Tor関手
概要
Tor関手（Tor functor）とは、環 $R$ 上の右加群 $A$ と左加群 $B$ に対し、テンソル積 $A\otimes_R-$ の左導来関手として定まる $\operatorname{Tor}_n^R(A,B)$ のことをいう。テンソル積が右完全であって左完全とは限らないことの「ずれ」を測る不変量であり、$\operatorname{Tor}_0^R(A,B)\cong A\otimes_R B$ が成り立つ。加群が平坦である（テンソル積が完全になる）ことの障害を検出する、可換環論・代数的位相幾何学で最も基本的な導来不変量の一つである。
定義
環 $R$ と右 $R$ 加群 $A$ を固定する。関手
$$
A\otimes_R-\colon R\text{-}\mathrm{Mod}\longrightarrow\mathbf{Ab}
$$
は右完全である（テンソル積の標準的な性質、Wei94、本記事では証明を割愛する）。この関手の導来関手の意味での左導来関手を
$$
\operatorname{Tor}_n^R(A,-):=L_n(A\otimes_R-)\qquad(n\ge0)
$$
と定め、Tor関手（Tor functor）と呼ぶ。具体的には、左 $R$ 加群 $B$ の射影分解 $P_\bullet\to B$ を一つとり、
$$
\operatorname{Tor}_n^R(A,B):=H_n(A\otimes_RP_\bullet)
$$
として計算される。
直感
テンソル積 $A\otimes_R-$ は右完全であるが、一般には左完全ではない——すなわち短完全列 $0\to B'\to B\to B''\to0$ に $A\otimes_R-$ を適用しても、左端の単射性が保たれるとは限らない。導来関手の一般論が教えるように、この「保たれなさ」を系統的に測定するのが左導来関手であり、それがまさに $\operatorname{Tor}_n^R(A,-)$（$n\ge1$）である。$\operatorname{Tor}_0^R(A,B)\cong A\otimes_RB$ は導来関手の一般論（次数0の左導来関手は元の関手に一致する）から従う。
$A$ が平坦（flat）——すなわち $A\otimes_R-$ が完全関手である——ならば、後述の性質のとおり $\operatorname{Tor}_n^R(A,B)=0$（すべての $n\ge1$、すべての $B$）が成り立つ。実はこの逆（$\operatorname{Tor}_1^R(A,-)$ が恒等的に消えれば $A$ は平坦である）も成り立つことが知られている（標準的な事実としてWei94を引用する、証明は割愛）。ゆえに $\operatorname{Tor}$ は「テンソル積が完全からどれだけずれているか」を測る不変量として理解できる。
例
$R=\mathbb Z$、$A=\mathbb Z/m\mathbb Z$、$B=\mathbb Z/n\mathbb Z$（$m,n\ge1$）とする。$B=\mathbb Z/n\mathbb Z$ の射影分解 $0\to\mathbb Z\xrightarrow{\times n}\mathbb Z\to\mathbb Z/n\mathbb Z\to0$ に $A\otimes_{\mathbb Z}-$ を適用すると、複体 $A\xrightarrow{\times n}A$（$A=\mathbb Z/m\mathbb Z$）が得られる。この複体のホモロジーを計算すると
$$
\operatorname{Tor}_0^{\mathbb Z}(A,B)\cong\mathbb Z/\gcd(m,n)\mathbb Z,\qquad\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(A,B)\cong\mathbb Z/\gcd(m,n)\mathbb Z,\qquad\operatorname{Tor}_n^{\mathbb Z}(A,B)=0\ (n\ge2)
$$
となる（$\times n$ の $\mathbb Z/m\mathbb Z$ 上での核・余核がともに $\mathbb Z/\gcd(m,n)\mathbb Z$ に同型であることの直接計算による）。特に $m,n$ が互いに素であれば $\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(A,B)=0$ となる。
性質
右 $R$ 加群 $A$ が平坦であれば、任意の左 $R$ 加群 $B$ と任意の $n\ge1$ に対し $\operatorname{Tor}_n^R(A,B)=0$ である。
$B$ の射影分解を $\cdots\to P_2\to P_1\to P_0\to B\to0$ とし、$Z_{-1}:=B$、$Z_n:=\ker(P_n\to P_{n-1})$（$n\ge0$、ただし $P_{-1}:=B$ とみて $P_0\to Z_{-1}$ は $P_0\to B$ そのもの）とおく。分解の完全性から、各 $n\ge0$ について短完全列
$$
0\to Z_n\to P_n\to Z_{n-1}\to0
$$
が得られる（$Z_n$ は $P_n\to P_{n-1}$ の核であると同時に、この射の像は $Z_{n-1}$ に一致する）。$A$ が平坦、すなわち $A\otimes_R-$ が完全関手であることから、この短完全列に $A\otimes_R-$ を適用した
$$
0\to A\otimes_RZ_n\to A\otimes_RP_n\to A\otimes_RZ_{n-1}\to0
$$
も短完全列である。
$n\ge1$ を固定する。上の短完全列（添字 $n$ のもの）により $A\otimes_RZ_n\cong\ker(A\otimes_RP_n\to A\otimes_RZ_{n-1})$ であり、$Z_{n-1}\hookrightarrow P_{n-1}$ がモノ射であることと $A\otimes_R-$ が完全関手であることからこのモノ射も保たれるので、$A\otimes_RP_n\to A\otimes_RZ_{n-1}$ の核は $A\otimes_RP_n\to A\otimes_RP_{n-1}$ の核と一致する。ゆえに
$$
\ker(A\otimes_RP_n\to A\otimes_RP_{n-1})\cong A\otimes_RZ_n.
$$
一方、添字 $n+1$ の短完全列 $0\to A\otimes_RZ_{n+1}\to A\otimes_RP_{n+1}\to A\otimes_RZ_n\to0$ がまさに短完全列であることから、$A\otimes_RP_{n+1}\to A\otimes_RZ_n$ はエピ射であり、$Z_n\hookrightarrow P_n$ が誘導する $A\otimes_RZ_n\hookrightarrow A\otimes_RP_n$ と合成すれば
$$
\operatorname{im}(A\otimes_RP_{n+1}\to A\otimes_RP_n)\cong A\otimes_RZ_n
$$
が成り立つ（合成 $A\otimes_RP_{n+1}\twoheadrightarrow A\otimes_RZ_n\hookrightarrow A\otimes_RP_n$ が $A\otimes_RP_{n+1}\to A\otimes_RP_n$ に一致することは、複体の境界射の定義から従う）。
以上より、$H_n(A\otimes_RP_\bullet)=\ker(A\otimes_RP_n\to A\otimes_RP_{n-1})/\operatorname{im}(A\otimes_RP_{n+1}\to A\otimes_RP_n)$ は、上の二つの同一視のもとで $A\otimes_RZ_n$ 自身を $A\otimes_RZ_n$ 自身で割ったものとなり、零対象である。ゆえに $\operatorname{Tor}_n^R(A,B)=H_n(A\otimes_RP_\bullet)=0$（$n\ge1$）。$\blacksquare$
