長さ空間

1 は分点を $a,b$ だけにした和である。3 は、各分点の和で $d_Y(f\gamma(t_{i-1}),f\gamma(t_i))\le d_X(\gamma(t_{i-1}),\gamma(t_i))$ だからである。
2 を示す。$[a,c]$ の分割と $[c,b]$ の分割を並べると $[a,b]$ の分割になるので、上限をとって $L(\gamma)\ge L(\gamma|_{[a,c]})+L(\gamma|_{[c,b]})$ である。逆に $[a,b]$ の分割に $c$ を加えると和は減らず、加えた分割は $[a,c]$ と $[c,b]$ の分割に分かれる。よって分割の和はいつも $L(\gamma|_{[a,c]})+L(\gamma|_{[c,b]})$ 以下である。
4 を示す。分割 $a=t_0\le\cdots\le t_n=b$ を固定すると、距離の連続性から
$$ \sum_{i=1}^nd(\gamma(t_{i-1}),\gamma(t_i))=\lim_{k\to\infty}\sum_{i=1}^nd(\gamma_k(t_{i-1}),\gamma_k(t_i))\le\liminf_{k\to\infty}L(\gamma_k) $$
である。左辺の分割について上限をとればよい。$\square$

単調性は prop-ls-length-basic の 2 による。$t_0\in[a,b)$ での右連続性を示す。$\varepsilon>0$ をとる。$[t_0,b]$ の分割 $t_0=s_0< s_1<\cdots< s_m=b$ で、和が $L(\gamma|_{[t_0,b]})-\varepsilon$ より大きいものをとる。$\gamma$ の連続性から、$t_0< u< s_1$ で $d(\gamma(t_0),\gamma(u))<\varepsilon$ となる $u$ がある。分点 $u$ を加えても和は減らないので
$$ L(\gamma|_{[t_0,b]})-\varepsilon< d(\gamma(t_0),\gamma(u))+\Bigl(d(\gamma(u),\gamma(s_1))+\sum_{j=2}^md(\gamma(s_{j-1}),\gamma(s_j))\Bigr)<\varepsilon+L(\gamma|_{[u,b]}) $$
である。prop-ls-length-basic の 2 から $L(\gamma|_{[t_0,u]})=L(\gamma|_{[t_0,b]})-L(\gamma|_{[u,b]})<2\varepsilon$ であり（ここで $L(\gamma)<\infty$ を使う）、$t_0< t\le u$ なら $0\le\lambda(t)-\lambda(t_0)\le L(\gamma|_{[t_0,u]})<2\varepsilon$ である。左連続性も、区間の向きを逆にして同じように示せる。$\square$

1。$a\le s< t\le b$ なら、$\gamma|_{[s,t]}$ は $\gamma(s)$ と $\gamma(t)$ を結ぶので $d_\ell(\gamma(s),\gamma(t))\le L_d(\gamma|_{[s,t]})=\lambda(t)-\lambda(s)$ である（$\lambda$ は lem-ls-length-continuous の関数）。$\lambda$ の連続性から $\gamma$ は $d_\ell$ について連続である。同じ不等式を分割の各区間に使って足すと、prop-ls-length-basic の 2 から分割の和は $L_d(\gamma)$ 以下なので、$L_{d_\ell}(\gamma)\le L_d(\gamma)$ である。逆向きは $d_\ell\ge d$ から従う。
2。$y,z\in X_x$、$\varepsilon>0$ とする。$d_\ell(y,z)\le d_\ell(y,x)+d_\ell(x,z)<\infty$ なので、$d$ について $y$ と $z$ を結ぶ曲線 $\gamma$ で $L_d(\gamma)< d_\ell(y,z)+\varepsilon$ となるものがある。$\gamma$ の像の点 $w$ について $d_\ell(y,w)\le L_d(\gamma)<\infty$ なので、$\gamma$ は $X_x$ に値をとる。1 により $\gamma$ は $(X_x,d_\ell)$ の曲線で、$L_{d_\ell}(\gamma)=L_d(\gamma)< d_\ell(y,z)+\varepsilon$ である。$\square$

$x$ と $y$ を結ぶ曲線 $\gamma\colon[a,b]\to X$ で $L(\gamma)< d(x,y)+2\varepsilon$ となるものをとる。lem-ls-length-continuous の $\lambda$ は $0$ から $L(\gamma)$ まで連続に動くので、中間値の定理により $\lambda(t)=\frac12L(\gamma)$ となる $t$ がある。$z:=\gamma(t)$ とおくと、prop-ls-length-basic の 1・2 から $d(x,z)\le\lambda(t)=\frac12L(\gamma)<\frac12d(x,y)+\varepsilon$ であり、同様に $d(z,y)\le L(\gamma)-\lambda(t)<\frac12d(x,y)+\varepsilon$ である。$\square$

1。 $x\in X$ について $\rho(x):=\sup\{R>0\mid\bar B(x,R)\text{ はコンパクト}\}$ とおく。局所コンパクトなので $\rho(x)>0$ である。$0< R<\rho(x)$ なら、$\bar B(x,R)$ はある コンパクトな $\bar B(x,R')$（$R< R'$）の閉部分集合なのでコンパクトである。ある $x$ で $\rho(x)<\infty$ と仮定して矛盾を導く。
(i) $\rho$ は至るところ有限で $\lvert\rho(x)-\rho(y)\rvert\le d(x,y)$ を満たす。実際 $R<\rho(y)$、$R>d(x,y)$ なら $\bar B(x,R-d(x,y))\subset\bar B(y,R)$ はコンパクトなので $\rho(x)\ge\rho(y)-d(x,y)$ であり、$x,y$ を入れ替えてもよい。
(ii) $B:=\bar B(x,\rho(x))$ はコンパクトである。$B$ は完備な $X$ の閉集合なので完備であり、全有界であることを示せばよい。$\varepsilon>0$ をとり、$\rho(x)>\varepsilon$ としてよい。$z\in B$ とする。$d(x,z)\le\rho(x)-\varepsilon$ なら $w:=z$ とおく。そうでなければ、$x$ と $z$ を結ぶ曲線 $\gamma\colon[a,b]\to X$ で $L(\gamma)< d(x,z)+\varepsilon$ となるものをとり、$t\mapsto d(x,\gamma(t))$ の連続性から $d(x,\gamma(t))=\rho(x)-\varepsilon$ となる $t$ をとって $w:=\gamma(t)$ とおく。このとき
$$ d(w,z)\le L(\gamma|_{[t,b]})=L(\gamma)-L(\gamma|_{[a,t]})\le L(\gamma)-d(x,w)< d(x,z)+\varepsilon-(\rho(x)-\varepsilon)\le2\varepsilon $$
である。どちらの場合も $w$ はコンパクトな $\bar B(x,\rho(x)-\varepsilon)$ の点なので、その有限な $\varepsilon$-ネットは $B$ の有限な $3\varepsilon$-ネットである。
(iii) $\rho$ は連続で正なので、コンパクトな $B$ の上で最小値 $\delta>0$ をとる。$B$ の有限な $\frac\delta{10}$-ネット $a_1,\dots,a_m$ をとると、$W:=\bigcup_i\bar B(a_i,\frac\delta2)$ はコンパクトである（$\frac\delta2<\delta\le\rho(a_i)$）。$d(x,z)\le\rho(x)+\frac\delta{10}$ とする。$z\notin B$ なら、(ii) と同じく $x$ と $z$ を結ぶ曲線で長さが $d(x,z)+\frac\delta{10}$ 未満のものの上に $d(x,w)=\rho(x)$ となる $w$ をとると $d(w,z)<\frac\delta5$ であり、$d(a_i,w)\le\frac\delta{10}$ となる $i$ について $d(a_i,z)<\frac{3\delta}{10}$ である。$z\in B$ のときも同様なので、$\bar B(x,\rho(x)+\frac\delta{10})\subset W$ はコンパクトである。これは $\rho(x)$ の定義に反する。
2。 $x,y\in X$、$D:=d(x,y)$ とする。lem-ls-midpoint により、$x$ と $y$ の $\frac1k$-中点 $z_k$ がある。$z_k$ はコンパクトな $\bar B(x,D+1)$ の点なので、部分列が点 $z$ に収束し、極限で $d(x,z)\le\frac D2$、$d(z,y)\le\frac D2$ となる。三角不等式から $z$ は中点である。thm-ls-menger の 2 により $X$ は測地空間である。$\square$

$x,y\in X$、$\varepsilon>0$ とする。$k$ を $d_{GH}(X_k,X)<\frac\varepsilon6$ となるようにとり、歪み $\eta:=\operatorname{dis}R<\frac\varepsilon3$ の対応 $R\subset X_k\times X$ をとる。$(x_k,x),(y_k,y)\in R$ となる $x_k,y_k\in X_k$ をとり、lem-ls-midpoint により $x_k$ と $y_k$ の $\frac\varepsilon3$-中点 $z_k$ をとって、$(z_k,z)\in R$ となる $z\in X$ をとる。歪みの定義から
$$ d(x,z)\le d(x_k,z_k)+\eta\le\tfrac12d(x_k,y_k)+\tfrac\varepsilon3+\eta\le\tfrac12\bigl(d(x,y)+\eta\bigr)+\tfrac\varepsilon3+\eta<\tfrac12d(x,y)+\varepsilon $$
であり、$d(z,y)$ も同様である。よって $X$ の任意の 2 点に $\varepsilon$-中点があり、thm-ls-menger の 1 により $X$ は長さ空間である。$X$ がコンパクトなら固有で局所コンパクトなので、thm-ls-hopf-rinow の 2 により測地空間である。$\square$