Reidemeister移動

絡み目であること。 隣り合わない辺どうしの距離の最小値は正で、各頂点で隣り合う $2$ 辺のなす角は $0$ でない。どちらも頂点の連続関数なので、$\varepsilon$ が小さければ $L'$ でも正のままであり、$L'$ の辺は隣り合う辺と共有する頂点でしか交わらない。

1。 射影が正則でないのは、(a) ある $3$ つの異なる頂点 $v_j,v_k,v_l$ の像が同一直線上にあるとき（頂点の像が別の辺の像の上にある場合、隣り合う $2$ 辺の像が重なる場合、$2$ 辺の像が重なる場合を含む）、(b) どの $2$ 本も頂点を共有しない $3$ 本の辺の像が $1$ 点を通るとき、のどちらかが起こるときに限る。(a) は $\det\bigl(\pi(v_k)-\pi(v_j),\ \pi(v_l)-\pi(v_j)\bigr)=0$、(b) は $3$ 直線の方程式の係数の $3\times3$ 行列式が $0$ という多項式の等式で、どちらも $1$ つの頂点の座標を動かすと値が変わるので $0$ でない多項式である。(a)(b) がどちらも起こらなければ、$2$ 辺の像は高々 $1$ 点で横断的に交わり、$3$ 重点も頂点を通る交差もない。交差の逆像の $2$ 点は、$L'$ が絡み目なので異なる。

2。 1 の (a)(b) が起こらないことは開条件なので、$\varepsilon$ が小さければ $L'$ の射影も正則である。さらに、像が交わらない $2$ 辺の像は距離の余裕から交わらないまま、$1$ 点で横断的に交わる $2$ 辺は近くの $1$ 点で交わり続け、交差の上下と各辺の上の点の順序は変わらない。$D=\pi(L)$ を含む大きな三角形 $\Omega$ の三角形分割 $\mathcal{T}$ で、$D$ がいくつかの辺の和で、$D$ の上の頂点がちょうど $\pi(v_i)$ と交差の全体であり、ほかの頂点は $\Omega$ の頂点と $D$ の外の点であるものをとる。$\pi(v_i)$ を $\pi(v_i')$ に、交差を対応する $L'$ の交差に送り、ほかの頂点を固定して、各三角形の上で 1 次に延ばした写像を $h\colon\Omega\to\Omega$ とする。$\varepsilon$ が小さければ $\mathcal{T}$ のどの三角形も向きを保って退化しない三角形に写り、$h$ は $\partial\Omega$ の上で恒等なので、向きを保つ同相写像である（隣り合う三角形の像は共通の辺の両側にあるので、像の三角形の辺の上にない $\Omega$ の内部の点を覆う像の三角形の個数は、点を動かしても変わらず、$\partial\Omega$ の近くでは $1$ である。よって像の三角形は互いに重ならずに $\Omega$ を覆う）。$\Omega$ の外で恒等に延ばせば、$h(\pi(L))=\pi(L')$ で、上下と向きも保たれる。$\square$

途中の絡み目。 $t\in[0,1]$ に対し $p_t=(1-t)p+tr$、$q_t=(1-t)q+tr$ とおき、$0< t< 1$ では $L_t:=R\cup[p,p_t]\cup[p_t,q_t]\cup[q_t,q]$ とする（$L_0=L$、$L_1=L'$ とおく）。$[p,p_t]\cup[p_t,q_t]\cup[q_t,q]$ は $\Delta$ の中の台形の $3$ 辺で、$\Delta\cap R=\{p,q\}$ なので $L_t$ は絡み目である。射影では $\pi([p_t,q_t])$ は $[a,b]$ に平行で、その上の点の高さはすべて $t$ である。

上下の側。 $R$ の点 $x$ で $\pi(x)\in Q$ のものについて、$x$ の $z$ 座標から、$\Delta$ のうち $x$ の真上または真下にある点の $z$ 座標を引いた値 $h(x)$ を考える。$h$ は連続で、$\Delta\cap R=\{p,q\}$ なので $p,q$ 以外では $0$ にならない。よって $R\cap\pi^{-1}(Q)$ から $p,q$ を除いた部分の各連結成分は、$\Delta$ 全体の上か下のどちらかを通る。とくに $L_t$ の図式で、動く部分 $[p,p_t]\cup[p_t,q_t]\cup[q_t,q]$ と $R$ のある断片との交差の上下は、$t$ によらず断片ごとに決まっている。動く部分どうしは射影で交わらない。

特別な点のない間。 仮定 3 の点（特別な点）の高さを $0< t_1<\cdots< t_m< 1$ とする。$t$ が $\{0,t_1,\dots,t_m,1\}$ に入らなければ、仮定 2 により $L_t$ の射影は正則である（$\pi([p_t,q_t])$ は $\pi(R)$ の頂点と交差を通らず、$\pi(p_t),\pi(q_t)$ は $\pi(R)$ の上にない）。$t$ が同じ開区間を動くとき $L_t$ の頂点は連続に動くので、lem-rm-perturb の 2 をその区間の各点に当てて、区間のコンパクトな部分の上では図式は平面イソトピーで写り合う。

特別な点を越えるとき。 高さ $t_j$ の特別な点 $x$ の近くの小さな円板 $U$ の中で、$t_j$ の直前と直後の図式を比べる。$U$ の外では平面イソトピーの範囲でしか変わらない。(i) $x$ が $\pi(R)$ の交差のとき、$U$ の中には $R$ の $2$ 本の線と $\pi([p_t,q_t])$ があり、$3$ 本は各 $2$ 本がちょうど $1$ 回交わる。上下は前段で決まっていて、どの 2 本の上下も $x$ の真上の $R$ の $2$ 点と $\Delta$ の点の $z$ 座標の大小で決まるので循環せず、$\pi([p_t,q_t])$ が $x$ を越えるので、rem-rm-third により III 型の移動である。(ii) $x$ が $\pi(R)$ の頂点のとき、$x$ で出会う $2$ 辺は同じ断片に属し、$\pi([p_t,q_t])$ との上下はそろっている。$2$ 辺が $x$ を通る $[a,b]$ に平行な直線の同じ側にあれば、$\pi([p_t,q_t])$ との交差は $0$ 個から $2$ 個（または $2$ 個から $0$ 個）になり、II 型の移動である。反対側にあれば交差は前後とも $1$ 個で、平面イソトピーである。(iii) $x$ が $\pi(R)$ と辺 $[a,c]$ の交点のとき、$x$ を通る $R$ の辺のうち $Q$ の内側の半分が高さの小さいほうへ進むなら、交差が $\pi([p_t,q_t])$ から $\pi([p,p_t])$ へ角 $\pi(p_t)$ を回って移るだけで平面イソトピーであり、高さの大きいほうへ進むなら、$\pi([p,p_t])$ と $\pi([p_t,q_t])$ との交差が $1$ 個ずつ新しくでき、II 型の移動である。辺 $[b,c]$ でも同じである。

始めと終わり。 $t>0$ が小さいとき、$a$ の近くでは、$p$ で $[p,q]$ と隣り合う $R$ の辺の像が $Q$ の内側へ向かっていれば、それが $\pi([p_t,q_t])$ と $1$ 回交わる小さな輪ができ、I 型の移動である。$Q$ の外側へ向かっていれば交差はできず、平面イソトピーである。$b$ の近くも同じで、$[a,b]$ の内部を横切っていた $R$ の線は、$\pi([p_t,q_t])$ を同じ上下で横切るようになるだけである。$t< 1$ が $1$ に近いとき、$c$ の近くの小さな三角形 $\pi([p_t,q_t,r])$ は $\pi(R)$ と交わらない（$c\notin\pi(R)$）ので、$L_t$ と $L'$ の図式は平面イソトピーで写り合う。以上をつなぐと主張を得る。$\square$

$L=L_0,L_1,\dots,L_m=L'$ を三角形の移動の列とし、$k$ 番目の移動の三角形を $\Delta_k=[p_k,q_k,r_k]$ とする。各 $L_k$ の頂点には、列に現れる点（各 $L_j$ の頂点と $p_j,q_j,r_j$）のうち $L_k$ に乗るものをすべて書き加えておく。こうすると $L_{k-1}$ と $L_k$ の頂点は、$[p_k,q_k]$ と $[p_k,r_k]\cup[r_k,q_k]$ の外では一致する。$[p_k,q_k]$ の内部に $L_{k-1}$ の頂点 $v$ があれば、$k$ 番目の移動を、$[p_k,v]$ を $[p_k,r_k]\cup[r_k,v]$ に替える移動と、$[r_k,v]\cup[v,q_k]$ を $[r_k,q_k]$ に替える移動（三角形 $[v,q_k,r_k]$ の移動の逆）の $2$ 回に分ける。どちらの三角形も $\Delta_k$ に含まれ、絡み目とは必要な辺でしか交わらない。これを繰り返して、$[p_k,q_k]$ は $L_{k-1}$ の $1$ 本の辺であるとしてよい。同様に、$[p_k,r_k]$ の内部に $L_k$ の頂点 $u$ があれば、$k$ 番目の移動を、$[p_k,q_k]$ を $[p_k,u]\cup[u,q_k]$ に替える移動と、$[u,q_k]$ を $[u,r_k]\cup[r_k,q_k]$ に替える移動の $2$ 回に分ける（どちらの三角形も $\Delta_k$ に含まれ、絡み目とは必要な辺でしか交わらない）。$[r_k,q_k]$ の内部の頂点も同様にする。分けるたびに三角形は元の三角形の頂点の $1$ つを含まない小さな三角形になり、それに含まれる列の点の個数が減るので、この分け方は有限回で終わる。こうして、$[p_k,r_k]$ と $[r_k,q_k]$ は $L_k$ の辺であるとしてよい。逆向きの移動は $L_{k-1}$ と $L_k$ の役割を入れ替えて同じに扱う。

両端の準備。 列に現れる点のうち $L_0$ に乗る点 $s$ について、$s$ から $L_0$ の $s$ 以外の点へ向かう単位ベクトルの全体は、単位球面の上の有限個の大円の弧と点の和で、内点をもたない閉集合である。$L_m$ についても同じなので、鉛直の単位ベクトル $e_z$ のいくらでも近くに、$d$ と $-d$ がこれらのどれにも属さない単位ベクトル $d$ がある。原点を通り $d$ と $e_z$ に垂直な直線を軸として $d$ を $e_z$ に移す回転（$d=e_z$ なら恒等写像）を $\rho$ とする。$\rho$ を列のすべての絡み目と三角形に同時に施しても、三角形の移動の列は保たれる。$\rho(s)$ を通る鉛直線が $\rho(L_0)$ とほかの点で交わることは、$s$ を通る $d$ 方向の直線が $L_0$ とほかの点で交わることなので、$\rho(L_0)$ の交差の逆像はどれも列の点でない。$d$ が $e_z$ に十分近ければ $\rho$ は $L_0=L$ の書き加える前の頂点を少ししか動かさないので、lem-rm-perturb の 2（書き加える前の頂点だけを頂点とみて当てる。$L$ の射影は正則なので、これらは交差の逆像でない）により $\rho(L_0)$ の射影は正則で、その図式は $D$ に平面イソトピーで写る。$L_m$ と $D'$ も同じである。$\rho$ を施したものを改めて $L_k$ と書けば、$L_0$ と $L_m$ の頂点はどれも交差の逆像でないとしてよい。

一般の位置へ動かす。 列に現れる頂点と頂点 $r_k$ の全体を $P=\{w_1,\dots,w_M\}$ とし、各 $w_i$ を $\lvert w_i'-w_i\rvert<\varepsilon$ の $w_i'$ に動かして、各 $L_k$・$\Delta_k$ を動かしたもの $\tilde L_k$・$\tilde\Delta_k$ を作る。次の条件をすべてみたす $(w_i')$ がとれる。

(A) 各 $\tilde L_k$ は絡み目で、$\tilde L_{k-1}$ から $\tilde\Delta_k$ の移動で $\tilde L_k$ が得られる。実際、$\Delta_k$ と交わらない $L_{k-1}$ の辺は $\Delta_k$ から正の距離にあり、$\varepsilon$ が小さければ交わらないままである。$[p_k,q_k]$ と隣り合う辺 $[p',p_k]$ については、$4$ 点 $p',p_k,q_k,r_k$ が同一平面上にないという $0$ でない多項式の条件をみたせば、$[\tilde p',\tilde p_k]$ は $\tilde\Delta_k$ の平面と $\tilde p_k$ でしか交わらない。$q_k$ の側も同じである。

(B) 各 $\tilde L_k$ の射影は正則で（lem-rm-perturb の 1）、各 $k$ について $\tilde L_{k-1},\tilde\Delta_k$ が lem-rm-sweep の仮定 1〜3 をみたす。仮定 2・3 の否定も、$0$ でない有限個の多項式の等式（高さは座標の有理関数で、分母を払う）で表される。

(C) $\tilde L_0,\tilde L_m$ の図式は $D,D'$ に平面イソトピーで写る（lem-rm-perturb の 2。$\varepsilon$ を小さくとる）。

(A) の距離の条件と (C) は元の点 $(w_i)$ の十分近くで成り立つ条件で、(A) の多項式の条件と (B) は $0$ でない多項式の零点集合の有限和の補集合（稠密な開集合）に属する条件なので、両方をみたす点がある。lem-rm-sweep により $\tilde L_{k-1}$ と $\tilde L_k$ の図式は平面イソトピーと Reidemeister 移動の有限列で移り合い、(C) と合わせて $D$ と $D'$ もそうである。$\square$