往復論法

同義語：往復の議論back-and-forth methodback-and-forth argument

概要

前提知識: 構造(モデル), 可算集合, 初等同値

往復論法（back-and-forth method）とは、2 つの構造の間の有限個の元の対応（部分同型）を、一方の側の元と他方の側の元を交互に取り込みながら少しずつ延ばしていき、その極限として同型写像を作る方法である。2 つの構造がともに可算なら、空でない部分同型の集合で、そのどの元もその集合の中でどちらの側の新しい元まで延ばせるもの（往復系）があれば、同型が得られる。端点のない稠密な全順序が可算ならすべて有理数の順序と同型である、という Cantor の定理がその最初の例である。
片側の元だけを取り込む「行き」だけを繰り返すと、得られるのは一方から他方への埋め込みにとどまる。値域が相手の構造全体になるのは、「帰り」の一歩を交互にはさむからである。また、構造が可算でないときには、往復系があっても同型が作れるとは限らない。その場合に往復系から言えるのは、同じ一階の文を満たすこと（初等同値）などの弱い結論である。

結果	内容
thm-bf-main	可算な構造の間の往復系から同型を作る
thm-bf-forth	行きだけの系から埋め込みを作る
cor-bf-dlo	可算な端点のない稠密な全順序は $(\mathbb Q,<)$ と同型
cor-bf-universal	可算な全順序は $(\mathbb Q,<)$ に埋め込める
thm-bf-rado	拡張性をもつ可算なグラフはすべて同型

設定と定義

この記事では、一階言語 $L$ は 関係記号だけからなる（定数記号・関数記号をもたない）とする。$L$ 構造 $\mathcal M$ の台集合を $M$ と書き、台集合は空でないとする。関係記号だけの言語では、全単射 $h\colon M\to N$ が同型写像であるとは、すべての $r$ 項関係記号 $R$ と $a_1,\dots,a_r\in M$ について $(a_1,\dots,a_r)\in R^{\mathcal M}\iff(h(a_1),\dots,h(a_r))\in R^{\mathcal N}$ が成り立つことであり、単射 $h$ がこの条件を満たすとき 埋め込み という（構造(モデル) の記事の定義「準同型・埋め込み・同型」）。定数記号・関数記号を含む言語も、後の rem-bf-relational のように関係記号だけの言語に直して扱える。
写像 $p$ をそのグラフ $\{(x,p(x))\}$ と同一視し、$p\subset q$ は $q$ が $p$ の延長であることを表す。$p$ の定義域を $\operatorname{dom}p$、値域を $\operatorname{ran}p$ と書く。集合が可算であるとは、有限であるか可算無限であることをいう。

部分同型・往復系・行きの系

$\mathcal M,\mathcal N$ を $L$ 構造とする。

$M$ の有限部分集合 $\operatorname{dom}p$ から $N$ への単射 $p$ が 部分同型 であるとは、すべての $r$ 項関係記号 $R$ と $a_1,\dots,a_r\in\operatorname{dom}p$ について
$$ (a_1,\dots,a_r)\in R^{\mathcal M}\iff(p(a_1),\dots,p(a_r))\in R^{\mathcal N} $$
が成り立つことをいう。
部分同型の集合 $I$ が次の 2 つを満たすとき、$I$ は 往復の性質 をもつという。
- （行き）任意の $p\in I$ と $a\in M$ に対し、$p\subset q$ かつ $a\in\operatorname{dom}q$ となる $q\in I$ がある。
- （帰り）任意の $p\in I$ と $b\in N$ に対し、$p\subset q$ かつ $b\in\operatorname{ran}q$ となる $q\in I$ がある。
往復の性質をもつ 空でない 部分同型の集合を 往復系 という。（行き）だけを満たす空でない部分同型の集合を 行きの系 という。

空写像 $\emptyset$ はいつでも部分同型である。部分同型の逆写像 $p^{-1}$ は $\mathcal N$ から $\mathcal M$ への部分同型であり、$\mathcal M,\mathcal N$ の間の往復系 $I$ について $\{p^{-1}\mid p\in I\}$ は $\mathcal N,\mathcal M$ の間の往復系である（（行き）と（帰り）が入れ替わる）。同型写像 $h\colon\mathcal M\to\mathcal N$ があれば、$h$ の有限部分集合への制限の全体は往復系である。この定義は初等同値の記事の定義「部分同型と往復系」と同じもので、OLT26 Definition 25.14・25.15（p. 387）にもある。

往復論法の基本定理

可算な構造の間の往復系から同型を作る

$\mathcal M,\mathcal N$ を可算な $L$ 構造とし、$I$ をその間の往復系とする。このとき、任意の $p\in I$ について、$p\subset\sigma$ となる同型写像 $\sigma\colon\mathcal M\to\mathcal N$ がある。とくに $\mathcal M\cong\mathcal N$ である。

元を交互に取り込む

$M,N$ は空でない可算集合なので、全射 $\mathbb N\to M$, $k\mapsto a_k$ と $\mathbb N\to N$, $k\mapsto b_k$ がある（有限集合なら同じ元を繰り返し並べればよい）。
$p_0:=p$ とおき、$I$ の元の列 $p_0\subset p_1\subset p_2\subset\cdots$ を次のように選ぶ。

$p_{2k}$ が決まったら、（行き）を $p_{2k}$ と $a_k$ に使い、$p_{2k}\subset p_{2k+1}$ かつ $a_k\in\operatorname{dom}p_{2k+1}$ となる $p_{2k+1}\in I$ を選ぶ。
$p_{2k+1}$ が決まったら、（帰り）を $p_{2k+1}$ と $b_k$ に使い、$p_{2k+1}\subset p_{2k+2}$ かつ $b_k\in\operatorname{ran}p_{2k+2}$ となる $p_{2k+2}\in I$ を選ぶ。
$\sigma:=\bigcup_{n}p_n$（グラフの和）とおき、$\sigma$ が求める同型写像であることを確かめる。

写像であること． $(x,y),(x,y')\in\sigma$ なら、ある $n,n'$ で $(x,y)\in p_n$、$(x,y')\in p_{n'}$ である。列は増大するので、$m:=\max(n,n')$ について両方が $p_m$ に属し、$p_m$ は写像だから $y=y'$ である。
定義域と値域． $\operatorname{dom}\sigma=\bigcup_n\operatorname{dom}p_n$ はすべての $a_k$ を含むので $M$ 全体であり、同じく $\operatorname{ran}\sigma$ はすべての $b_k$ を含むので $N$ 全体である。
単射であること． $\sigma(x)=\sigma(x')$ なら、$x,x'$ はともにある $p_m$ の定義域に入り、$p_m(x)=p_m(x')$ である。$p_m$ は単射なので $x=x'$ である。
関係を保つこと． $r$ 項関係記号 $R$ と $x_1,\dots,x_r\in M$ をとる。列が増大することから、$x_1,\dots,x_r$ がすべて $\operatorname{dom}p_m$ に入る $m$ がある。$p_m$ は部分同型なので
$$ (x_1,\dots,x_r)\in R^{\mathcal M}\iff(p_m(x_1),\dots,p_m(x_r))\in R^{\mathcal N}\iff(\sigma(x_1),\dots,\sigma(x_r))\in R^{\mathcal N} $$
である。
以上により $\sigma$ は関係を保つ全単射、すなわち同型写像であり、$p=p_0\subset\sigma$ である。$I$ は空でないので $p\in I$ がとれ、$\mathcal M\cong\mathcal N$ が従う。$\square$

この定理と証明は OLT26 Theorem 25.16（pp. 387–388）にある。証明の各段で使ったのは、選んだ $p_n$ がどれも $I$ に属し、そこから再び延ばせることだけである。（行き）は $M$ の元を漏れなく定義域に入れ、（帰り）は $N$ の元を漏れなく値域に入れる。2 つの集合を番号で並べられること（可算性）が、すべての元を有限回の段のどこかで取り込むために使われている。

行きだけの系から埋め込みを作る

$\mathcal M$ を可算な $L$ 構造、$\mathcal N$ を任意の $L$ 構造とし、$I$ をその間の行きの系とする。このとき、任意の $p\in I$ について、$p\subset\tau$ となる埋め込み $\tau\colon\mathcal M\to\mathcal N$ がある。

全射 $\mathbb N\to M$, $k\mapsto a_k$ をとり、$p_0:=p$ から始めて、（行き）だけで $p_k\subset p_{k+1}$ かつ $a_k\in\operatorname{dom}p_{k+1}$ となる $p_{k+1}\in I$ を順に選ぶ。$\tau:=\bigcup_kp_k$ とおくと、prf-bf-main の「写像であること」「単射であること」「関係を保つこと」の段がそのまま通り、定義域は $M$ 全体である。よって $\tau$ は関係を両向きに保つ単射、すなわち埋め込みである。$\square$

行きの系だけでは、値域が $N$ 全体になる保証はない。たとえば有理数の順序 $(\mathbb Q,<)$ は実数の順序 $(\mathbb R,<)$ に包含写像で埋め込めるが、両者は濃度が違うので同型でない。この場合 $\mathcal N$ は可算でなくてよいので、thm-bf-forth は「可算な構造を大きな構造の中に実現する」ために使える（後の cor-bf-universal）。

定数記号・関数記号を含む言語

一般の言語 $L$ について、$n$ 項関数記号 $f$ ごとに $n+1$ 項関係記号 $R_f$ を、定数記号 $c$ ごとに 1 項関係記号 $U_c$ を用意し、それらと $L$ の関係記号からなる言語を $L^{\mathrm r}$ とする。$L$ 構造 $\mathcal M$ から、$R_f$ を $f^{\mathcal M}$ のグラフ $\{(\bar a,f^{\mathcal M}(\bar a))\}$、$U_c$ を $\{c^{\mathcal M}\}$ と解釈した $L^{\mathrm r}$ 構造 $\mathcal M^{\mathrm r}$ を作る。このとき、単射 $h\colon M\to N$ について次は同値である。

$h$ は $L$ 構造の埋め込み（全単射なら同型写像）である。
$h$ は $L^{\mathrm r}$ 構造の埋め込み（全単射なら同型写像）である。
実際、$h$ が $L$ の埋め込みなら、$b=f^{\mathcal M}(\bar a)\iff h(b)=h(f^{\mathcal M}(\bar a))=f^{\mathcal N}(h(\bar a))$（左の同値は $h$ の単射性）であり、$c^{\mathcal N}=h(c^{\mathcal M})$ から $a=c^{\mathcal M}\iff h(a)=c^{\mathcal N}$ である。逆に $h$ が $L^{\mathrm r}$ の埋め込みなら、$(\bar a,f^{\mathcal M}(\bar a))\in R_f^{\mathcal M}$ から $(h(\bar a),h(f^{\mathcal M}(\bar a)))\in R_f^{\mathcal N}$、すなわち $h(f^{\mathcal M}(\bar a))=f^{\mathcal N}(h(\bar a))$ であり、$c^{\mathcal M}\in U_c^{\mathcal M}$ から $h(c^{\mathcal M})\in U_c^{\mathcal N}=\{c^{\mathcal N}\}$ である。
したがって、一般の言語の構造の同型や埋め込みを作るには、$\mathcal M^{\mathrm r},\mathcal N^{\mathrm r}$ の間の往復系や行きの系を作って thm-bf-main・thm-bf-forth を当てればよい。部分同型を「有限個の元が生成する部分構造の間の同型」に取り替える定式化もある（OLT26 Remark 3、p. 388）。

全順序への応用

言語 $\{<\}$（2 項関係記号 1 つ）を考える。$<$ が狭義の全順序である構造を単に全順序とよぶ。全順序 $\mathcal N$ が 端点のない稠密な全順序 であるとは、最大元も最小元もなく、$x< y$ なら $x< z< y$ となる $z$ があることをいう。$(\mathbb Q,<)$ と $(\mathbb R,<)$ はその例である。
全順序の間の部分同型は、有限部分集合の上で順序を保つ写像 $p$（$x< y\Rightarrow p(x)< p(y)$）にほかならない。実際、そのような $p$ は単射で、$x\not< y$ なら $x=y$ または $y< x$ なので $p(x)\not< p(y)$ となり、$x< y\iff p(x)< p(y)$ が成り立つ。

稠密な全順序への行きの一歩

$\mathcal M$ を全順序、$\mathcal N$ を端点のない稠密な全順序とし、$\mathcal M,\mathcal N$ の間の部分同型の全体を $I$ とする。$I$ は（行き）を満たす。$\mathcal M$ も端点のない稠密な全順序なら、$I$ は往復系である。

隙間に元を選ぶ

$p\in I$ と $a\in M$ をとる。$a\in\operatorname{dom}p$ なら $q:=p$ でよい。そうでないとし、$\operatorname{dom}p$ を $c_1< \cdots< c_m$（$m\ge0$）と並べる。$p(c_1)< \cdots< p(c_m)$ である。$b\in N$ を次のように選ぶ。

$m=0$ なら、$b$ は $N$ の任意の元。
$a< c_1$ なら、$\mathcal N$ に最小元がないので $b< p(c_1)$ となる $b$。
$c_m< a$ なら、$\mathcal N$ に最大元がないので $p(c_m)< b$ となる $b$。
$c_i< a< c_{i+1}$ なら、稠密性から $p(c_i)< b< p(c_{i+1})$ となる $b$。
$\mathcal M$ は全順序で $a$ はどの $c_j$ とも異なるので、$a$ はちょうど 1 つの場合に当たる。$q:=p\cup\{(a,b)\}$ が部分同型であることを確かめる。$c_i< a< c_{i+1}$ の場合、$c\in\operatorname{dom}p$ について、$c\le c_i$ なら $c< a$ かつ $p(c)\le p(c_i)< b$、$c\ge c_{i+1}$ なら $a< c$ かつ $b< p(c_{i+1})\le p(c)$ である。ほかの場合も同様で、$a$ と各 $c$ の大小は $b$ と $p(c)$ の大小に一致する。よって $q$ は順序を保ち、$q\in I$ である。
$\mathcal M$ も端点のない稠密な全順序なら、前半を $\mathcal N,\mathcal M$ の役割を入れ替えて $p^{-1}$ に使うと（帰り）が得られる。$\emptyset\in I$ なので $I$ は空でない。$\square$

可算な稠密順序の一意性と均質性

可算無限な端点のない稠密な全順序 $\mathcal M,\mathcal N$ の間の、順序を保つ有限の写像 $p$ は、同型写像 $\mathcal M\to\mathcal N$ に延びる。とくに、可算無限な端点のない稠密な全順序はすべて $(\mathbb Q,<)$ と同型である。
$\mathbb Q$ の有限部分集合の上で順序を保つ写像は、$(\mathbb Q,<)$ の自己同型に延びる。

1 は lem-bf-dlo-step で得た往復系 $I$ と $p\in I$ に thm-bf-main を当てればよい。2 は 1 で $\mathcal M=\mathcal N=(\mathbb Q,<)$ とした場合である。$\square$

1 の後半は Cantor による定理で、カテゴリー性の記事の定理「Cantor の定理」でも同じ往復の構成で証明されている（OLT26 Theorem 25.26、p. 390）。2 のように、有限の部分同型がつねに自己同型に延びる構造を均質（homogeneous）であるという。たとえば $0\mapsto0$、$1\mapsto5$ は $\mathbb Q$ の自己同型に延びるので、$(\mathbb Q,<)$ の中では区間 $(0,1)$ と区間 $(0,5)$ を順序だけで区別できない。

可算な全順序は有理数の順序に埋め込める

任意の可算な全順序 $\mathcal M$ と任意の端点のない稠密な全順序 $\mathcal N$ について、埋め込み $\mathcal M\to\mathcal N$ がある。とくに、可算な全順序はすべて $(\mathbb Q,<)$ の部分順序と同型である。

lem-bf-dlo-step により、部分同型の全体 $I$ は（行き）を満たし、$\emptyset\in I$ なので行きの系である。thm-bf-forth を $p=\emptyset$ に当てればよい。後半は $\mathcal N=(\mathbb Q,<)$ とし、埋め込みの像を考えればよい。$\square$

$\mathcal M$ が端点のない稠密な全順序でなくても、$\mathcal N$ の側の性質だけで（行き）が成り立つことが、この系の要点である。同じ主張は順序型の記事の定理「可算な全順序は η に埋め込める」にもある。

グラフへの応用

グラフを、2 項関係記号 $E$ だけの言語で、$E$ が対称で反射的でない（$E(x,y)\Rightarrow E(y,x)$、$\lnot E(x,x)$）構造とみる。$E(x,y)$ は頂点 $x,y$ が辺で結ばれることを表す。
グラフ $\mathcal G$ が 拡張性 をもつとは、互いに交わらない任意の有限集合 $U,V\subset G$ について、$U\cup V$ に属さず、$U$ のすべての頂点と辺で結ばれ、$V$ のどの頂点とも結ばれない頂点 $z\in G$ があることをいう。

拡張性をもつ可算なグラフ

拡張性をもつ可算なグラフがある。
拡張性をもつ可算なグラフ $\mathcal G,\mathcal H$ の間の任意の部分同型は、同型写像 $\mathcal G\to\mathcal H$ に延びる。とくに、拡張性をもつ可算なグラフは同型を除いてただ 1 つである。

1．頂点集合を $\mathbb N$ とし、$i< j$ のとき、$j$ を二進法で書いたときの $2^i$ の位の数字が $1$ であるときに限り $i$ と $j$ を辺で結ぶ（$E(i,j)$ と $E(j,i)$ をともに真とし、$E(i,i)$ は偽とする）。互いに交わらない有限集合 $U,V\subset\mathbb N$ が与えられたら、$U\cup V$ のどの元よりも大きい自然数 $n$ をとり、$z:=2^n+\sum_{u\in U}2^u$ とおく。$z\ge2^n> n$ なので $z$ は $U\cup V$ のどの元よりも大きく、$U\cup V$ に属さない。$z$ の二進表示で、$u\in U$ の位の数字は $1$、$v\in V$ の位の数字は $0$ である（$v< n$ で $v\notin U$ だから）。$u,v< z$ なので、辺の定義から $z$ は $U$ のすべてと結ばれ、$V$ のどれとも結ばれない。
2． $\mathcal G,\mathcal H$ の間の部分同型の全体を $I$ とする。$\emptyset\in I$ である。（行き）を示す。$p\in I$ と $a\in G\setminus\operatorname{dom}p$ をとり、
$$ U:=\{u\in\operatorname{dom}p\mid E^{\mathcal G}(a,u)\},\qquad V:=\operatorname{dom}p\setminus U $$
とおく。$p$ は単射なので $p(U),p(V)$ は交わらない有限集合である。$\mathcal H$ の拡張性により、$p(U)\cup p(V)=\operatorname{ran}p$ に属さず、$p(U)$ のすべてと結ばれ $p(V)$ のどれとも結ばれない $z\in H$ がある。$q:=p\cup\{(a,z)\}$ は単射で、$u\in\operatorname{dom}p$ について
$$ E^{\mathcal G}(a,u)\iff u\in U\iff p(u)\in p(U)\iff E^{\mathcal H}(z,p(u)) $$
であり、$E$ の対称性と、$E^{\mathcal G}(a,a)$・$E^{\mathcal H}(z,z)$ がともに偽であることから、$q$ は部分同型である。（帰り）は $\mathcal G$ の拡張性を使って同じように示せる。よって $I$ は往復系で、thm-bf-main から主張が従う。$\square$

拡張性をもつ可算なグラフは Rado グラフ ともよばれる。1 の構成は具体的だが、2 によれば拡張性さえ確かめれば作り方によらず同じグラフが得られる。とくに、Rado グラフ $\mathcal G$ の有限個の頂点の間の部分同型（有限の誘導部分グラフの間の同型）は $\mathcal G$ の自己同型に延び（2 で $\mathcal H=\mathcal G$）、Rado グラフも均質である。拡張性の各場合は一階の文で書けるので、拡張性を公理とする理論は可算なモデルを同型を除いて 1 つしかもたない（Ryll-Nardzewskiの定理の記事の例「ランダムグラフ」）。

可算でない構造と、往復論法の変形

構造が可算でないと、thm-bf-main の証明は元を番号順に取り込めず、同型が作れるとは限らない。実際、lem-bf-dlo-step により $(\mathbb Q,<)$ と $(\mathbb R,<)$ の間には往復系があるが、濃度が違うので同型でない。それでも往復系は、2 つの構造が論理式で区別できないことを保証する。

往復系があれば、2 つの構造は同じ一階の文を満たす（初等同値の記事の定理「往復系があれば初等同値」）。証明は論理式の組み立てに関する帰納法で、存在量化記号の段で（行き）と（帰り）を 1 回ずつ使う。とくに $(\mathbb Q,<)$ と $(\mathbb R,<)$ は初等同値である。
さらに、往復系があることは、可算とは限らない連言・選言を許す無限論理 $L_{\infty\omega}$ の文をすべて同じように満たすことと同値である（Karpの定理(無限論理)）。

往復を $n$ 回で打ち切ったものが Ehrenfeucht–Fraïsséゲームであり、模倣者が $n$ 手のゲームに勝てば、量化記号の入れ子の深さが $n$ 以下の文で 2 つの構造を区別できない。有限個の関係記号の言語では、その逆も成り立つ。

使う条件	得られる結論	所在
可算な構造の間の往復系	同型	thm-bf-main
可算な $\mathcal M$ からの行きの系	埋め込み	thm-bf-forth
任意の構造の間の往復系	初等同値・$L_{\infty\omega}$ 同値	初等同値・Karpの定理(無限論理)
$n$ 手まで延ばせる部分同型の列	深さ $n$ 以下の文で区別できない	Ehrenfeucht–Fraïsséゲーム
可算な言語の完全な理論で、すべての完全型が孤立しているとき、同じ型をもつ元の組	可算無限なモデルの一意性	Ryll-Nardzewskiの定理

最後の行では、部分同型の代わりに「同じ型をもつ元の組の対応」を延ばしていく。延ばす一歩で、順序の稠密性や拡張性の代わりに、型を孤立させる論理式の証人を選ぶ。往復論法は、このように「延ばす一歩」を構造ごとに用意すれば、同じ骨組みで使える。

反例：条件を外すと成り立たない

thm-bf-main の条件を 1 つずつ外す。

外す条件	反例	成り立たなくなること
構造が可算	$(\mathbb Q,<)$ と $(\mathbb R,<)$、$I$ は部分同型の全体	同型であること
往復系が空でない	$(\mathbb Q,<)$ と $(\mathbb Z,<)$、$I=\emptyset$	同型であること
（帰り）	$(\mathbb Q,<)$ と、$\mathbb Q$ に最大元 $\infty$ を付け加えた順序 $\mathbb Q\cup\{\infty\}$、$I$ は値域に $\infty$ を含まない部分同型の全体	同型であること
$I$ の元が部分同型	$(\mathbb Q,<)$ と $(\mathbb Z,<)$、$I$ は有限部分集合の上の単射の全体	同型であること

反例の確かめ

1 行目：lem-bf-dlo-step により $I$ は往復系である。$\mathbb R$ は可算でないので、可算な $\mathbb Q$ との間に全単射はなく、同型でない。
2 行目：$I=\emptyset$ は部分同型の集合で、（行き）（帰り）は「任意の $p\in I$ について」の条件なので満たされる。しかし空でないという条件だけを満たさない。$(\mathbb Z,<)$ では $0$ と $1$ の間に元がなく、$(\mathbb Q,<)$ はどの 2 元の間にも元があるので、両者は同型でない（同型写像は 2 元の間の元を 2 元の像の間の元に移す）。
3 行目：$\emptyset\in I$ で、$I$ の元は部分同型である。（行き）は、prf-bf-dlo-step と同じく $\mathbb Q$ の中から $b$ を選べば成り立つ（選ぶ $b$ は $p(c_i)$ たちとの大小だけで決まり、$\mathbb Q$ は端点のない稠密な全順序である）。しかし $b=\infty$ を値域に入れる延長は $I$ にないので、（帰り）だけが成り立たない。$\mathbb Q\cup\{\infty\}$ には最大元があり $\mathbb Q$ にはないので、両者は同型でない。なお thm-bf-forth により、包含写像のような埋め込み $\mathbb Q\to\mathbb Q\cup\{\infty\}$ は得られる。
4 行目：$I$ は空写像を含み、$\mathbb Q$ と $\mathbb Z$ はともに無限なので、有限の単射は値域や定義域にない元を相手に選んでいつでも延ばせ、（行き）（帰り）を満たす。しかし $0\mapsto0$、$1\mapsto2$、$1/2\mapsto5$ のような単射は順序を保たず、$I$ の元は一般に部分同型でない。両者は 2 行目と同じ理由で同型でない。

名前と出典

往復の構成を最初に使ったのは Cantor で、可算な端点のない稠密な全順序が有理数の順序と同型であることを示すためであった。一階論理の一般の方法としては Ehrenfeucht と Fraïssé が、無限論理では Karp が発展させた（KK04 §1.2、p. 3）。同論文は、往復系をもつ（potentially isomorphic な）可算な構造は同型であることを、Cantor の議論で示せると述べている（p. 4）。