1}u\rangle$ による。$\square$

1．lem-hl-norm を $r=1$ に当てると $\|Lu\|^2=(n-j)\|u\|^2$ である。$j>n$ なら右辺は $\le0$ で、$0$ になるのは $u=0$ のときに限る。
2．lem-hl-norm を繰り返すと $\|L^ru\|^2=\prod_{s=1}^rs(n-j-s+1)\cdot\|u\|^2$ である。$1\le s\le n-j$ では因子は正なので $r\le n-j$ で $L^ru\neq0$、$s=n-j+1$ の因子は $0$ なので $L^{n-j+1}u=0$ である。
3．対称性から $r>s$ としてよい。lem-hl-norm の前半を $s$ 回使うと $\Lambda^sL^sv$ は $v$ の定数倍で、$\Lambda v=0$ から $\Lambda^{s+1}L^sv=0$ である。$r\ge s+1$ なので $\langle L^ru,L^sv\rangle=\langle u,\Lambda^rL^sv\rangle=0$ である。$\square$

1．有限次元の内積空間では $\ker L^*=(\operatorname{im}L)^\perp$ なので、$V_k=P_k\oplus L(V_{k-2})$（直交直和）である。$k$ についての帰納法で $V_{k-2}=\sum_{r\ge0}L^rP_{k-2-2r}$ とすると、$V_k=P_k+\sum_{r\ge0}L^{r+1}P_{k-2-2r}=\sum_{r\ge0}L^rP_{k-2r}$ である（$V_j=0$、$j<0$）。cor-hl-primitive の 3 により相異なる $r$ の項は直交するので、和は直交直和である。同系の 1 により $k-2r>n$ の項は $0$ なので、$r\ge k-n$ の項だけが残る。
2．単射：$u\in V_k$ を 1 により $u=\sum_{r\ge0}L^ru_r$（$u_r\in P_{k-2r}$）と書くと $L^{n-k}u=\sum_rL^{n-k+r}u_r$ である。$n-k+r\le n-(k-2r)$ なので、cor-hl-primitive の 2 により $u_r\neq0$ なら $L^{n-k+r}u_r\neq0$ である。これらの項は同系の 3 により互いに直交するので、$L^{n-k}u=0$ ならすべての $u_r$ が $0$ で、$u=0$ である。全射：1 により $V_{2n-k}=\bigoplus_{r\ge n-k}L^rP_{2n-k-2r}$ なので、$w\in V_{2n-k}$ は $w=\sum_{r\ge n-k}L^rw_r=L^{n-k}\bigl(\sum_rL^{r-n+k}w_r\bigr)$ と書ける。
3．$u\in P_k$ なら cor-hl-primitive の 2 により $L^{n-k+1}u=0$ である。逆に $L^{n-k+1}u=0$ とし、$u=\sum_rL^ru_r$ と書く。$L^{n-k+1}u=\sum_rL^{n-k+1+r}u_r$ で、$r\ge1$ なら $n-k+1+r\le n-(k-2r)$ だから $u_r\neq0$ のとき $L^{n-k+1+r}u_r\neq0$ である。項どうしは直交するので、$r\ge1$ の $u_r$ はすべて $0$ で、$u=u_0\in P_k$ である。$\square$

段 1：調和形式は Lefschetz 組をなす．$\omega$ の定める Kähler 計量をとり、$V_k$ を複素数値の $k$ 次調和形式の空間（Hodgeの定理 の $\mathcal H^k(X)$ の複素化）とする。Hodgeの定理 の主定理の 1 により $V_k$ は有限次元で、$L^2$ 内積 $\langle\!\langle\alpha,\beta\rangle\!\rangle=\int_X\langle\alpha,\beta\rangle\mathrm{vol}$ により Hermite 内積空間である。次数の違う形式は各点で直交するので $V_k$ たちは直交する。Kählerの恒等式 の定理「Laplace 作用素の関係」の 4 により $\Delta$ は $L$、$\Lambda$ と可換なので、$L(V_k)\subset V_{k+2}$、$\Lambda(V_k)\subset V_{k-2}$ である。$\Lambda$ は各点で $L$ の随伴なので、積分して $\langle\!\langle L\alpha,\beta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle\alpha,\Lambda\beta\rangle\!\rangle$ であり、$V$ の上の $L$ の随伴は $\Lambda$ の制限である。各点で $k$ 次形式の上 $[L,\Lambda]=(k-n)$ なので（ex-hl-pointwise）、$V=\bigoplus_kV_k$ の上でも同じ関係が成り立つ。よって $(V,L)$ は Lefschetz 組である。
段 2：コホモロジーへ移す．Hodgeの定理 の主定理の 3 により、$h\colon V_k\to H^k(X,\mathbb C)$、$\alpha\mapsto[\alpha]$ は同型である。調和形式 $\alpha$ について $\omega\wedge\alpha$ は段 1 により調和で、$[\omega\wedge\alpha]=L[\alpha]$ だから、$h\circ L=L\circ h$ である。
1．thm-hl-linear の 2 と段 2 により、$L^{n-k}\colon H^k(X,\mathbb C)\to H^{2n-k}(X,\mathbb C)$ は同型である。これは実係数の写像 $L^{n-k}\colon H^k(X,\mathbb R)\to H^{2n-k}(X,\mathbb R)$ の複素化なので、実係数でも同型である。
4 と 2．$k\le n$、$\alpha\in V_k$ について、thm-hl-linear の 3 から $\Lambda\alpha=0\Leftrightarrow L^{n-k+1}\alpha=0\Leftrightarrow L^{n-k+1}[\alpha]=0$ である。よって $h$ は $P_k=V_k\cap\ker\Lambda$ を $P^k(X)$ の上へ写し、これが 4 である。$k>n$ では cor-hl-primitive の 1 により $P_k=0=P^k(X)$ である。thm-hl-linear の 1 と cor-hl-primitive の 2 を $h$ で移すと 2 を得る。
3．Kählerの恒等式 の定理「Laplace 作用素の関係」の 3 により $\Delta$ は型を保つので、$V_k=\bigoplus_{p+q=k}\mathcal H^{p,q}$（$\mathcal H^{p,q}$ は型 $(p,q)$ の調和形式）であり、$h$ は $\mathcal H^{p,q}$ を $H^{p,q}(X)$ の上へ同型に写す（Hodge分解 の定理「Hodge 分解定理」の 4）。$L^{n-k}$ は $\mathcal H^{p,q}$ を $\mathcal H^{n-q,n-p}$ に写し、$V_k\to V_{2n-k}$ として全単射で、両辺の型ごとの直和分解を保つので、各 $\mathcal H^{p,q}\to\mathcal H^{n-q,n-p}$ も全単射である。$\Lambda$ は型を $(-1,-1)$ ずらすので、$\Lambda\alpha=0$ は $\alpha$ の各型の成分について $\Lambda\alpha^{p,q}=0$ と同値であり、$P_k=\bigoplus_{p+q=k}(P_k\cap\mathcal H^{p,q})$ である。これを $h$ で移すと $P^k(X)=\bigoplus P^{p,q}(X)$ を得る。最後に $\alpha\in\mathcal H^{p,q}$ の分解 $\alpha=\sum_rL^r\alpha_r$ で各 $\alpha_r$ を型に分けると、分解の一意性と $L$ が型を $(1,1)$ ずらすことから $\alpha_r\in\mathcal H^{p-r,q-r}$ であり、$H^{p,q}(X)$ の分解を得る。$\square$

1．$k-2< n$ なので thm-hl-main の 1 により $L^{n-k+2}\colon H^{k-2}\to H^{2n-k+2}$ は同型であり、$L^{n-k+2}=L^{n-k+1}\circ L$ だから $L\colon H^{k-2}\to H^k$ は単射である。同定理の 2 を $k$ と $k-2$ に当てると、$H^k=P^k\oplus\bigoplus_{r\ge1}L^rP^{k-2r}=P^k\oplus L\bigl(H^{k-2}\bigr)$ なので $\dim P^k=b_k-b_{k-2}$ である。
2．同定理の 3 の $H^{p,q}$ の分解から、1 と同様に $H^{p,q}=P^{p,q}\oplus L\bigl(H^{p-1,q-1}\bigr)$ で、$L$ は $H^{p-1,q-1}$ の上で単射である。
3．$b_0\ge1$ から 1 により $2j\le n$ で $b_{2j}\ge b_{2j-2}\ge\cdots\ge b_0\ge1$ である。$2j>n$ なら同定理の 1 により $b_{2j}=b_{2n-2j}\ge1$ である。$\square$