Lubin–Tate理論

前提知識: 局所体, 形式群, 不分岐拡大と完全分岐拡大, 局所類体論

Lubin–Tate理論（Lubin–Tate theory）は、局所体 $K$ の素元 $\pi$ ごとに、$\mathcal{O}_K$ の元を自己準同型として持つ 1 次元の形式群（Lubin–Tate 形式群）を作り、その $\pi^n$ 等分点を $K$ に添加して完全分岐アーベル拡大（Lubin–Tate 拡大）を構成する理論である。$\mathbb{Q}_p$ と $\pi=p$ では、形式群は乗法群 $(1+X)(1+Y)-1$、等分点は $\zeta-1$（$\zeta$ は $1$ の $p^n$ 乗根）になり、Lubin–Tate 拡大は円分体 $\mathbb{Q}_p(\zeta_{p^n})$ になる。一般の $K$ でも、Lubin–Tate 拡大と不分岐拡大とで $K$ の最大アーベル拡大が尽くされ、局所相互写像が等分点への作用として明示的に書ける。
この記事では、形式群の存在と一意性を与える Lubin–Tate の補題、形式群と $\mathcal{O}_K$ の作用の構成、等分点の加群の構造、Lubin–Tate 拡大が次数 $(q-1)q^{n-1}$ の完全分岐アーベル拡大であることを証明する。局所相互写像との一致は、局所類体論 の記事の相互写像の存在を前提に、所在を示して述べる。

設定と記号

$K$ を 局所体 の記事の定義「局所体」の意味の局所体とし、整数環を $\mathcal{O}=\mathcal{O}_K$、素元を $\pi$、剰余体を $k=\mathcal{O}/\pi\mathcal{O}$、その元の個数を $q$、$k$ の標数を $p$ とする。単数群を $U_K=\mathcal{O}^\times$、$U_K^{(n)}=1+\pi^n\mathcal{O}$ と書く。$K$ の分離閉包 $K^{\mathrm{sep}}$ を固定し、$K$ の絶対値の $K^{\mathrm{sep}}$ への延長を $|\cdot|$ とする（各有限次拡大の上では一意に延びる。局所類体論 の記事の注意「使う基本事実」の (F1)）。$\bar{\mathfrak{m}}:=\{x\in K^{\mathrm{sep}}\mid |x|<1\}$ とおく。
形式的冪級数環 $\mathcal{O}[\![X_1,\dots,X_m]\!]$（形式的冪級数）の 2 つの元が $\deg r$ を法として合同（$\Phi\equiv\Psi\bmod\deg r$）であるとは、全次数が $r$ 未満の項がすべて一致することをいう。$\pi$ を法として合同とは、差のすべての係数が $\pi\mathcal{O}$ に属することをいう。定数項が $0$ の冪級数どうしの代入 $\Phi(\Psi_1,\dots,\Psi_m)$ は、各次数の係数が有限和で決まるので定義できる。
形式群則とその準同型は 形式群 の記事の定義「一次元可換形式群則」「形式群則の準同型」に従う。すなわち $F(X,Y)\in\mathcal{O}[\![X,Y]\!]$ が形式群則であるとは、$F(X,0)=X$、$F(0,Y)=Y$、結合律、可換律を満たすことであり、$F$ から $G$ への準同型とは $h(X)\in X\mathcal{O}[\![X]\!]$ で $h(F(X,Y))=G(h(X),h(Y))$ となるものである。$F$ の自己準同型の全体 $\operatorname{End}(F)$ は、加法 $(h_1+_Fh_2)(X)=F(h_1(X),h_2(X))$ と合成を積とする環である（同じ記事の命題「自己準同型環」）。

Lubin–Tate 形式群

最も簡単な例は多項式 $f(X)=\pi X+X^q$ である。$K=\mathbb{Q}_p$、$\pi=p$ なら $f(X)=(1+X)^p-1=pX+\binom p2X^2+\dots+X^p$ も $\mathcal{F}_p$ に属する（$\binom pj$ は $0< j< p$ で $p$ の倍数）。

Lubin–Tate の補題

一意性の議論は係数が $\mathcal{O}$ に入ることを使っていないので、$K$ 係数の冪級数の中でも解はただ 1 つである。以下の構成はすべて「両辺が同じ補題の解だから等しい」という形で進む。

形式群と $\mathcal{O}$ の作用

$n\in\mathbb{Z}$ について、形式群 の記事の定義「$n$ 倍写像」の $[n]_{F_f}$ は、$F_f$ の自己準同型なので $f$ と可換で、1 次の係数が $n$ である。一意性により $[n]_{F_f}=[n]_f$ であり、$\mathcal{O}$ の作用は整数倍写像を延長したものになっている。

等分点

$\bar{\mathfrak{m}}$ 上の $\mathcal{O}$ 加群の構造

$x,y\in\bar{\mathfrak{m}}$ はある有限次拡大 $L\subset K^{\mathrm{sep}}$ に属し、$L$ は完備（局所体 の記事の定理「標数0の局所体と有限次拡大」の 1）なので、定数項が $0$ で係数が $\mathcal{O}$ の冪級数 $\Phi$ について $\Phi(x,y)$ は $L$ で収束して $\bar{\mathfrak{m}}\cap L$ に属する。冪級数の等式は代入しても保たれる（部分和が多項式の等式を満たし、極限をとればよい）。したがって $f\in\mathcal{F}_\pi$ について
$$ x+_fy:=F_f(x,y),\qquad a\cdot_fx:=[a]_f(x)\qquad(x,y\in\bar{\mathfrak{m}},\ a\in\mathcal{O}) $$
により $\bar{\mathfrak{m}}$ は $\mathcal{O}$ 加群になる（加群の公理は thm-lt-formal-group の恒等式から従い、$x$ の逆元は $[-1]_f(x)$ である）。これを $\bar{\mathfrak{m}}_f$ と書く。$\tau\in\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)$ は各有限次 Galois 拡大の上で距離を保ち（(F1)）、冪級数の係数を固定するので、$\tau(x+_fy)=\tau(x)+_f\tau(y)$、$\tau(a\cdot_fx)=a\cdot_f\tau(x)$ である。すなわち Galois 群は $\bar{\mathfrak{m}}_f$ に $\mathcal{O}$ 線形に作用する。

$[\pi^n]_f=f\circ\dots\circ f$（$n$ 回の合成）なので、$F_f[\pi^n]$ は $f$ の $n$ 回合成 $f^{(n)}$ の $\bar{\mathfrak{m}}$ の中の零点の集合である。

Lubin–Tate 拡大

$F_f[\pi^n]\subset F_f[\pi^{n+1}]$ なので $K_{\pi,n}\subset K_{\pi,n+1}$ であり、同型 $\rho$ は制限と $U_K/U_K^{(n+1)}\to U_K/U_K^{(n)}$ に両立する。Galois群 の記事の定理「副有限群としてのGalois群」により
$$ \operatorname{Gal}(K_\pi/K)\cong\varprojlim_n U_K/U_K^{(n)}\cong U_K $$
である（最後の同型は $U_K$ の完備性とコンパクト性による）。$K_\pi/K$ は完全分岐な無限次アーベル拡大である。

局所相互写像との一致

局所類体論 の記事の定理「局所相互法則」の相互写像 $\operatorname{rec}_K\colon K^\times\to\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{ab}}/K)$（素元を不分岐拡大の算術的 Frobenius に写す正規化）について、Lubin–Tate 拡大は次のように相互写像を明示的に与える。$K^{\mathrm{ur}}$ を $K$ の最大不分岐拡大とする。

指数は $(K^\times:\pi^{\mathbb{Z}}\times U_K^{(n)})=(U_K:U_K^{(n)})=(q-1)q^{n-1}=[K_{\pi,n}:K]$ で、局所相互法則の指数の等式と合っている。

例

円分体

1 段目の拡大と素元の取り替え

したがって $K_\pi$ そのものは素元 $\pi$ の取り方によるが、thm-lt-reciprocity の (i) により、不分岐拡大との合成 $K_\pi K^{\mathrm{ur}}=K^{\mathrm{ab}}$ は $\pi$ によらない。実際 $\mathbb{Q}_3(\sqrt{-3})$ と $\mathbb{Q}_3(\sqrt3)$ の合成は $\mathbb{Q}_3(\sqrt3,\sqrt{-1})$ で、$\mathbb{Q}_3(\sqrt{-1})$ は 2 次の不分岐拡大である。ノルム群も $3^{\mathbb{Z}}\times U^{(1)}$ と $(-3)^{\mathbb{Z}}\times U^{(1)}$ で異なる。

反例

Lubin–Tate 級数の 2 つの条件と、$X^q$ の指数が剰余体の元の個数 $q$ であることは、どれも外せない。

補足

形式群としての位置

Lubin–Tate 形式群は $\mathcal{O}$ の元を自己準同型としてもつので、形式群 の記事の意味の形式群より強い構造（形式 $\mathcal{O}$ 加群）をもつ。$[\pi]_f=f$ を剰余体 $k$ に還元すると $X^q$ になる。逆に、$\mathcal{O}$ 上の形式群のうち、1 次の係数が $\pi$ で $\pi$ を法として $X^q$ に合同な自己準同型をもつものは、$F_f$ と同型なものに限る（LT65 p. 383 の冒頭の注意）。$\mathbb{Q}_p$ と $\pi=p$ では乗法形式群がこれにあたり、Lubin–Tate 理論は「乗法群の等分点（$1$ の冪根）による円分体の理論」を一般の局所体と素元に広げたものとみなせる。

局所類体論の中での位置

thm-lt-extension と cor-lt-norm-group により、$K^\times$ の開部分群 $\pi^{\mathbb{Z}}\times U_K^{(n)}$ に対応する拡大が具体的に書ける。$K^\times$ の指数有限の開部分群は、ある $n,m$ について $\pi^{m\mathbb{Z}}\times U_K^{(n)}$ を含むので、これに対応する拡大は $K_{\pi,n}$ と $m$ 次不分岐拡大の合成に含まれる。こうして Lubin–Tate 理論は局所存在定理（局所類体論 の記事の定理「局所存在定理」）の明示的な形を与える。一方、ノルム群の指数を計算する側の議論は ノルム写像と局所体のノルム群 で扱う。

関連項目

• 前提: 局所体, 形式群, 不分岐拡大と完全分岐拡大
• 到達点と対応: 局所類体論, ノルム写像と局所体のノルム群
• 比較: 円分体, Kronecker–Weberの定理
• 発展: 大域類体論