逆関数と合成関数

$f(x)=2x+1$、$g(x)=x^2$ とする。
(1) $x=1$ を $f$ に入れると $f(1)=3$、それを $g$ に入れると $g(3)=9$ である。
(2) 順番を変えて、$x=1$ を $g$ に入れると $g(1)=1$、それを $f$ に入れると $f(1)=3$ である。
同じ 2 つの関数でも、施す順番で結果が $9$ と $3$ に分かれる。式で書くと
$$ g\bigl(f(x)\bigr)=(2x+1)^2=4x^2+4x+1,\qquad f\bigl(g(x)\bigr)=2x^2+1 $$
で、別の関数である。

1. $f(x)=2x+1$ で $f(x)=7$ となる $x$ は、$2x+1=7$ を解いて $x=3$ のただ 1 つである。一般に $y=2x+1$ を $x$ について解くと $x=\dfrac{y-1}2$ で、出てきた数 $y$ から入れた数 $x$ がただ 1 つに決まる。
2. $g(x)=x^2$ で $g(x)=4$ となる $x$ は、$x=2$ と $x=-2$ の 2 つある。出てきた数 $4$ からは、入れた数を 1 つに決められない。グラフでは、水平な直線 $y=4$ が放物線 $y=x^2$ と 2 回交わる（図 1）。
3. 2. で $x$ の範囲を $x\ge0$ に限ると、$x^2=4$ となるのは $x=2$ だけになる。$x\ge0$ の範囲では、$y\ge0$ のどの $y$ にも $x^2=y$ となる $x$ がただ 1 つ $x=\sqrt y$ ある。

$u(x)=\sqrt{x-1}$（定義域 $x\ge1$）と $v(x)=\log x$（定義域 $x>0$）を合成する。
(1) $v\circ u$、つまり $\log\sqrt{x-1}$。$u$ の値 $\sqrt{x-1}$ が $v$ の定義域 $x>0$ に入るのは、$\sqrt{x-1}>0$、つまり $x>1$ のときである。$x=1$ では $u(1)=0$ で、$\log0$ は定まらない。そこで $v\circ u$ は定義域を $x>1$ として考える。
(2) $u\circ v$、つまり $\sqrt{\log x-1}$ の定義域は $x\ge e$ である。

1. $f(x)=2x+1$（実数全体から実数全体へ）は狭義単調増加で、$y=2x+1$ を解いた $f^{-1}(y)=\dfrac{y-1}2$ が逆関数である。$f^{-1}(f(3))=f^{-1}(7)=3$ となる。
2. $f(x)=x+\dfrac1x$（$x\ge1$）を考える。$1\le x_1< x_2$ なら
   $$ f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)+\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}=(x_2-x_1)\Bigl(1-\frac1{x_1x_2}\Bigr) $$
   で、$x_2-x_1>0$、$x_1x_2>1$ より $1-\dfrac1{x_1x_2}>0$ なので、差は正である。$f$ は狭義単調増加で 1 対 1 である。値全体を求めるため $y=x+\dfrac1x$ を $x$ について解く。両辺に $x$ を掛けて $x^2-yx+1=0$、解の公式から
   $$ x=\frac{y\pm\sqrt{y^2-4}}2 $$
   である。実数解があるのは $y^2-4\ge0$ のときで、2 つの解の積は $1$ なので、$x\ge1$ を満たすのは大きいほうの解 $x=\dfrac{y+\sqrt{y^2-4}}2$ である（$\sqrt{y^2-4}\ge0$ なのでこれは $\dfrac y2$ 以上で、$y\ge2$ なら $\dfrac y2\ge1$ である）。$y\le-2$ では解はどちらも負で、$x\ge1$ の解はない。よって値全体は $y\ge2$ で、逆関数は
   $$ \boxed{f^{-1}(y)=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}2\quad(y\ge2)} $$
   である。$f(3)=\dfrac{10}3$ で、$f^{-1}\bigl(\tfrac{10}3\bigr)=\dfrac{\frac{10}3+\sqrt{\frac{100}9-4}}2=\dfrac{\frac{10}3+\frac83}2=3$ ともどる。2 つのグラフは直線 $y=x$ に関して対称である（図 2）。

$f(x)=2x+1$、$g(x)=x^2$、$h(x)=x-3$ とする。$g\circ f$ は $(2x+1)^2$ なので、$h\circ(g\circ f)$ は $(2x+1)^2-3=4x^2+4x-2$ である。一方、$h\circ g$ は $x^2-3$ で、それに $f$ を入れた $(h\circ g)\circ f$ は $(2x+1)^2-3=4x^2+4x-2$ である。2 つは一致する。$x=2$ では、$f(2)=5$、$g(5)=25$、$h(25)=22$ で、$4\cdot4+8-2=22$ と合う。

$f(x)=2x+1$、$g(x)=x^3$ とする。どちらも実数全体から実数全体への全単射である（$x^3$ は狭義単調増加で、どの実数 $y$ にも $x^3=y$ となる実数 $x$、つまり 3 乗根 $\sqrt[3]y$ がただ 1 つある）。$f^{-1}(y)=\dfrac{y-1}2$、$g^{-1}(y)=\sqrt[3]y$ である。
(1) 直接解く。$(g\circ f)(x)=(2x+1)^3$ で、$y=(2x+1)^3$ を $x$ について解くと、$2x+1=\sqrt[3]y$ から $x=\dfrac{\sqrt[3]y-1}2$ である。
(2) thm-icf-compose (3) を使う。
$$ (g\circ f)^{-1}(y)=f^{-1}\bigl(g^{-1}(y)\bigr)=f^{-1}\bigl(\sqrt[3]y\bigr)=\frac{\sqrt[3]y-1}2 $$
で、(1) と一致する。$y=27$ では $\dfrac{3-1}2=1$ で、たしかに $(2\cdot1+1)^3=27$ である。
順番を逆にした $g^{-1}\bigl(f^{-1}(27)\bigr)=\sqrt[3]{13}=2.351\ldots$ は、$(g\circ f)\bigl(\sqrt[3]{13}\bigr)=185.4\ldots$ となり、$27$ にもどらない。

$f(x)=x^3-3x$ を区間 $-2\le x\le2$ で考える。$f(-2)=-2$、$f(-1)=2$、$f(1)=-2$、$f(2)=2$ である。
(1) 3 点 $-2<-1<1$ で、真ん中の値 $f(-1)=2$ は両端の値 $f(-2)=f(1)=-2$ の間にない。lem-icf-three の結論が崩れているので、$f$ はこの区間で 1 対 1 でない。実際、方程式 $x^3-3x=1$ は $x=-1.532\ldots$、$-0.347\ldots$、$1.879\ldots$ の 3 つの解をもち、水平線 $y=1$ はグラフと 3 回交わる（図 3）。
(2) 区間を $1\le x\le2$ に限る。$1\le x_1< x_2\le2$ なら
$$ f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2-3) $$
で、$x_1^2\ge1$、$x_1x_2>1$、$x_2^2>1$ より 2 つ目の因数は正なので、$f$ は狭義単調増加である。値全体は $[f(1),f(2)]=[-2,2]$ で、thm-icf-monotone (2) により、逆関数 $f^{-1}\colon[-2,2]\to[1,2]$ は狭義単調増加で連続である。$x^3-3x=y$ を $x$ について解いた式を求めなくても、逆関数があることと、その増減・連続性が分かる。たとえば $f^{-1}(1)=1.879\ldots$ である。

区間 $0\le x\le2$ で、$0\le x<1$ なら $f(x)=x$、$1\le x\le2$ なら $f(x)=3-x$ と定める。
(1) 1 対 1 である。$[0,1)$ の上では狭義単調増加で値は $[0,1)$、$[1,2]$ の上では狭義単調減少で値は $[1,2]$ である。2 つの値の範囲は重ならないので、異なる 2 点で同じ値をとることはない。
(2) 狭義単調ではない。$0<1$ で $f(0)=0< f(1)=2$、$1<2$ で $f(1)=2>f(2)=1$ と、上りの組と下りの組がある。
(3) $x=1$ で連続でない。$x$ を左から $1$ に近づけると $f(x)=x$ は $1$ に近づくが、$f(1)=2$ である。
(4) 値全体は区間 $[0,2]$ だが、逆関数は $y=1$ で連続でない。

$f(x)=\dfrac1x$ を、$x\ne0$ の実数全体で考える。$f$ は定義域のどの点でも連続で、$\dfrac1{x_1}=\dfrac1{x_2}$ なら $x_1=x_2$ なので 1 対 1 である。しかし $-1<1$ で $f(-1)=-1< f(1)=1$、$1<2$ で $f(1)=1>f(2)=\dfrac12$ なので、狭義単調ではない。3 点 $-1<1<2$ で、真ん中の値 $1$ は両端の値 $-1$ と $\dfrac12$ の間にない。lem-icf-three の証明で中間値の定理を $[-1,1]$ で使いたいが、$0$ で定義されていないので使えない。定義域が $x<0$ と $x>0$ の 2 つに分かれていることが原因である。

$g(x)=x^2$ を実数全体で考えると、$g(2)=g(-2)=4$ である（ex-icf-start-inverse (2)）。$4$ に戻す先を $2$ と決めても $-2$ と決めても、もう一方の数がもとにもどらず、$g^{-1}\circ g=\mathrm{id}$ となる関数 $g^{-1}$ は作れない。定義域を $x\ge0$ に限ってはじめて、逆関数 $\sqrt x$ が定まる。

$a\ne0$ のとき、1 次関数 $f(x)=ax+b$ は実数全体から実数全体への全単射で、逆関数は $f^{-1}(x)=\dfrac{x-b}a$ である（$a$ の符号で狭義単調増加か減少かが決まる）。$g(x)=cx+d$（$c\ne0$）との合成は
$$ (g\circ f)(x)=c(ax+b)+d=(ca)x+(cb+d) $$
で、また $x$ の係数が $0$ でない 1 次関数である。逆関数もまた 1 次関数なので、この形の関数の全体は、rem-icf-group の性質 (i)〜(iv) を満たす $S(\mathbb R)$ の一部分の群になる。順番を変えると、たとえば $f(x)=2x$、$g(x)=x+1$ で $(g\circ f)(x)=2x+1$、$(f\circ g)(x)=2x+2$ と異なる。
分数の形 $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ の関数を合成すると、係数が $2$ 次の行列の積で表される（1次分数変換（高校数学））。1 次関数 $ax+b$ はその $c=0$、$d=1$ の場合である。