剛性補題(アーベル多様体)

同義語：rigidity lemma for abelian varietiesアーベル多様体の剛性補題

概要

前提知識: アーベル多様体, 完備多様体(代数幾何学), 固有射, 平坦射, 群スキーム

完備な多様体を一方の因子にもつ直積からの射は、変形の自由度をほとんどもたない。ある 1 つのファイバーを 1 点に潰す射は、すべてのファイバーを 1 点に潰し、もう一方の因子だけの関数になってしまう。これが剛性補題（rigidity lemma）である。アーベル多様体の理論で最初に使う道具であり、ここから「アーベル多様体の間の射は準同型と平行移動の合成である」「アーベル多様体は可換である」が数行で出る。
証明の要は 2 つの事実である。完備で連結な多様体の上の大域関数は定数であること、そして固有射が閉写像であること。前者によって 1 つのファイバーの近くで射が分解し、後者によって分解する場所が開集合になる。最後に平坦性を使ってその情報を全体に広げる。後半では、底を体からスキーム $S$ に取り替えた版（底の上の剛性補題）を連結な局所 Noether スキームの上で示し、アーベルスキームの準同型に応用する。
「剛性」の名をもつ定理はほかにもある（Cauchyの剛性定理など）が、この記事は代数幾何のこの補題だけを扱う。

設定と記号

$k$ を体とする。$k$ 上の多様体とは、$k$ 上分離的で有限型な整スキームのことである（アーベル多様体についてはアーベル多様体の定義のとおり幾何的整を課す）。多様体 $X$ が完備であるとは、構造射 $X\to\operatorname{Spec}k$ が固有射であることをいう（完備多様体(代数幾何学)）。$X\times Y$ で $X\times_kY$ を表し、$p_1,p_2$ を射影とする。
スキームの射 $p\colon X\to S$ と点 $s\in S$ について、$X_s:=X\times_S\operatorname{Spec}\kappa(s)$ をファイバーといい、その台を $p^{-1}(s)$ と同一視する。射 $f\colon X\to Y$ について「$f(X_s)$ が 1 点」とは、集合 $f(p^{-1}(s))$ がちょうど 1 点からなることをいう。$p$ の切断とは、$p\circ\epsilon=\mathrm{id}_S$ を満たす射 $\epsilon\colon S\to X$ のことである。
$Y$ を $S$ 上のスキーム、$f,g\colon X\to Y$ を $S$ 射とする。対角射 $\Delta\colon Y\to Y\times_SY$ を $(f,g)\colon X\to Y\times_SY$ で引き戻したものを、$f$ と $g$ の等化子 $\operatorname{Eq}(f,g)$ という（等化子）。$Y$ が $S$ 上分離的なら $\Delta$ は閉埋め込みなので、$\operatorname{Eq}(f,g)$ は $X$ の閉部分スキームである。次の 2 点を繰り返し使う。

$x\in\operatorname{Eq}(f,g)$ なら、点として $f(x)=g(x)$ である。$(f,g)(x)$ が $\Delta$ の像に入り、$\Delta$ に 2 つの射影のどちらを合成しても $\mathrm{id}_Y$ になるからである。
開部分スキーム $U\subset X$ の上で $f|_U=g|_U$ なら、$(f,g)|_U$ は $\Delta$ を経由するので、$U\subset\operatorname{Eq}(f,g)$ である。

主定理

剛性補題

$k$ を代数閉体、$X$ を $k$ 上の完備な多様体、$Y$ を $k$ 上の多様体、$Z$ を $k$ 上分離的なスキームとし、$f\colon X\times Y\to Z$ を $k$ 上の射とする。ある $y_0\in Y(k)$ について $f(X\times\{y_0\})$ が 1 点であるとする。このとき、任意の $x_0\in X(k)$ について
$$ g:=f\circ(x_0,\mathrm{id}_Y)\colon Y\to Z $$
とおくと、$f=g\circ p_2$ が成り立つ。

主張の読み方

ここで $X\times\{y_0\}$ は $p_2$ の $y_0$ の上のファイバーであり、$(x_0,\mathrm{id}_Y)\colon Y\to X\times Y$ は $y\mapsto(x_0,y)$ を表す射である。$X(k)$ は空でない（Hilbertの零点定理）。結論は「$f$ は第 1 成分によらない」ということで、特にすべての $y\in Y$ について $f(X\times\{y\})$ は 1 点 $g(y)$ になる。仮定は 1 つのファイバーについてだけ課していることに注意する。証明は次の節で 2 つの補題から組み立てる。

証明

2 つの補題

局所的な分解

$p\colon X\to S$ をスキームの射で、閉写像であり、構造射 $\mathcal{O}_S\to p_*\mathcal{O}_X$ が同型であるものとする。$f\colon X\to Y$ をスキームの射、$s\in S$ を $f(X_s)$ が 1 点であるような点とする。このとき $s$ の開近傍 $V$ と射 $\eta\colon V\to Y$ で、$p^{-1}(V)$ の上で $f=\eta\circ p$ となるものが存在する。さらに $p$ が切断 $\epsilon$ をもてば $\eta=f\circ\epsilon|_V$ である。

$f(X_s)=\{y\}$ とし、$y$ のアフィン開近傍 $U$ をとる。$X\setminus f^{-1}(U)$ は閉集合で $p$ は閉写像だから、$C:=p\bigl(X\setminus f^{-1}(U)\bigr)$ は $S$ の閉集合である。$p^{-1}(s)\subset f^{-1}(U)$ なので $s\notin C$ である。$V:=S\setminus C$ とおくと $p^{-1}(V)\subset f^{-1}(U)$ である。実際、$x\in p^{-1}(V)$ で $f(x)\notin U$ なら $p(x)\in C$ となり矛盾する。
アフィンスキーム $U$ への射は、環 $\Gamma(U,\mathcal{O}_U)$ からの環準同型と 1 対 1 に、しかも定義域について自然に対応する（アフィンスキーム）。$f$ の制限 $p^{-1}(V)\to U$ に対応する環準同型を $\varphi\colon\Gamma(U,\mathcal{O}_U)\to\Gamma(p^{-1}(V),\mathcal{O}_X)$ とする。仮定により $p^\sharp\colon\Gamma(V,\mathcal{O}_S)\to\Gamma(p^{-1}(V),\mathcal{O}_X)$ は同型なので、$\psi:=(p^\sharp)^{-1}\circ\varphi$ に対応する射 $\eta\colon V\to U$ が定まる。対応の自然性により、合成 $\eta\circ p|_{p^{-1}(V)}$ には $p^\sharp\circ\psi=\varphi$ が対応する。よって $p^{-1}(V)$ の上で $f=\eta\circ p$ である。切断 $\epsilon$ があれば、$V$ の上で $\eta=\eta\circ p\circ\epsilon=f\circ\epsilon$ である。$\square$

平坦射による広がり

$p\colon X\to S$ を平坦射、$S_0\subset S$ を既約な閉集合、$\xi$ を $S_0$ の生成点、$V\subset S$ を $\xi$ を含む開集合とする。このとき $p^{-1}(S_0)$ の各点は、$p^{-1}(V)$ のある点の特殊化である。特に、$p^{-1}(V)$ を含む $X$ の閉集合は $p^{-1}(S_0)$ を含む。

$x\in p^{-1}(S_0)$、$t:=p(x)$ とする。$t\in S_0=\overline{\{\xi\}}$ なので $\xi$ は $t$ の一般化であり、$\mathcal{O}_{S,t}$ のある素イデアル $\mathfrak{q}$ に対応する。$p$ は平坦なので $\mathcal{O}_{S,t}\to\mathcal{O}_{X,x}$ は平坦な局所準同型である。平坦な環準同型については下降定理（going-down）が成り立つ（下降定理の定理「平坦な準同型の下降定理」、Mat89 Theorem 9.5）ので、$\mathcal{O}_{X,x}$ の素イデアル $\mathfrak{P}$ で $\mathfrak{P}\cap\mathcal{O}_{S,t}=\mathfrak{q}$ となるものがある。$\mathfrak{P}$ に対応する点 $x'$ は $x$ の一般化であり、$p(x')=\xi\in V$ である。後半は、閉集合はその点の特殊化をすべて含むことによる。$\square$

主定理の証明

$S:=Y$、$p:=p_2\colon X\times Y\to Y$、$\epsilon:=(x_0,\mathrm{id}_Y)$ として 2 つの補題を当てる。$\epsilon$ は $p_2$ の切断で、$g=f\circ\epsilon$ である。
(1) 仮定の確認． $X$ は $k$ 上固有なので、その底変換 $p_2$ は固有であり、特に閉写像である。体上のスキームはすべて平坦で、平坦性は底変換で保たれるので、$p_2$ は平坦である。$k$ は代数閉体で $X$ は完備な多様体だから $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=k$ である（完備多様体(代数幾何学) の系「代数閉体上の完備多様体からの射」）。平坦な射 $Y\to\operatorname{Spec}k$ による底変換とコホモロジーの両立（Har77 III Proposition 9.3 の $i=0$ の場合）により、$p_{2*}\mathcal{O}_{X\times Y}\cong\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\otimes_k\mathcal{O}_Y=\mathcal{O}_Y$ であり、構造射 $\mathcal{O}_Y\to p_{2*}\mathcal{O}_{X\times Y}$ は同型である。
(2) $y_0$ の近く． $p_2$ の $y_0$ の上のファイバーの台は $X\times\{y_0\}$ であり、仮定によりその像は 1 点である。lem-rigidity-av-local により、$y_0$ の開近傍 $V$ があって、$X\times V$ の上で $f=g\circ p_2$ となる。
(3) すべてのファイバーが 1 点に写ること． $Z$ は分離的なので、$Q:=\operatorname{Eq}(f,g\circ p_2)$ は $X\times Y$ の閉部分スキームであり、(2) により $X\times V\subset Q$ である。$Y$ は既約で、その生成点は空でない開集合 $V$ に属する。lem-rigidity-av-flat（$S_0=Y$）により $Q$ の台は $X\times Y$ 全体である。よって任意の $y\in Y$ と $x\in p_2^{-1}(y)$ について $f(x)=g(p_2(x))=g(y)$ であり、$f(X_y)$ は 1 点 $g(y)$ である。
(4) 結論． (3) により lem-rigidity-av-local がすべての点 $y\in Y$ に当てはまる。したがって $Y$ は開集合 $V_y$ で覆われ、各 $X\times V_y$ の上で $f=g\circ p_2$ が成り立つ（補題の $\eta$ は $f\circ\epsilon=g$ である）。射は開被覆の各部分で一致すれば一致するので、$f=g\circ p_2$ である。$\square$

仮定の使いどころ

完備性は (1) の 2 か所で使った。$p_2$ が閉写像であること（補題で $V$ を開集合にとるため）と、大域関数が定数であること（$p_{2*}\mathcal{O}=\mathcal{O}_Y$）である。$Y$ の既約性は (3) で 1 つのファイバーの情報を全体に広げるために、$Z$ の分離性は等化子が閉であるために使った。$X\times Y$ が被約であることは使っていない。それぞれの仮定を外した反例は「例と反例」の節にまとめる。

アーベル多様体への応用

$k$ を体、$A,B$ を $k$ 上のアーベル多様体とする。可換性を示すまでは群演算を乗法的に $xy$、$x^{-1}$、$e$ と書く。射どうしの等式は、$k$ スキーム $T$ に対する $T$ 値点の群 $A(T)$、$B(T)$ の上で確かめる（米田の補題）。$b\in B(k)$ による平行移動を $t_b\colon B\to B$、$t_b(y):=yb$ とする。

アーベル多様体の間の射

$f\colon A\to B$ を $k$ 上の射とし、$b:=f(e)\in B(k)$ とする。このとき準同型 $h\colon A\to B$ で $f=t_b\circ h$ となるものがただ 1 つ存在する。特に $f(e)=e$ なら $f$ は準同型である。

$h:=t_{b^{-1}}\circ f$ とおくと $h(e)=e$ である。$h$ が準同型であることを示せばよい。射 $\varphi\colon A\times A\to B$ を $T$ 値点で
$$ \varphi(x,y):=h(xy)\,h(y)^{-1}\,h(x)^{-1} $$
と定める（$A$ の積、$h$、$B$ の積と逆元の合成である）。
まず $k$ が代数閉体の場合。$\varphi(x,e)=h(x)h(e)^{-1}h(x)^{-1}=e$ なので、$\varphi$ は $A\times\{e\}$ を 1 点 $e$ に写す。thm-rigidity-av（$X=Y=A$、$Z=B$、$y_0=x_0=e$）により $\varphi=g\circ p_2$、$g=\varphi\circ(e,\mathrm{id}_A)$ である。ところが $g(y)=\varphi(e,y)=h(y)h(y)^{-1}h(e)^{-1}=e$ なので $\varphi$ は定数 $e$ であり、$h(xy)=h(x)h(y)$ がすべての $T$ 値点で成り立つ。
一般の $k$ の場合。2 つの射 $h\circ m_A$ と $m_B\circ(h\times h)$ の等化子は $A\times A$ の閉部分スキームであり、等化子の作り方はファイバー積と両立するので、その $\bar k$ への底変換は $A_{\bar k}\times A_{\bar k}$ の上の等化子である。上の場合によりこれは全体なので、等化子の定義イデアル層 $\mathcal{I}$ について $\mathcal{I}\otimes_k\bar k=0$ である。$\bar k$ は $k$ 上自由だから $\mathcal{I}=0$ であり、$h$ は準同型である。
一意性：$t_b\circ h=t_{b'}\circ h'$（$h,h'$ は準同型）なら、両辺を $e$ で評価して $b=b'$、したがって $h=h'$ である。$\square$

可換性

アーベル多様体は可換群スキームである。

逆元射 $i\colon A\to A$ は $i(e)=e$ を満たすので、cor-rigidity-av-morphisms により準同型である。よって $T$ 値点で $(xy)^{-1}=x^{-1}y^{-1}$ が成り立つ。一方、どの群でも $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ だから $x^{-1}y^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ であり、$x,y$ を $x^{-1},y^{-1}$ に置き換えると $xy=yx$ を得る。これがすべての $T$ 値点で成り立つので、積 $m_A$ と、因子を入れ替えてから積をとる射 $m_A\circ\sigma$ は一致する。$\square$

以後は加法的に $x+y$、$-x$、$0$ と書く（アーベル多様体）。cor-rigidity-av-morphisms は「アーベル多様体の間の射は、平行移動と準同型の合成にただ一通りに分解する」と言い表せる。

楕円曲線の自己同型

$E$ を体 $k$ 上の楕円曲線、$O$ を原点とする。曲線の自己同型 $\alpha\colon E\to E$ で $\alpha(O)=O$ を満たすものは、cor-rigidity-av-morphisms により群の自己同型である。たとえば $k$ の標数が $2,3$ でなく、$i\in k$ が $i^2=-1$ を満たすとし、$E\colon y^2=x^3+x$ をとる。$\alpha(x,y):=(-x,iy)$ は $(iy)^2=-y^2=(-x)^3+(-x)$ により方程式を保ち、射影座標で $[X:Y:Z]\mapsto[-X:iY:Z]$ と書けるので無限遠点 $O=[0:1:0]$ を固定する。したがって $\alpha$ は加法と可換で、$\alpha^2(x,y)=(x,-y)$ は $-1$ 倍写像だから、$\alpha$ は位数 $4$ の群の自己同型である。加法の公式を計算しなくても、「原点を固定する」ことだけから準同型性が出る点が剛性補題の効き目である。

底の上の剛性補題

主定理の証明は、$Y$ を底とする族 $p_2\colon X\times Y\to Y$ についての議論だった。同じ議論は一般の底の上の族に通用する。

底の上の剛性補題

$S$ を連結な局所 Noether スキーム、$p\colon X\to S$ を固有で平坦な射で、構造射 $\mathcal{O}_S\to p_*\mathcal{O}_X$ が同型であり、切断 $\epsilon\colon S\to X$ をもつものとする。$Y$ を $S$ 上分離的なスキーム、$f\colon X\to Y$ を $S$ 射とする。ある $s\in S$ について $f(X_s)$ が 1 点ならば、$f=(f\circ\epsilon)\circ p$ が成り立つ。

$g:=f\circ\epsilon\circ p$ とおく。$g$ も $S$ 射なので、$Q:=\operatorname{Eq}(f,g)$ は $X$ の閉部分スキームである。$W:=\{t\in S\mid f(X_t)\text{ は 1 点}\}$ とおく。
(a) $W$ の各点は、$p^{-1}(V)\subset Q$ となる開近傍 $V\subset W$ をもつ． 固有射は閉写像なので lem-rigidity-av-local が使える。$t\in W$ に対し、$t$ の開近傍 $V$ の上で $f=(f\circ\epsilon)\circ p=g$ となるので $p^{-1}(V)\subset Q$ である。さらに $t'\in V$ なら $f(X_{t'})=\{f(\epsilon(t'))\}$ なので $V\subset W$ である。特に $W$ は開集合である。
(b) $S$ の既約成分 $S_0$ が $W$ と交われば $S_0\subset W$． $S_0\cap W$ は $S_0$ の空でない開集合なので、$S_0$ の生成点 $\xi$ を含む。(a) により $\xi$ の開近傍 $V$ で $p^{-1}(V)\subset Q$ となるものがあり、lem-rigidity-av-flat により $p^{-1}(S_0)\subset Q$ である。したがって $t\in S_0$、$x\in p^{-1}(t)$ について $f(x)=g(x)=f(\epsilon(t))$ であり、$t\in W$ である。
(c) $W=S$． $S$ の各点はある既約成分に属する。局所 Noether スキームの既約成分の族は局所有限なので、(b) により $W$ は「$W$ と交わる既約成分」の和として閉集合である。(a) により $W$ は開集合で、$s\in W$ より空でない。$S$ は連結なので $W=S$ である。
(d) 結論． (a) と (c) により、$S$ は $f=g$ が $p^{-1}(V)$ の上で成り立つような開集合 $V$ で覆われる。よって $f=g$ である。$\square$

thm-rigidity-av は、この定理の $S=Y$、$X$ を $X\times Y$、$Y$ を $Z\times Y$、$f$ を $(f,p_2)$ とした場合にあたる。アーベルスキーム $\pi\colon A\to S$ では、アーベルスキームの定理「構造層の順像」により、任意の底変換 $T\to S$ の後でも $\mathcal{O}_T\to(\pi_T)_*\mathcal{O}_{A_T}$ が同型である。これが次の系で定理の仮定を満たす根拠になる。

アーベルスキームの準同型と可換性

$S$ を局所 Noether スキーム、$\pi\colon A\to S$ をアーベルスキーム、$G\to S$ を分離的な群スキームとし、$\varphi\colon A\to G$ を $\varphi\circ e_A=e_G$ を満たす $S$ 射とする。このとき $\varphi$ は群スキームの準同型であり、$A$ は可換群スキームである。

局所 Noether スキームの連結成分は開集合であり、準同型であることと可換性は $S$ 上局所的に確かめられるので、$S$ は連結としてよい。
$A$ は連結である． $A=U_1\sqcup U_2$（$U_1,U_2$ は開かつ閉）とする。各ファイバー $A_t$ は連結（幾何学的ファイバーが連結で、$A_{\bar t}\to A_t$ は全射）なので、$U_1,U_2$ の一方に含まれる。$\pi$ は固有なので $\pi(U_1)$、$\pi(U_2)$ は閉集合で、いま述べたことから交わらず、$\pi$ は切断 $e_A$ をもつので全射であり、$S=\pi(U_1)\sqcup\pi(U_2)$ である。$S$ は連結なので一方は空であり、対応する $U_i$ も空である。また $A$ は $S$ 上局所有限型なので局所 Noether である。
定理の適用． 底を $A$ とし、$X:=A\times_SA$ を第 2 射影 $\mathrm{pr}_2$ で $A$ 上のスキームとみなす。$\mathrm{pr}_2$ は $\pi$ の $\pi$ による底変換なので固有かつ平坦であり、上の注意により $\mathcal{O}_A\to\mathrm{pr}_{2*}\mathcal{O}_X$ は同型である。$\epsilon:=(e_A\circ\pi,\mathrm{id}_A)$ は $\mathrm{pr}_2$ の切断である。$Y:=G\times_SA$ は $A$ 上分離的である。$\Phi\colon X\to G$ を $T$ 値点で $\Phi(x,y):=\varphi(xy)\,\varphi(y)^{-1}\varphi(x)^{-1}$ と定め、$A$ 射 $\Psi:=(\Phi,\mathrm{pr}_2)\colon X\to Y$ を考える。
点 $s\in S$ を 1 つとり、$a:=e_A(s)$ とする。$\mathrm{pr}_2^{-1}(e_A(S))$ は閉埋め込み $j:=(\mathrm{id}_A,e_A\circ\pi)\colon A\to X$ の像であり、群の公理から $\Phi\circ j=e_G\circ\pi$ なので $\Psi\circ j=(e_G,e_A)\circ\pi$ である。よって $\Psi(X_a)=\{(e_G,e_A)(s)\}$ は 1 点である。thm-rigidity-av-relative により $\Psi=\Psi\circ\epsilon\circ\mathrm{pr}_2$、特に $\Phi=\Phi\circ\epsilon\circ\mathrm{pr}_2$ である。ところが $\Phi\circ\epsilon$ は $T$ 値点で $y\mapsto\varphi(y)\varphi(y)^{-1}\varphi(e)^{-1}=e$ なので、$\Phi$ は定数 $e_G$ であり、$\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)$ がすべての $T$ 値点で成り立つ。可換性は、逆元射に適用して prf-rigidity-av-commutative と同じ計算をすればよい。$\square$

例と反例

反例：平坦でない族

$S:=\mathbb{A}^1_k=\operatorname{Spec}k[s]$ とし、$S\times\mathbb{P}^1$ の中で、無限遠の切断 $\Sigma:=S\times\{\infty\}$ と原点の上のファイバー $F:=\{0\}\times\mathbb{P}^1$ の和 $X:=\Sigma\cup F$（被約な閉部分スキーム）を考える。$p\colon X\to S$ を射影、$\epsilon(s):=(s,\infty)$、$Y:=S\times\mathbb{P}^1$、$f\colon X\to Y$ を包含とする。$p$ は固有で、$Y$ は $S$ 上分離的である。$s\neq0$ の上のファイバーは 1 点 $(s,\infty)$ なので $f(X_s)$ は 1 点である。しかし $f(X_0)=F$ は 1 点でないので、$f\neq(f\circ\epsilon)\circ p$ である。
残りの仮定 $\mathcal{O}_S\cong p_*\mathcal{O}_X$ も成り立つ。$\infty$ での座標 $u$ をとると、$X$ は節点 $(0,\infty)$ の近くで $\operatorname{Spec}k[s,u]/(su)$ と書ける。$0$ を含む開集合 $V\subset S$ について、$p^{-1}(V)$ 上の関数は、$\Sigma$ の上の関数 $a\in\Gamma(V,\mathcal{O}_S)$ と $F$ の上の関数 $c$ の組で、節点で値が一致するもの（$a(0)=c(\infty)$）である。$F\cong\mathbb{P}^1$ 上の関数は定数なので $c=a(0)$ となり、$\Gamma(p^{-1}(V),\mathcal{O}_X)=\Gamma(V,\mathcal{O}_S)$ である。$0\notin V$ なら $p^{-1}(V)=V\times\{\infty\}$ で明らかである。一方 $p$ は平坦でない。$F$ の節点以外の点の局所環では $s$ が $0$ に写り、$k[s]$ 加群として捩れをもつからである。

各行は、主定理・系・底の上の版の仮定を 1 つだけ外す。

外す条件	反例	成り立たなくなること
thm-rigidity-av の $X$ が完備	$X=Y=Z=\mathbb{A}^1$、$f(x,y)=xy$	$f(X\times\{0\})=\{0\}$ だが $f(x,1)=x$ は $x$ によるので、$f$ は $p_2$ を経由しない
cor-rigidity-av-morphisms の群が完備	加法群 $\mathbb{G}_a=\mathbb{A}^1$（標数 $\neq2$）と $f(x)=x^2$	$f(0)=0$ だが $(x+y)^2\neq x^2+y^2$ で、$f$ は準同型でない
cor-rigidity-av-commutative の群が完備	可逆な上三角 $2\times2$ 行列の群（Borel部分群）	連結な群多様体だが可換でない
thm-rigidity-av-relative の $S$ が連結	$S=\operatorname{Spec}k\sqcup\operatorname{Spec}k$、$X=Y=\mathbb{P}^1_S$、$\epsilon=\infty$、$f$ は一方の成分で恒等射、他方で定数 $\infty$	後者の成分のファイバーは 1 点に写るが、$f\neq(f\circ\epsilon)\circ p$
thm-rigidity-av-relative の $p$ が平坦	ex-rigidity-av-nonflat	原点の上のファイバーだけが 1 点に潰れない
thm-rigidity-av-relative の $\mathcal{O}_S\cong p_*\mathcal{O}_X$	$S=\mathbb{A}^1_k$、$X=S\sqcup S$、$\epsilon$ は第 1 成分への包含、$Y=S\times\mathbb{A}^1$、$f$ は第 1 成分で $s\mapsto(s,0)$、第 2 成分で $s\mapsto(s,s)$	$p_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_S^{\oplus2}$ で、$s=0$ のファイバーは 1 点に写るが $f\neq(f\circ\epsilon)\circ p$

補足

使いどころ

cor-rigidity-av-morphisms により、アーベル多様体の間の射の研究は準同型の研究に帰着する。可換性 cor-rigidity-av-commutative により、準同型の全体 $\operatorname{Hom}(A,B)$ は加法で群になり、$n$ 倍写像 $n_A$ は準同型になる。底の上の版からは、局所 Noether スキーム上のアーベルスキームの群構造が単位切断だけで決まることも出る。単位切断が同じ 2 つの群構造 $m,m'$ があれば、恒等射 $(A,m)\to(A,m')$ に cor-rigidity-av-abelian-scheme を当てて $m=m'$ を得る。