単連結空間

道 $\beta,\eta$ が $\beta(1)=\eta(0)$ を満たすとき、連結 $\beta\ast\eta$ を $(\beta\ast\eta)(s)=\beta(2s)$（$s\le1/2$）、$=\eta(2s-1)$（$s\ge1/2$）で定め、$\beta$ の逆向きの道を $\bar\beta(s)=\beta(1-s)$ と書く。以下で用いる三つの規則を、そのつど具体的なホモトピーを与えて確かめる（体系的な扱いは 基本群 の担当である）。いずれのホモトピーも端点を動かさない。
(a) 径数の取り替え。 $\varphi\colon[0,1]\to[0,1]$ が連続で $\varphi(0)=0$、$\varphi(1)=1$ ならば、$M(s,t):=\beta\bigl((1-t)\varphi(s)+ts\bigr)$ は $\beta\circ\varphi$ から $\beta$ への端点固定ホモトピーである。とくに $(\beta\ast\eta)\ast\zeta$ と $\beta\ast(\eta\ast\zeta)$、$c_{\beta(0)}\ast\beta$ と $\beta$、$\beta\ast c_{\beta(1)}$ と $\beta$ は、いずれも一方が他方の径数の取り替えなので端点固定ホモトピックである。
(b) 折り返し。 $\lambda(s):=\min\{2s,\,2-2s\}$ とおくと $\beta\ast\bar\beta=\beta\circ\lambda$ であり、$N(s,t):=\beta\bigl((1-t)\lambda(s)\bigr)$ は $\beta\ast\bar\beta$ から定値道 $c_{\beta(0)}$ への端点固定ホモトピーである（$s=0,1$ では $\lambda=0$ なので値は $\beta(0)$ に固定される）。
(c) 連結はホモトピーを保つ。 $F$ が $\beta_0$ から $\beta_1$ への、$G$ が $\eta_0$ から $\eta_1$ への端点固定ホモトピーならば、$(s,t)\mapsto F(2s,t)$（$s\le1/2$）、$G(2s-1,t)$（$s\ge1/2$）は $\beta_0\ast\eta_0$ から $\beta_1\ast\eta_1$ への端点固定ホモトピーである。二つの式は $s=1/2$ で共通の値 $\beta_1(1)=\eta_1(0)$ をとるので、貼り合わせは連続である。
さて $\gamma$ を $x_1$ を基点とするループとする。$X$ は弧状連結なので $x_0$ から $x_1$ への道 $\alpha$ をとる。$\delta:=\alpha\ast(\gamma\ast\bar\alpha)$ は $x_0$ を基点とするループなので、仮定より $\delta\simeq c_{x_0}$（端点固定）である。ここで (a)(b)(c) を順に使うと
$$ \bar\alpha\ast(\delta\ast\alpha)\;\simeq\;\bar\alpha\ast\bigl((\alpha\ast(\gamma\ast\bar\alpha))\ast\alpha\bigr)\;\simeq\;(\bar\alpha\ast\alpha)\ast\bigl(\gamma\ast(\bar\alpha\ast\alpha)\bigr)\;\simeq\;c_{x_1}\ast(\gamma\ast c_{x_1})\;\simeq\;\gamma $$
を得る。他方 $\delta\simeq c_{x_0}$ と (c)(a)(b) から
$$ \bar\alpha\ast(\delta\ast\alpha)\;\simeq\;\bar\alpha\ast(c_{x_0}\ast\alpha)\;\simeq\;\bar\alpha\ast\alpha\;\simeq\;c_{x_1} $$
となる。端点固定ホモトピーは同値関係なので、二つを繋いで $\gamma\simeq c_{x_1}$ を得る。$\square$

記号と規則 (a)(b)(c) は prf-simply-connected-space-basepoint のものを用いる。
（2 $\Rightarrow$ 1）$x_0\in X$ をとる。$x_0$ を基点とするループ $\gamma$ は $x_0$ から $x_0$ への道であり、定値道 $c_{x_0}$ も同じ端点を持つ道である。条件 2 より両者は端点固定ホモトピックであり、これは定義の条件 2 の主張そのものである。
（1 $\Rightarrow$ 2）$x_0$ から $x_1$ への道 $\alpha,\beta$ をとる。$\alpha\ast\bar\beta$ は $x_0$ を基点とするループなので、prop-simply-connected-space-basepoint により $\alpha\ast\bar\beta\simeq c_{x_0}$（端点固定）である。両辺に右から $\beta$ を連結すると、(c) により
$$ (\alpha\ast\bar\beta)\ast\beta\;\simeq\;c_{x_0}\ast\beta\;\simeq\;\beta $$
であり、(a)(b) により
$$ (\alpha\ast\bar\beta)\ast\beta\;\simeq\;\alpha\ast(\bar\beta\ast\beta)\;\simeq\;\alpha\ast c_{x_1}\;\simeq\;\alpha $$
である。推移律から $\alpha\simeq\beta$（端点固定）を得る。$\square$

$n\ge1$ のとき $S^n$ は弧状連結である（二点は大円に沿って結べる）。以下 $n\ge2$ とし、基点 $x_0\in S^n$ のループ $\gamma$ が定値ループに基点固定ホモトピックであることを示す。
第 1 段（一点を避けるループへの取り替え）。 北極 $N$ と南極 $S$ をとると、$A:=S^n\setminus\{N\}$ と $B:=S^n\setminus\{S\}$ は $S^n$ の開被覆であり、立体射影によりいずれも $\mathbb{R}^n$ と同相である。同相写像を $\sigma_A\colon A\to\mathbb{R}^n$、$\sigma_B\colon B\to\mathbb{R}^n$ とする。$\{\gamma^{-1}(A),\gamma^{-1}(B)\}$ はコンパクト距離空間 $[0,1]$ の開被覆なので Lebesgue 数 $\varepsilon>0$ をもつ。$1/k<\varepsilon$ なる $k$ をとり $t_i:=i/k$（$i=0,\dots,k$）と分割すると、各 $[t_{i-1},t_i]$ の像は $A$ か $B$ の一方に含まれる。含まれるほうを $U_i$（同相写像を $\sigma_i$）と定める。
各 $i$ について、$\sigma_i\circ\gamma|_{[t_{i-1},t_i]}$ を、両端点を結ぶ線分の径数付けに直線ホモトピーで取り替える。$\mathbb{R}^n$ は凸なのでこのホモトピーは $\mathbb{R}^n$ の中に留まり、$\sigma_i^{-1}$ で戻せば $U_i\subset S^n$ の中のホモトピーになる。両端点は動かないので、$i$ について貼り合わせると、$\gamma$ から新しいループ $\gamma'$ への基点固定ホモトピーが得られる（基点 $x_0=\gamma(t_0)=\gamma(t_k)$ も分割点も動かない）。
第 2 段（$\gamma'$ は全射でない）。 $\gamma'([t_{i-1},t_i])=\sigma_i^{-1}(L_i)$（$L_i$ は $\mathbb{R}^n$ の線分）である。$n\ge2$ のとき線分 $L_i$ は $\mathbb{R}^n$ で内点を持たず、コンパクトなので閉集合である。$\sigma_i$ は同相写像で $U_i$ は $S^n$ の開集合だから、$\sigma_i^{-1}(L_i)$ は $S^n$ のコンパクト（したがって閉）な部分集合で内点を持たない。閉集合で内点を持たないもの有限個の合併もまた内点を持たない。したがって $\gamma'([0,1])=\bigcup_{i=1}^k\sigma_i^{-1}(L_i)$ は $S^n$ の閉集合で内点を持たず、$S^n$ 自身とは異なる。ここで $n\ge2$ を使った：$n=1$ なら線分は $\mathbb{R}$ の中に内点を持ち、この論法は成り立たない。
第 3 段（縮める）。 $p\in S^n\setminus\gamma'([0,1])$ をとる。$p$ を北極 $N$ へ移す直交変換は $S^n$ の同相写像なので、はじめから $p=N$ としてよい。すると $\gamma'$ は $A=S^n\setminus\{N\}$ の中のループである。$A$ は立体射影で $\mathbb{R}^n$ と同相であり、$\mathbb{R}^n$ は星状なので単連結（ex-simply-connected-space-star）、単連結性は同相で保たれるから $A$ も単連結である。よって $\gamma'$ は $A$ の中で基点を固定して定値ループにホモトピックであり、そのホモトピーを包含写像 $A\hookrightarrow S^n$ と合成すれば $S^n$ の中のホモトピーになる。第 1 段と繋いで $\gamma\simeq c_{x_0}$ を得る。$\square$

記号と規則 (a)(b)(c) は prf-simply-connected-space-basepoint のものを用いる。$X$ が可縮であるとは、連続写像 $F\colon X\times[0,1]\to X$ と点 $q\in X$ で $F(x,0)=x$、$F(x,1)=q$（すべての $x\in X$）を満たすものが存在することである。
弧状連結性。 各 $x\in X$ について $t\mapsto F(x,t)$ は $x$ から $q$ への道である。二点 $x,y$ はこれらを $q$ で繋いで結べる。
ループが縮むこと。 基点 $p\in X$ をとり、$\alpha(t):=F(p,t)$（$p$ から $q$ への道）とおく。$p$ を基点とするループ $\gamma$ に対し、$u\in[0,1]$ ごとに $\alpha_u(t):=\alpha(ut)$（$p$ から $\alpha(u)$ への道）と、$\alpha(u)$ を基点とするループ $\gamma_u(s):=F(\gamma(s),u)$ を定め、$p$ を基点とするループ
$$ L_u:=\alpha_u\ast(\gamma_u\ast\overline{\alpha_u}) $$
を考える。$(s,u)\mapsto L_u(s)$ は区分ごとに連続な式の貼り合わせで、境目で値が一致するので連続であり、$s=0,1$ では常に $p$ をとる。したがって $L_0$ から $L_1$ への基点固定ホモトピーが得られる。$L_0=c_p\ast(\gamma\ast c_p)$ は (a) により $\gamma$ と基点固定ホモトピックであり、$\gamma_1=c_q$ なので (a)(b) により
$$ L_1=\alpha\ast(c_q\ast\bar\alpha)\;\simeq\;\alpha\ast\bar\alpha\;\simeq\;c_p $$
である。推移律から $\gamma\simeq c_p$ を得る。$\square$

$X:=\prod_{i\in I}X_i$ とし、射影を $p_i\colon X\to X_i$ と書く。各 $X_i$ は単連結なので空でない。選択公理により $X$ も空でない（$I$ が有限なら有限個の選択で足りる）。直積位相の普遍性により、各成分が連続な写像 $Z\to X$ は連続である。
弧状連結性。 $x=(x_i)$、$y=(y_i)$ を $X$ の二点とする。各 $i$ について $X_i$ は弧状連結なので $x_i$ から $y_i$ への道 $\alpha_i$ が存在する。$I$ が無限のときはここで族 $(\alpha_i)_{i\in I}$ を一斉に取るために選択公理を使う（$I$ が有限なら不要である）。$\alpha(t):=(\alpha_i(t))_{i\in I}$ は普遍性により連続で、$x$ から $y$ への道である。
ループが縮むこと。 基点 $x_0=(x_{0,i})$ をとり、$\gamma$ を $x_0$ を基点とする $X$ のループとする。各 $i$ について $p_i\circ\gamma$ は $x_{0,i}$ を基点とする $X_i$ のループなので、$X_i$ の単連結性と prop-simply-connected-space-basepoint により、基点固定ホモトピー $H_i\colon[0,1]\times[0,1]\to X_i$ で
$$ H_i(s,0)=p_i(\gamma(s)),\qquad H_i(s,1)=x_{0,i},\qquad H_i(0,t)=H_i(1,t)=x_{0,i} $$
を満たすものが存在する。$I$ が無限のときはここでも族 $(H_i)_{i\in I}$ を取るために選択公理を使う。$H(s,t):=(H_i(s,t))_{i\in I}$ は普遍性により連続で、$H(s,0)=\gamma(s)$、$H(s,1)=x_0$、$H(0,t)=H(1,t)=x_0$ を満たす。よって $\gamma\simeq c_{x_0}$ である。$\square$