単連結空間

概要

定義

単連結性は、空間内の「ループの変形可能性」によって定義される。

単連結の定義

位相空間 $X$ が単連結（simply connected）であるとは、以下の2条件を満たすことをいう。

$X$ は弧状連結である。
$X$ 内の任意の閉曲線（ループ）は、定値写像（一点）にホモトピー同値である。
すなわち、任意の連続写像 $\gamma: [0, 1] \to X$ （ただし $\gamma(0) = \gamma(1) = x_0$）に対して、連続写像の族 $H: [0, 1] \times [0, 1] \to X$ が存在し、以下を満たす。

$H(s, 0) = \gamma(s)$ （初期状態はループ $\gamma$）
$H(s, 1) = x_0$ （最終状態は一点 $x_0$）
$H(0, t) = H(1, t) = x_0$ （変形の過程でも始点と終点は固定）

この定義は、代数的位相幾何学の言葉を用いるとより簡潔に表現できる。

基本群による特徴づけ

弧状連結空間 $X$ が単連結であるための必要十分条件は、その基本群が自明な群となることである。
$$\pi_1(X) \cong \{e\}$$

直感的理解：「穴」とは何か

単連結性を直感的に理解するには、「ゴム紐」の例えが有効である。
空間 $X$ 内に置かれた任意の「輪になったゴム紐」を、空間からはみ出さずに、かつ切らずに連続的に縮めていき、最終的に一点にできるならば、その空間は単連結である。

2次元の場合

平面 $\mathbb{R}^2$ 上の領域において、単連結性は「穴がない」ことと一致する。

円板（ディスク）: 単連結である。ゴム紐はどこにも引っかからずに一点に縮まる。
円環（アニュラス）: 単連結ではない。真ん中の穴を取り囲むようにゴム紐をかけると、穴が障害物となり、一点に縮めることができない。

3次元の場合の注意点

3次元以上の空間では、「穴」の概念に注意が必要である。

球面 $S^2$: 単連結である。
- 直感的には内部が空洞（空）であるが、表面上のゴム紐は、つるりと滑らせて一点に縮めることができる。
トーラス $T^2$（ドーナツの表面）: 単連結ではない。
- ドーナツの穴を貫通するループや、浮き輪の周囲を回るループは一点に縮まらない。

具体例と反例

単連結性の有無は、空間の次元や除去する集合の「次元」に依存する繊細な性質である。

単連結である空間

ユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ およびその凸部分集合。
- 任意の2点を線分で結べるため、その線分に沿ってループを縮めればよい。
$n$ 次元球面 $S^n$ ($n \ge 2$)。
- $S^2$（通常の球面）や $S^3$ は単連結である。
- ループは球面の全域を覆わない限り（そしてループは1次元なので常に回避可能）、一点に縮小可能である。
$\mathbb{R}^3$ から「1点」を除いた空間 $\mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$。
- これが2次元との大きな違いである。3次元空間に空いた「点の穴」にはループは引っかからない（すり抜けられる）。この空間は $S^2$ にホモトピー同値である。

単連結ではない空間

円周 $S^1$。
-基本群は整数群 $\mathbb{Z}$ に同型であり、自明ではない（何周巻いたかが区別される）。
トーラス $T^2 = S^1 \times S^1$。
-基本群は $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ である。
$\mathbb{R}^2$ から「1点」を除いた空間 $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$。
-平面に空いた穴にはループが引っかかる。これは $S^1$ にホモトピー同値である。
$\mathbb{R}^3$ から「直線」を除いた空間。
-直線の周りを回るループは縮めることができない。
実射影平面 $\mathbb{R}P^2$。
-穴はないように見えるが、基本群は $\mathbb{Z}_2$（2回回るとほどける）であり、単連結ではない。

重要な性質と定理

単連結性は、数学の多くの分野で「扱いやすい空間」の条件として現れる。

複素解析における役割

複素関数論において、領域の単連結性は積分定理の成立に直結する。

コーシーの積分定理（一般形）

$D \subseteq \mathbb{C}$ を単連結な領域とする。$f: D \to \mathbb{C}$ が正則であるならば、任意の閉曲線 $\gamma \subset D$ に沿う積分は $0$ になる。
$$\oint_\gamma f(z) \, dz = 0$$

領域に穴（特異点）がある場合（単連結でない場合）、留数定理により積分値は $0$ にならない場合がある。単連結性は、そのような「特異点」を囲んでいないことを保証する。

被覆空間との関係

普遍被覆空間

連結かつ局所単連結な位相空間 $X$ には、単連結な被覆空間 $\tilde{X}$ が（同型を除いて）ただ一つ存在する。これを普遍被覆空間（universal covering space）と呼ぶ。

例: 円周 $S^1$ の普遍被覆空間は実数直線 $\mathbb{R}$ である。
基本群 $\pi_1(X)$ は、普遍被覆空間の被覆変換群とみなすことができる。

ホモトピー群との関係

単連結性は、第1ホモトピー群（基本群）が消えていることを意味するが、より高次の「穴」については言及していない。

$n$-連結: 空間 $X$ が $0$-連結（弧状連結）であり、かつ第 $1$ から第 $n$ までのホモトピー群がすべて自明であるとき、$X$ は $n$-連結であるという。
したがって、「単連結」は「$1$-連結」と同義である。

(ポアンカレ予想)

「単連結な3次元閉多様体は、3次元球面 $S^3$ に同相であるか？」という問いが、有名なポアンカレ予想（現在は定理）である。
これは、「基本群の情報（単連結性）だけで、球面の形状を特定できるか」という問題を提起したものであった。