Chow環

1：短完全列
$$ 0\longrightarrow aA/abA\longrightarrow A/abA\longrightarrow A/aA\longrightarrow 0 $$
は明らかに完全である。$A$ が整域なので $a$ 倍写像 $A\to aA$ は同型であり、$abA$ の逆像は $bA$ だから、$A/bA\xrightarrow{\ a\cdot\ }aA/abA$ は同型である。長さは短完全列について加法的なので $\ell(A/abA)=\ell(A/bA)+\ell(A/aA)$ を得る。表し方によらないことは、$a/b=a'/b'$ なら $ab'=a'b$ より $\operatorname{ord}_W(a)+\operatorname{ord}_W(b')=\operatorname{ord}_W(a')+\operatorname{ord}_W(b)$ となることから従い、準同型であることは $\operatorname{ord}_W\bigl((a/b)(a'/b')\bigr)=\operatorname{ord}_W(aa')-\operatorname{ord}_W(bb')$ から従う。
2：$V$ の空でないアフィン開集合 $U_0=\operatorname{Spec}B$ をとり、$r=a/b$（$a,b\in B$、$a,b\ne0$）と書く。$U:=U_0\setminus V(ab)$ の上で $r$ は正則かつ可逆である。$W$ が $U$ と交わるなら $W$ の生成点は $U$ に属し、$r$ は $A=\mathcal{O}_{V,W}$ の単元なので $\operatorname{ord}_W(r)=0$ である。よって $\operatorname{ord}_W(r)\ne0$ なる $W$ は真の閉部分集合 $V\setminus U$ に含まれる。$V\setminus U$ は Noether空間なので有限個の既約成分をもち、各成分の次元は $\dim V-1$ 以下だから、$\dim V-1$ 次元の既約閉集合 $W$ はそれらの成分のうち次元がちょうど $\dim V-1$ のものに一致する。ゆえに $W$ の候補は有限個である。$\square$

$V\subset Y$ が $(k+1)$ 次元部分多様体、$r\in k(V)^\times$ なら、$V$ の余次元 $1$ の部分多様体とその局所環は $Y$ の中で見ても $X$ の中で見ても同じなので $\operatorname{div}(r)$ は $Z_k(Y)$ と $Z_k(X)$ で同じサイクルであり、$i_*$ は定まる。$V\subset X$ が $(k+1)$ 次元部分多様体で $V\cap U\ne\emptyset$ なら、$V\cap U$ は $U$ の $(k+1)$ 次元部分多様体で $k(V\cap U)=k(V)$ であり、その余次元 $1$ の部分多様体はちょうど、$U$ と交わる $V$ の余次元 $1$ の部分多様体 $W$ に対する $W\cap U$ で、局所環 $\mathcal{O}_{V,W}=\mathcal{O}_{V\cap U,W\cap U}$ は共通である。ゆえに $j^*\operatorname{div}_V(r)=\operatorname{div}_{V\cap U}(r)$ であり（$V\cap U=\emptyset$ なら $0$）、$j^*$ は定まる。$j^*$ の全射性は、$U$ の $k$ 次元部分多様体 $V'$ の閉包 $\overline{V'}$ が $X$ の $k$ 次元部分多様体で $\overline{V'}\cap U=V'$ を満たすことから従う。
中央での完全性。$j^*\circ i_*=0$ は明らかである。逆に $\alpha\in Z_k(X)$ が $j^*\alpha=\sum_i\operatorname{div}_{V'_i}(r_i)$（$V'_i\subset U$ は $(k+1)$ 次元部分多様体、$r_i\in k(V'_i)^\times$）を満たすとする。$V_i:=\overline{V'_i}$ とおくと $k(V_i)=k(V'_i)$ なので $r_i\in k(V_i)^\times$ であり、上で見たように $j^*\operatorname{div}_{V_i}(r_i)=\operatorname{div}_{V'_i}(r_i)$ である。したがって $\beta:=\alpha-\sum_i\operatorname{div}_{V_i}(r_i)$ は $j^*\beta=0$ を満たす。これは $\beta$ に現れる部分多様体がすべて $Y$ に含まれることを意味するので $\beta\in i_*(Z_k(Y))$ であり、$\alpha\equiv\beta\pmod{\operatorname{Rat}_k(X)}$ である。$\square$

$Y$ の部分多様体 $W$ に対し $W\times\mathbb{A}^1$ は既約で $\dim(W\times\mathbb{A}^1)=\dim W+1$ である（$W$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}B$ の上で $B[t]$ が整域で $\dim B[t]=\dim B+1$ であることによる。Har77 II, Exercise 3.15 も参照）。$V\subset Y\times\mathbb{A}^1$ を $(k+1)$ 次元部分多様体とし、$W:=\overline{p(V)}$ とおく。$V\subset W\times\mathbb{A}^1$ なので $k\le\dim W\le k+1$ である。
$\dim W=k$ なら、$W\times\mathbb{A}^1$ は $V$ を含む $(k+1)$ 次元の既約閉集合だから $V=W\times\mathbb{A}^1$ であり、$[V]=p^*[W]$ である。
$\dim W=k+1$ とする。$W$ のアフィン開集合 $U_0=\operatorname{Spec}B$ で $p(V)$ と交わるものをとると $U_0\times\mathbb{A}^1=\operatorname{Spec}B[t]$ であり、$V\cap(U_0\times\mathbb{A}^1)$ は $B[t]$ の素イデアル $\mathfrak{q}$ に対応し、$V$ が $W$ を支配するので $\mathfrak{q}\cap B=0$ である。$K:=k(W)$ を $B$ の商体とすると $K[t]$ は単項イデアル整域で、$\mathfrak{q}K[t]$ は零でない素イデアル（$V\ne W\times\mathbb{A}^1$ なので $\mathfrak{q}\ne0$）だから、分母を払って $\mathfrak{q}K[t]=(r)$ となる $r\in\mathfrak{q}\subset B[t]$ がとれる。$r$ を $W\times\mathbb{A}^1$ 上の有理関数とみて $\operatorname{div}(r)\in Z_{k+1}(Y\times\mathbb{A}^1)$ を計算する。$W\times\mathbb{A}^1$ の余次元 $1$ の部分多様体 $W'$ で $W$ を支配するものは $\mathfrak{q}'\cap B=0$ なる素イデアル $\mathfrak{q}'\subset B[t]$ に対応し、その局所環は離散付値環 $K[t]_{\mathfrak{q}'K[t]}$ である。$r\in\mathfrak{q}'K[t]$ となるのは $\mathfrak{q}'K[t]=(r)$、すなわち $\mathfrak{q}'=\mathfrak{q}$ のときに限り、そのとき $\operatorname{ord}_V(r)=1$ である。$W$ を支配しない $W'$ については $\dim\overline{p(W')}\le k$ で、$W'\subset\overline{p(W')}\times\mathbb{A}^1$ と次元の比較から $W'=W_i\times\mathbb{A}^1$（$W_i:=\overline{p(W')}$ は $W$ の余次元 $1$ の部分多様体）である。ゆえに
$$ \operatorname{div}(r)=[V]+\sum_in_i[W_i\times\mathbb{A}^1] $$
となり、$[V]\equiv p^*\bigl(-\sum_in_i[W_i]\bigr)\pmod{\operatorname{Rat}_{k+1}(Y\times\mathbb{A}^1)}$ である。$\square$

$k>n$ なら部分多様体がないので $Z_k=0$ であり、$CH_n(\mathbb{A}^n)=Z_n(\mathbb{A}^n)=\mathbb{Z}[\mathbb{A}^n]$ は def-chow-rational-equivalence の直後に述べた。$k< n$ については $n$ に関する帰納法で示す。$n=0$ では主張は空である。$n\ge1$ とし $\mathbb{A}^n=\mathbb{A}^{n-1}\times\mathbb{A}^1$ と見ると、lem-chow-affine-line により $CH_k(\mathbb{A}^n)=p^*CH_{k-1}(\mathbb{A}^{n-1})$ であり（$k=0$ では $CH_{-1}=0$）、$k< n$ なら $k-1< n-1$ だから帰納法の仮定により右辺は $0$ である。$\square$

証明の筋を述べる。$Z^1(X)=Z_{n-1}(X)$ は Weil 因子の群であり、$n$ 次元部分多様体は $X$ 自身しかないので $\operatorname{Rat}_{n-1}(X)$ は主因子 $\operatorname{div}(r)$（$r\in k(X)^\times$）が生成する群である。よって $CH^1(X)$ は因子類群 $\operatorname{Cl}(X)$ にほかならない。
$W$ の生成点での 2 つの局所自明化は $\mathcal{O}_{X,W}$ の単元倍だけ異なり、単元は位数を変えないので $\operatorname{ord}_W(s)$ は定まる。有理切断を $s'=rs$（$r\in k(X)^\times$）に取り替えると $\operatorname{div}(s')=\operatorname{div}(s)+\operatorname{div}(r)$ なので類は変わらず、$\operatorname{div}(s\otimes s')=\operatorname{div}(s)+\operatorname{div}(s')$ だから $\operatorname{Pic}(X)\to\operatorname{Cl}(X)$ は準同型である。
$X$ が非特異なので各局所環 $\mathcal{O}_{X,x}$ は正則局所環、したがって一意分解整域である（Har77 II, Remark 6.11.1A）。このとき Cartier因子と Weil 因子は一対一に対応し（Har77 II, Proposition 6.11）、既約な $X$ に対して $D\mapsto\mathcal{O}_X(D)$ は Cartier 因子類群から $\operatorname{Pic}(X)$ への同型を与える（Har77 II, Proposition 6.15 と Corollary 6.16）。$\mathcal{O}_X(D)$ の標準的な有理切断 $1$ の因子は $D$ 自身なので、これらの同型の合成は $L\mapsto[\operatorname{div}(s)]$ の逆写像である。$\square$

まず $CH_k(\mathbb{P}^n)$ が $k$ 次元線型部分空間の類で生成されることを $n$ に関する帰納法で示す。$n=0$ は明らかである。超平面 $H\cong\mathbb{P}^{n-1}$ をとると $\mathbb{P}^n\setminus H\cong\mathbb{A}^n$ なので、lem-chow-localization により
$$ CH_k(\mathbb{P}^{n-1})\xrightarrow{\ i_*\ }CH_k(\mathbb{P}^n)\longrightarrow CH_k(\mathbb{A}^n)\longrightarrow0 $$
は完全である。$k< n$ なら cor-chow-affine-space により $CH_k(\mathbb{A}^n)=0$ だから $i_*$ は全射で、帰納法の仮定により $CH_k(\mathbb{P}^{n-1})$ は $H$ の $k$ 次元線型部分空間の類で生成され、$i_*$ はそれを $\mathbb{P}^n$ の $k$ 次元線型部分空間の類に写す。$k=n$ なら $CH_n(\mathbb{P}^n)=\mathbb{Z}[\mathbb{P}^n]$ である。さらに 2 つの $k$ 次元線型部分空間 $L$、$L'$ は有理同値である。両者が共通の $(k+1)$ 次元線型部分空間 $M\cong\mathbb{P}^{k+1}$ に含まれるなら、$M$ 上の線型形式 $\ell,\ell'$ で $L=V(\ell)$、$L'=V(\ell')$ なるものをとって $[L]-[L']=\operatorname{div}(\ell/\ell')$ であり、一般には基底ベクトルを 1 本ずつ取り替える線型部分空間の列で結べばよい。以上で $CH_k(\mathbb{P}^n)$ は $k$ 次元線型部分空間の類が生成する巡回群である。
次に捩れがないことを示す。thm-chow-functoriality の 3 により $\deg\colon CH_0(\mathbb{P}^n)\to\mathbb{Z}$ が定まり、$CH_0(\mathbb{P}^n)$ は $k$ 有理点の類で生成される巡回群でその類は $1$ に写るので $CH_0(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}$ である。余次元 $i$ の線型部分空間 $L$ と余次元 $n-i$ の線型部分空間 $M$ を一般の位置にとると、$L\cap M$ は 1 つの $k$ 有理点で、$L$、$M$ の線型な局所方程式を合わせたものがその点の正則パラメータ系をなすので交わりは横断的である。よって thm-chow-moving-lemma により $[L]\cdot[M]$ は 1 点の類であり、$m[L]=0$ なら $m\cdot[\mathrm{pt}]=m[L]\cdot[M]=0$、次数をとって $m=0$ を得る。ゆえに $CH^i(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}$ である。
最後に積を決める。$i+j\le n$ のとき、余次元 $i$、$j$ の線型部分空間 $L$、$L'$ を一般の位置にとれば、余次元 $i+j$ の線型部分空間 $L\cap L'$ で横断的に交わるので $[L]\cdot[L']=[L\cap L']$ である。とくに超平面の類 $h$ の $i$ 乗は余次元 $i$ の線型部分空間の類に等しく、$h^i\cdot h^j=h^{i+j}$ である。$i+j>n$ では $CH^{i+j}(\mathbb{P}^n)=0$ なので $h^{n+1}=0$ であり、$CH^*(\mathbb{P}^n)=\mathbb{Z}[h]/(h^{n+1})$ を得る。$\square$